Острые углы

[arqady]

ewert в сообщении #367001 писал(а):

Скорее всего -- к отсутствию упоминаний о возможных самопересечениях. Но вот именно это -- как раз и есть вопрос выбора определений в том или ином языке. Русский -- вообще-то гибче (из-за наличия заимствований). Захотим -- и назовём полигоном, скажем, область, ограниченную ломаной с возможными самопересечениями. А многоугольниками -- так и будем считать обычные многоугольники. И все спокойны.

Кто-то здесь на форуме правильно заметил, что "любую вещь можно назвать трамваем...". Только зачем?
Задача математики в школе состоит в том, чтобы научить детишек правильному мышлению. В конце концов, и всякие извращения типа самопересекающегося многоугольника, станут понятными, если детишки научены правильно мыслить.

[Sasha2]

Ничего уже тогда не понимаю, где у меня проблемы тут в геометрии или в географии.

А вот насчет самопересекающегося многоугольника, наверно тогда по Вашему мнению уважаемый Аркадий и великий математик Адамар неправ, когда в своей элементарной Геометрии приводит и опрееделение такового и очень много содержательных и интересных задач, связанных с ним.

[ewert]

arqady в сообщении #367015 писал(а):

Задача математики в школе состоит в том, чтобы научить детишек правильному мышлению.

Так вот проблема-то как раз в том, что Вы учите детишек именно неправильному мышлению. Заставляя их не различать внешних и внутренних углов. И, соотв., -- культивируя явно непродуктивные подходы.

[venco]

Нашёл сравнение разных школьных учебников по поводу теоремы о сумме углов многоугольников:
http://www.math.ru/dic/491

[Edward_Tur]

Может вопросы о внешних и внутренних углах, равно как и беседы в теме "Корни многочлена" перенести в Дискуссионные темы (М) форума?

[arqady]

venco в сообщении #367033 писал(а):

Нашёл сравнение разных школьных учебников по поводу теоремы о сумме углов многоугольников:
http://www.math.ru/dic/491

Хорошая ссылка! Обратите внимание, невыпуклый случай либо обходится молчанием, либо утверждается, что $180^{\circ}(n-2)$ получается для любого многоугольника.
Создаётся впечатление, что это $180^{\circ}(n-2)$ является чем-то типа священной коровы, к которой запрещено прикасаться.
Погорелов же, у которого я взял определение угла, определяет угол выпуклого многоугольника в точности, как у меня, но обходит полным молчанием невыпуклый случай. Даже в его прекрасной книге по геометрии ("Элементарная геометрия", "Наука", 1969) невыпуклый случай не упоминается. Всё это выглядит очень странно. В то время как именно невыпуклый случай является дополнительным полигоном для обучения правильному мышлению.

[ewert]

Edward_Tur в сообщении #367044 писал(а):

перенести в Дискуссионные темы (М) форума?

Только не в "Дискуссионные темы", а в "Вопросы преподавания". С точки зрения математики -- дискутировать тут не о чём.

Почёму в элементарных учебниках обходится вопрос о невыпуклых многоугольниках -- понять можно. Проблемы начинаются уже с того, что в невыпуклом случае даже непросто строго определить само понятие внутренности многоугольника. Но это ещё не повод игнорировать эти многоугольники.

Поскольку в школьных учебниках строгость -- вообще понятие довольно условное. Никто из обычных школьников не знает (строго говоря), что такое длина дуги окружности. Даже не знает (строго говоря), что такое градус. И не случайно или по недоразумению. А потому, что эти вопросы упираются в понятия предела и вещественного числа. А этих понятий в школьном курсе (строго говоря) нет.

И тем не менее -- все спокойно пользуются и дугами, и градусами, и даже вещественными числами, и правильно делают. Непонятно, чем невыпуклый многоугольник хуже.

[Батороев]

(Оффтоп)

Видел на одном из форумов, как маялись, считая сумму углов пятиконечной звезды. Кто, как понимал эту сумму, так и считал... При этом все друг на друга бранились.

[paha]

(Оффтоп)

читал флейм, много думал... определил "для себя" многоугольник на плоскости как кусочную изометрию окружности $f:S^1\to \mathbb{R}^2$ (на окружности обычная угловая метрика)
и с областями трудностей не будет, и теорему гаусса-бонне можно применять, и обобщается просто

[venco]

arqady в сообщении #367090 писал(а):

Погорелов же, у которого я взял определение угла, определяет угол выпуклого многоугольника в точности, как у меня, но обходит полным молчанием невыпуклый случай.

Естественно, ибо при таком определении угла теорема не верна - лишний особый случай.

(Оффтоп)

Чем то мне этот подход напомнил недавний $\cos3\theta$ в сферических координатах.

[ewert]

Кстати, по той же ссылке:

Цитата:

Комментарий

Доказательство теоремы обычно основано на триангуляции и сравнительно простое для выпуклого многоугольника, а для невыпуклого возможность триангуляции обосновывается непросто. Поэтому во многих источниках ограничиваются выпуклым случаем.

Трудность с невыпуклостью можно обойти, пользуясь теоремой о сумме внешних углов (ориентированных).

Понятие "ориентированного угла" -- не очень приятно (много слов нужно). Доказывать непосредственно триангулируемость невыпуклого многоугольника, действительно, тоже довольно противно.

Но зачем же именно триангулировать-то?... Достаточно того, что в любом многоугольнике есть диагональ, лежащая строго внутри многоугольника и, следовательно, разбивающая его на два многоугольника с меньшими количествами сторон. А этот факт доказывается уже довольно легко.

(А из него уже автоматом следует и триангулируемость, конечно, однако для доказательства теоремы о сумме углов она сама по себе не нужна, и даже не очень удобна.)

[Sasha2]

Не совсем понятно, почему идет такая ломка копьев из-за этих невыпуклых многоугольников.
По мне так достаточно рассмотреть любой многоугольник, у которого имеется один угол, который делает его невыпуклым. Так я называю угол, общий тем двум сторонам, у которых продолжения за вершину этого угла проходит внутри многоугольника, а не вне его. Общий случай легко сводится к этому.
Далее просто делем этот многоугольник выпуклым, проводя "внешнюю" диагональ.
Ну а далее уже тривиально, пользуясь уже доказанным выпуклым случаем, показываем, что и в этом случае сумма внутренних углов точно такая же как и в выпуклом случае.
Поэтому, случай невыпуклых многоугольников нетруден, а действительно просто неинтересен.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367274 писал(а):

Общий случай легко сводится к этому.

А как конкретно?... (мне просто любопытно. По-моему, там достаточно много заклинаний понадобится.)

[Sasha2]

Проводя внешнюю диагональ вот у каждого такого угла, из-за которого нарушается выпуклость данного многоугольника мы
каждый каждый этот угол откидываем, но два соседних угла увеличиваем на величину, равную (2d-этот откинутый угол).

Таким образом, разность углов в полученном n-1 угольнике и исходном n-угольнике отличается на 2d. Делаем это до тех пор, пока не придем к треугольнику (или к выпуклому многоугольнику), а затем все в обратном порядке.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #367313 писал(а):

Проводя внешнюю диагональ вот у каждого такого угла,

Подождите-подождите. Какую такую "внешнюю диагональ"? между чем и чем конкретно?

(и почему она окажется именно "внешней"?...)