2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение28.02.2011, 22:17 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Найти все x, y, z - натуральные, такие, что
$3^x-2^y=19^z$.

USAMO unused какого-то года, вроде.

Спасибо за помощь!

(Оффтоп)

Сам не решил, но, вроде, добыл что-то (точно не уверен в результатах: решал месяц назад и то тяп-ляп, а сейчас даже листик потерял, так что по памяти)
Представлял в таком виде:
$3^3(3^x-19^z)=2^3(2^y-19^z)$, после чего получил что-то вроде x делится на 16, z делится на 6 и т.д., но и это ни к чему не привело. Если это может помочь, то могу попробовать подыскать листок, но там, мне помнится, перебор жесточайший был.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение28.02.2011, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13346
с Территории
Соображения по модулю хороши тогда, когда решений вообще нет. А здесь есть по крайней мере (1,1,0), (2,3,0) (да, я заметил слово "натуральные", но если бы был тотальный запрет по делимости, то и эти бы не прошли) и (3,3,1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение28.02.2011, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Наличие этих решений не совсем запрещает сравнения по модулю: еще можно брать довольно большие степени двойки и тройки (как предложенное автором 16), остатки по которым не периодичны; хотя помогут они вряд ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение28.02.2011, 23:24 
Заблокирован


07/02/11

867
ИСН в сообщении #418516 писал(а):
Соображения по модулю хороши тогда, когда решений вообще нет. А здесь есть по крайней мере (1,1,0), (2,3,0) (да, я заметил слово "натуральные", но если бы был тотальный запрет по делимости, то и эти бы не прошли) и (3,3,1).

Решение должно быть в натуральных числах, годится только последнее Ваше решение: $(3;3;1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 00:32 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Идея состояла в том, что, скажем, напимер, получить, что для того, чтобы правая часть делилась на $3^3$ необходимо, чтобы показатели делились на что-то, по очереди получаем такие следствия (то с одной стороны, то с другой), а потом получаем, что оказывается левая часть делится и на $3^4$, что и даёт противоречие...
Такая тактика очень часто работает, так вот я и думал, что и тут может сработать, но потонул в вычислениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 06:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
ИСН писал(а):
Соображения по модулю хороши тогда, когда решений вообще нет. А здесь есть по крайней мере (1,1,0), (2,3,0) (да, я заметил слово "натуральные", но если бы был тотальный запрет по делимости, то и эти бы не прошли) и (3,3,1).

А вроде же нет. Уже же много задач решали типа $3^n-2^m=1$, как раз соображениями по модулю. :roll: и решения были.

(Оффтоп)

по-моему, они хороши, когда классы вычетов по модулю $p$ переходят в себя, а тут это не так

И maxal ссылку давал на метод. Надо найти...

-- Вт мар 01, 2011 10:08:20 --

Вот тут немного, но это не то: topic42305.html
Блин, не могу найти :-(((

-- Вт мар 01, 2011 10:43:11 --

Ага! Вот: topic16555.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 08:31 


23/01/07
3224
Новосибирск
Цитата:
Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)

Не тяжелая, а очень тяжелая!
Если найдется, хотя бы одно решение для $x;y;z>2$, то можно сшибить сотню тысяч зеленых... за опровержение гипотезы Биля. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 08:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Ну, возьмем по модулю 3: $-2^y \equiv 1 \pmod 3$, $y \equiv 1 \pmod 2$
$y=2y_1+1$: $3^x-2^y = 19^z \Leftrightarrow 3^x-2 \cdot 4^{y_1} = 19^z$
Ну возьмем по модулю 9 c $x \geq 2$: $-2 \cdot 4^{y_1} \equiv 1 \pmod 9$, $y_1 \equiv 1 \pmod 3$
$y_1 = 1+3y_2$: $3^x - 8 \cdot 64^{y_2} = 6^z$
Возьмем по модулю $13$: $3^x \mod 13 = 1;3;9; 6^z \mod 13 = 6;5;2$
Видим еще что $x \geq 2z$ и тогда взяв по модулю 4 получим $z \equiv x \pmod 4$, то есть можно взять $x=z+4x_1$
Подставим: $3^z \cdot 81^{x_1} - 8 \cdot 64^{y_2} = 19^z$.
Берем по модулю 5, получим: $2 \cdot (-1)^{y_2} = (-1)^z - 3^z \pmod 5$, откуда $y_2 \equiv 0 \pmod 2$, $y_2 = 2y_3$
$3^z \cdot 81^{x_1} - 8 \cdot 256^{y_3} = 19^z$
Берем по модулю 17, получаем $3^z(-4)^{x_1}-8 \equiv 2^z \pmod 17$, $(-4)^{x_1} \equiv 6^z(2^z+8) \pmod 17$, откуда $x_1 \equiv 3 \pmod 4, z \equiv 0 \pmod 4$ или $x_1 \equiv 0 \pmod 4, z \equiv 3 \pmod 4$
Берем опять по модулю 5 - получаем в первом случае $1 + 2 \equiv 1 \pmod 5$, а во втором $3^3+2 \equiv 3^3 \pmod 5$. Значит при $y \geq 4, x \geq 2$ решений нет. Остальное - перебором, но там уже всегда будет 2 переменные - будет гораздо проще.
Если не ошибся нигде :roll: ,но принцип такой. Лучше ссылку на maxalа найти - там понятнее у него...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5693
Новосибирск
ИСН в сообщении #418516 писал(а):
Соображения по модулю хороши тогда, когда решений вообще нет.

Ну как бы не совсем. По модулю 5 если посмотреть, то это сильно ограничивает возможности для переменных. Дальше этого шага не посмотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 08:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8505

(Оффтоп)

Вот уравнение $y^3 = x^2+2$ модулярными штуками точно не решить именно потому, что есть решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5693
Новосибирск

(Оффтоп)

А кто говорит, что надо обходиться только модулярными штуками?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 09:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8505

(Оффтоп)

Цитата:
А кто говорит, что надо обходиться только модулярными штуками?

Ну я же вообще говорил :roll: Просто почему-то в таких уравнения модулярные штуки существенны, а вот для алгебраических - почти нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 09:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4351
Москва
Стандартный способ решения таких уравнений есть сведение к уравнению Пелля.
Если $x,y$ четные, то приходим $3^{x/2}-2^{y/2}=19^{t}, 3^{x/2}+2^{y/2}=19^{z-t}$ - нет решений. Если $x,z$ четны, то аналогично $3^{x/2}-19^{z/2}=2^t,3^{x/2}+19^{z/2}=2^{y-t}\to x=2,z=0$. Если $y,z$ четны, то $3^x=a^2+b^2$ противоречие.
Поэтому не более одного из них четное число.
Если $x$ четно, то так как $z,y$ нечетны $2^y=6\mod 8$ противоречие.
Если $y$ четно, то $19^z+2^y=1+1\mod 3$ противоречие.
Пусть $x=2k-1,y=2m+1$, тогда уравнение можно записать в виде:
$a^2-6b^2=3*19^z, a=3^k,b=2^m$.
Это уравнение на норму числа $a+b\sqrt 6 \in Z[\sqrt 6]$.
Имеем $|3\pm \sqrt 6|=3, |5\pm \sqrt 6|=19, |5\pm 2\sqrt 6|=1$. Из однозначности разложения в $Z[\sqrt 6]$ получаем $a+b\sqrt 6 =(5+2\sqrt 6)^l(3\pm\sqrt 6)(5\pm\sqrt 6)^z$.
Учитывая, что $a=3^k,b=2^m$ и переходя к cравнениям по этим модулям для $z$ получаем единственное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 12:02 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Руст, подскажите, пожалуйста, какую-нибудь литературу, чтобы разобраться в вашем решении.

Sonic86 в сообщении #418591 писал(а):
Видим еще что $x \geq 2z$ и тогда взяв по модулю 4 получим $z \equiv x \pmod 4$, то есть можно взять $x=z+4x_1$

Только не 4, а 16.

Sonic86 в сообщении #418591 писал(а):
Берем по модулю 17, получаем $3^z(-4)^{x_1}-8 \equiv 2^z \pmod 17$, $(-4)^{x_1} \equiv 6^z(2^z+8) \pmod 17$, откуда $x_1 \equiv 3 \pmod 4, z \equiv 0 \pmod 4$ или $x_1 \equiv 0 \pmod 4, z \equiv 3 \pmod 4$


Вроде, у меня получилось, что по 17 уже противоречие.
возможности для $(-4)^x$ такие:
$-4, -1 , 4, 1$

Для $6^z     : 6, 2, -5, 4, 7, 8, -3, -1, -6, -2, 5, -4, -7, -8, 3, 1 $
Для $2^z+8 : 10, -5, -1, 7, 6, 4, 0, 9, 10, -5, -1, 7, 6, 4, 0, 9  $

 Профиль  
                  
 
 Re: Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)
Сообщение01.03.2011, 12:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
BanmaN писал(а):
Только не 4, а 16.

Угу, наврал.
Цитата:
Вроде, у меня получилось, что по 17 уже противоречие.

Ну, главное, чтобы Вы метод поняли. Жаль ссылку на maxalа не нашел - была бы полная картина :roll:

Если я правильно понял, Руст просто использует алгебраическую теорию чисел, даже квадратичные поля. Они есть в Хассе Теория чисел, Айрленд, Роузен Теория чисел, Боревич, Шафаревич и даже в Постникове "ВТФ. Введение в алгебраическую теорию чисел"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group