Тяжёлая теория чисел (наверное, тяжёлая)

[Руст]

Можно предложить решение основанное только на сравнениях по модулю $3^x$.
Уравнение запишем в виде $3^x=2^y+19^z$.
$x=0$ нет решения.
$x=1$ дает $y=1,z=0$.
$x=2$ дает $y=3,z=0$.
Пусть $x\ge 3$. Учтем, что $19^z=(1+2*3^2)^z=1+z*2*3^2+z(z-1)*2*3^4+...$
Следовательно $2^y=-1\mod 9\to y=3k, k-odd$.
$(-1+3^2)^k=-1+k*3^2-\frac{k(k-1)}{2}3^4+....$
Это дает последнее решение $x=3,y=3,z=1$.
Пусть $x\ge 4$. Тогда $3^x=8^k+(-8+3^3)^z=8^k+(-8)^z+z(-8)^{z-1}3^3+\frac{z(z-1)}{2}(-8)^{z-2}3^6+...$
Отсюда $k,z$ нечетные и $k=z\mod 3$. Далее можно показать, что сравнение по модулю $3^x$ может выполняться только увеличением $k,z$ притом $k=cz,$ где $c-$ 3-адическое число. Увеличение x на 1 увеличивает $z,k$ как минимум на $3^{(z-1)/2}$, что приводит к числам существенно большим чем $3^x$ в правой части.

[maxal]

BanmaN в сообщении #418484 писал(а):

Найти все x, y, z - натуральные, такие, что
$3^x-2^y=19^z$.

Рассмотрением по модулю 1360 легко получается, что единственными решениями являются тройки [1, 1, 0], [2, 3, 0], [3, 3, 1].
А детали поиска подходящего модуля есть на AOPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h48431