Острые углы

[ewert]

arqady в сообщении #366677 писал(а):

Мной дано определение угла и указано его свойство.

Угол вообще и угол в частных ситуациях -- это несколько разные понятия. Скажем, угол между прямыми -- понятие двузначное. А угол многоугольника -- всегда именно внутренний.

[Sasha2]

А мне вот кажется, что в данном контексте правильное (уместное) определение угла такое:

Углом называется фигура,образованная двумя полупрямыми, выходящими из одной и той же точки, для которой указано, как из двух частей плоскости, на кооторые этв фигура делит всю плоскость является внутренней.

А вообще, лучше бы если автор задачи дал бы указание, какие углы допустимо рассматривать. А то так получается не задача по математике, а задание на смекалку.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #366690 писал(а):

Углом называется фигура,образованная двумя полупрямыми, выходящими из одной и той же точки, для которой указано, как из двух частей плоскости, на кооторые этв фигура делит всю плоскость является внутренней.

Это верно, конечно, но это ответ не на тот вопрос, тут слово "угол" употребляется совсем уж в другом смысле: как фигура, а не как угловая мера. "Угол" -- вообще достаточно неоднозначное понятие.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #366690 писал(а):

А вообще, лучше бы если автор задачи дал бы указание, какие углы допустимо рассматривать. А то так получается не задача по математике, а задание на смекалку.

Автор разрешает рассматривать любые углы. Желающие упростить задачу с помощью приглянувшегося им рассмотрения никак не наказываются.

[arqady]

ewert в сообщении #366684 писал(а):

Угол вообще и угол в частных ситуациях -- это несколько разные понятия.

Есть много всяких "углов": угол, развёрнутый угол, плоский угол, обобщённый угол, угол между прямыми и т.д. У каждого из перечисленных мной "углов" есть определение. Скажем, развёрнутый угол углом не является.

ewert в сообщении #366684 писал(а):

Скажем, угол между прямыми -- понятие двузначное.

По-моему, нужно стараться избегать двусмысленности:
Угол между параллельными прямыми равен $0^{\circ}$, а углом между пересекающимися прямыми назовём наименьший из четырёх углов, образующихся при их пересечении.

ewert в сообщении #366684 писал(а):

А угол многоугольника -- всегда именно внутренний.

Снова это Ваше сранное "внутренний". Я вообще-то не против использования этого слова, но только после того, как понятие угла многоугольника правильно определено. Использование же словосочетания "внутренний угол", основанное только на интуиции, мне видится недопустимым. Математика - это прежде всего правильное мышление. Для того, чтобы начать правильно мыслить, нужно дать правильные определения. Иначе невозможно двигаться. Особенно всё это касается школы.

[ewert]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #366698 писал(а):

Снова это Ваше сранное "внутренний".

Да вообще-то я ничего плохого в этом слове не вижу.

arqady в сообщении #366698 писал(а):

Использование же словосочетания "внутренний угол", основанное только на интуиции, мне видится недопустимым.

Почему на интуиции. Понятие "внутренность многоугольника" -- вполне точное. Так вот, "внутренний угол" -- это угловая мера того из двух углов (в смысле фигур), который содержит именно внутренние точки. Для многоугольника это понятие весьма принципиально, поэтому по умолчанию под углом и понимается именно внутренний.

[arqady]

ewert в сообщении #366695 писал(а):

Sasha2 в сообщении #366690 писал(а):

Углом называется фигура,образованная двумя полупрямыми, выходящими из одной и той же точки, для которой указано, как из двух частей плоскости, на кооторые этв фигура делит всю плоскость является внутренней.

Это верно, конечно, но это ответ не на тот вопрос, тут слово "угол" употребляется совсем уж в другом смысле: как фигура, а не как угловая мера. "Угол" -- вообще достаточно неоднозначное понятие.

Отличный пример плохого определения! Вместо того, чтобы решать задачи, мы теперь всё время должны догадываться, что имел в виду составитель задачи.
Насчёт угла и угловой меры угла. Здесь можно с самого начала договориться, что когда говорят о сумме углов, имеется в виду сумма их градусных мер. Всегда видно из контекста, о чём идёт речь.

ewert в сообщении #366695 писал(а):

"Угол" -- вообще достаточно неоднозначное понятие.

Почитайте моё (не совсем ) определение. Угол - очень даже однозначное понятие.

ewert в сообщении #366700 писал(а):

Так вот, "внутренний угол" -- это угловая мера того из двух углов (в смысле фигур), который содержит именно внутренние точки. Для многоугольника это понятие весьма принципиально, поэтому по умолчанию под углом и понимается именно внутренний.

Почему мне видится, что это плохо, я уже попытался объяснить.

[ewert]

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Здесь можно с самого начала договориться, что когда говорят о сумме углов, имеется в виду сумма их градусных мер.

Об этом не нужно договариваться, поскольку сумма фигур в обычной геометрии просто не определена.

Это во-первых. А во-вторых, это Ваше высказывание прямо противоречит следующему:

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Почитайте моё (не совсем ) определение. Угол очень даже однозначное понятие.

Ну и посчитайте с помощью этого Вашего определения, каким двум лучам отвечает угол в 1793 градуса.

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Почему мне видится, что это плохо, я уже попытался объяснить.

Плохо ли, хорошо ли, но это общепринято. А почему общепринято -- я уже попытался объяснить.

[arqady]

ewert в сообщении #366708 писал(а):

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Здесь можно с самого начала договориться, что когда говорят о сумме углов, имеется в виду сумма их градусных мер.

Об этом не нужно договариваться, поскольку сумма фигур в обычной геометрии просто не определена.Это во-первых...

Что нам стоит дом построить! Это во-первых.

ewert в сообщении #366708 писал(а):

А во-вторых, это Ваше высказывание прямо противоречит следующему:

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Почитайте моё (не совсем ) определение. Угол очень даже однозначное понятие.

Ну и посчитайте с помощью этого Вашего определения, каким двум лучам отвечает угол в 1793 градуса.

А во-вторых, Вы плохо прочитали про свойство угла. Повторю: каждый угол имеет определённую градусную меру, большую $0^{\circ}$ и меньшую $180^{\circ}$.
То бишь не бывает углов в $1793^{\circ}$.
Обобщённый угол - это другое дело - бывает. Когда понятно из контекста, о чём идёт речь, то и говорят об угле в $1793^{\circ}$, но при этом подразумевают, что речь идёт об обобщённом угле.

ewert в сообщении #366708 писал(а):

arqady в сообщении #366706 писал(а):

Почему мне видится, что это плохо, я уже попытался объяснить.

Плохо ли, хорошо ли, но это общепринято. А почему общепринято -- я уже попытался объяснить.

То определение угла, которое Вам понравилось, содержит двусмысленности. От того, что Вы скажете, что оно общепринято, двусмысленности не исчезнут. То, о чём Вы говорите, как об угле, напоминает понятие плоского угла. Это важное понятие, но понятие угла - это совсем другое.
Конечно же, то, о чём мы говорим, - дело определения. И с Вашим определением можно двигаться дальше. Неряшливо, громоздко, но можно. Но когда имеется подход, который позволяет двигаться дальше естественным и правильным образом, то его отрицание, имхо, выглядит обычным упрямством.
Впрочем, определяйте, как хотите. Моё дело предложить.

[ewert]

arqady в сообщении #366807 писал(а):

То, о чём Вы говорите, как об угле, напоминает понятие плоского угла. Это важное понятие, но понятие угла - это совсем другое.

Понятие "плоского угла" принципиально именно для многоугольников. Поскольку принципиально, что многоугольник делит плоскость на две части -- внешнюю и внутреннюю. Именно поэтому под углом многоугольника все понимают именно меру "плоского угла" (раз уж Вам понравился этот термин). И никто не понимает угол многоугольника в смысле Вашего определения. Не потому, что испытывают отвращение к истинно изящным определениям. А потому, что применительно к многоугольникам это изящество -- практически абсолютно бесполезно.

[Sasha2]

А вообще, если исходить из того, что надо гадать, что же имел в виду автор задачи, то тогда пожалуйста накопайте в этом острове сколько угодно бесконечно глубоких ям в виде остроугльных треугольников и получите нужный ответ.
Это если мы выпуклость сделаем по боку.
А если нет то там и олимпиадного ничего нет.

[arqady]

ewert в сообщении #366869 писал(а):

Понятие "плоского угла" принципиально именно для многоугольников.

Это неверно. Понятие плоского угла важно для определения дуги окружности, а для многоугольников оно создаёт двусмысленное и поэтому неправильное представление об угле многоугольника.

ewert в сообщении #366869 писал(а):

Поскольку принципиально, что многоугольник делит плоскость на две части -- внешнюю и внутреннюю.

То, что принципиально, - согласен. А вот дальше...

ewert в сообщении #366869 писал(а):

Именно поэтому под углом многоугольника все понимают именно меру "плоского угла" (раз уж Вам понравился этот термин). И никто не понимает угол многоугольника в смысле Вашего определения.

Здесь Вы обманули дважды:
1. Внешнюю и внутреннюю часть многоугольника можно определить и без понятия плоский угол.
Поэтому Ваше "Именно поэтому" является сильной натяжкой.
2. Ваше утверждение про "никто не понимает..." - неверно.

ewert в сообщении #366869 писал(а):

А потому, что применительно к многоугольникам это изящество -- практически абсолютно бесполезно.

Всё как раз наоборот! Очень даже полезно. Вам, конечно, бесполезно, поскольку Вас неправильно учили и Вы, как я вижу, не хотите поправить положение.
Дело здесь не в изяществе (хотя и это важно, но не главное), а в однозначности определения понятия угла, отражающем суть.
Мне довелось десятки лет преподавать геометрию. Понятно, кроме понятия угла, я рассказывал много чего и другого. Поверьте, никогда не возникало проблем, как с Вами. Регалии моих учеников перечислять было бы очень долго, но суть в том, что за моими плечами явный успех. Так что не очень расстроюсь, как если бы мне не удалось убедить одного нерадивого ученика.
Но, конечно же, расстроюсь, но не очень.

[venco]

(Оффтоп)

Похоже я ошибся в оценке дискуссии с arqady. Я, было, решил, что оппонент захотел немного потроллить, поэтому и самоустранился, а тут, оказывается, принципиальная позиция.

arqady, здесь уже объяснили Вам про внутренние и внешние углы многоугольников. Похоже, Вас наши объяснения не устраивают, как неавторитетные, поэтому предлагаю несколько ссылок на русском и английском языках, где упоминаются и объясняются эти понятия.

Википедия:
Многоугольник
Выпуклый многоугольник
Internal and external angle

Math Open Reference:
Interior Angles of a Polygon

MathWorld:
Polygon
Exterior Angle

[Sasha2]

А здесь еще бог его разберет, что имел в виду автор. Я нисколько не удивлюсь, если вдруг данный многоугльник окажется, например, пространственным, а не плоским.

[arqady]

venco, по Вашей ссылке из Википедии нашёл:
"Многоуго́льником называется геометрическая фигура, состоящая из n(n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник-это замкнутая ломаная линия."
Безграмотное определение. Возьмите треугольник и точку на его стороне. Согласно указанному определению получился четырёхугольник. Вы согласны?
Точно также безграмотны рассуждения об углах многоугольника. Не верьте им, venco!