Самое большое число в мире

[Someone]

Кардановский писал(а):

Someone:Ну уж это то зачем?Найдите в любом учебнике или справочнике.

Видите ли, Вы употребляете термин "параллельные прямые" в весьма странном контексте. Поэтому я подозреваю, что Вы понимаете параллельность нестандартным образом.

[Macavity]

Кардановский писал(а):

...
Ну,например,точка какой-либо линии-это очевидно бесконечно малый отрезок.Точка какой-либо поверхности-это бесконечно малая площадь,точка какого-либо объема-это бесконечно малый объем.Так что же такое точка пересечения линии и поверхности-площадь или отрезок? Или как точки могут заполнить весь объем,если на них нет граней и вершин(т.е.линий и точек их пересечения)?

Вам так все хорошо написал Brukvalub, а Вы продолжаете упираться в свое. При том Вашем общении с математиками, которое Вы имеете в этом форуме, можно было бы попытаться уйти от обыденного сознания. Посмотрите как пишет Пелевин в "Шлеме ужаса. Креатифф о Тесее и Минотавре.":

Цитата:

Некто по имени A может быть деталью шлема ужаса, надетого на B, а некто по имени B в то же самое время может быть деталью шлема ужаса, надетого на A. Это и есть окончательная бесконечность в обе стороны, причем оба часто неплохие люди.

[Кардановский]

Macavity:Мне кажется,с вашим шлемом ужаса,это несколько не по теме.Подобные вопросы обсуждают на форуме университетов им.Кащенко и им.Сербского.Там собраны большие специалисты по подобным вещам...Поэтому ,не могли бы вы в дальнейшем высказываться ближе к существу.Brukvalub вышел из темы по каким то своим мотивам.Зачем же вы его мне трактуете?Я и сам читал его посты.

Добавлено спустя 8 минут 53 секунды:

Someone:Не нужно меня подозревать.Я сказал уже,что согласен с хрестоматийным определением.В моей научно-технической библиотеке нет каких то справочников и книг по марсианской математике.Все мои книги изданы на планете Земля,уверяю вас.

Добавлено спустя 8 минут 39 секунд:

незванный гость:Мне было бы любопытно взглянуть на человека,который до конца разобрался в своих мыслях!Если бы такой человек нашелся, то он наверняка не пришел бы на этот форум-зачем дискутировать,все и так ясно!

Добавлено спустя 33 минуты 3 секунды:

PAV:Извините,но мне кажется,что "нет никаких противоречий" вы произносите как заклинание.Мне кажется,также,что не следует бояться немножко пошатать основы.В конце концов здесь дискуссионный форум,поэтому за причастность к дискуссиям никто не должен никак пострадать-ведь это дискуссионные высказывания,а не защита диссертаций.Позвольте не согласиться,также,с вашим разделением логики и смысла на некие бытовые и рафинированно- математические части,которые не обязательно должны совпадать.Согласитесь,что так можно договориться и до физической логики,химической логики,биологической логики и проч. и проч.Ну и потом, рассуждая даже в рамках собственно математики,отчего же мои суждения о точке на линии,на поверхности и в объеме выглядят кухонно-бытовыми?Ведь само понятие точки в математике(геометрии) сегодня дается главным образом по ее местоположению-точка перегиба,пересечения кривых,параболическая,ну и т.п.Природа же самой точки ,насколько я осведомлен,практически остается неисследованной.А я всего то лишь слегка коснулся ,на мой взгляд,очень глубокой и неразработанной темы.

[незваный гость]

незваный гость писал(а):

Важно не то, как понимают другие, а то как понимаете Вы. Или Вам и справочник открыть лень (а заодно и разобраться в своих мыслях)?

Кардановский писал(а):

незванный гость:Мне было бы любопытно взглянуть на человека,который до конца разобрался в своих мыслях!Если бы такой человек нашелся, то он наверняка не пришел бы на этот форум-зачем дискутировать,все и так ясно!

Вам не в своих, Вам в чужих мыслях разобраться надо. Если Вы пытаетесь изобрести определение паралельности, вместо того, чтобы пользоваться одним из стандартных — это одно. Но стандартных определений не обязано быть одно. Более того, некоторые авторы пользуются слегка нестандартными определениями (пример с паралельными — я встречал мнение, что прямая непаралельна сама себе). Поэтому важно понять, каким именно определением пользуетесь Вы.

А Ваша ссылка на марсианские учебники — это уход от ответа. Либо Вы ведете цивилизованную дискуссию, либо нет. Если желаете продолжать, извольте отвечать на вопросы. В частности, на вопрос, каким именно определением пользуетесь Вы. Если не желаете продолжать — это Ваше право. Вы можете это сделать честно, открыто заявив о своем нежелании. Или Вы можете заняться неконструктивными отговорками a la «возьмите любой учебник», «мои учебники не с Марса». Сути это не меняет. Но играть в Ваши игры — увольте. Не желаю, и не буду. И другим не советую.

P.S. Не по существу: почему бы Вам не начать вставлять пробелы после знаков препинания? Это тоже правило, на сей раз правило грамматики. И многие «проводники» не могут правильно сформатировать Ваш текст. А отсутсвие пробела раздражает читателя так же, как отсутствие артикля в английском . Можете также взглянуть на пункт правил I.1.к (последняя часть).

[Кардановский]

незванный гость:Ну, если вы так настаиваете, то позвольте отослать вас , скажем к старику Евклиду.Он любил говаривать так:"Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную.Эта прямая называется параллельной данной".Поговаривают, что Евклид большой авторитет в геометрии, поэтому я склонен ему верить. Насчет пробелов после знаков препинания постараюсь учесть. Ранее претензий вроде бы небыло, а я привык выражаться сжато, в том числе и смысле использования поля поста.

[Someone]

Кардановский писал(а):

позвольте отослать вас , скажем к старику Евклиду.Он любил говаривать так:"Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную.Эта прямая называется параллельной данной".

Вообще, он как-то не так формулировал, но отметим в Вашем определении одно обстоятельство: прямая, параллельная данной, лежит в одной плоскости с данной. Посему приведённый Вами "пример" безграмотен:

Кардановский писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=41883#41883
Someone:Вы просили привести пример,извольте:возьмем сначала ПОЛНУЮ информацию содержащуюся в классической аксиоме"две параллельные прямые лежащие на одной плоскости нигде не пересекутся,как их ни продолжай в любую из сторон."В классической геометрии эта аксиома,как известно,не привела к противоречивым выводам за последние пару тысяч лет.Теперь несколько абстрагируемся от этой ПОЛНОЙ информации,т.е.,как вы говорили выше,возьмем лишь ЧАСТЬ этой ПОЛНОЙ информации,а именно:"две параллельные прямые нигде не пересекутся,как их ни продолжай в любую из сторон".Следуя вашим утверждениям, выводы сделанные на основе этой абстракции,не должны привести к противоречиям,поскольку исходная полная информация таких противоречий не влечет.Меж тем,это не так.Ведь в абстрагированном виде упущено важное условие:"лежащие на одной ПЛОСКОСТИ"

И даже если отказаться от обычного определения параллельных прямых, согласно которому параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются (в некоторых вариантах определения параллельным прямым разрешается совпадать), то, как писал PAV,

PAV писал(а):

небольшое уточнение по логике: в своем примере Вы не уменьшили, а УВЕЛИЧИЛИ нашу информацию

Ваш пример всё равно не годится: в первоначальном варианте утверждение относилось только к прямым, лежащим в одной плоскости, а в модифицированном - к любым прямым, то есть, стало более сильным: из модифицированного варианта утверждения логически следует первоначальный вариант. Нет ничего удивительного, что, заменяя одну из исходных посылок более сильной, мы можем с её помощью вывести большее количество следствий, среди которых могут оказаться и противоречивые.

Поэтому вопрос остаётся: либо приведите пример, когда отбрасывание части (или ослабление) исходных посылок приводит к противоречию, либо признайте, что процесс абстрагирования (опускания части информации, используемой для выводов) не может привести к противоречию.

[Кардановский]

Someone: Коллега! Мне кажется, вы недостаточно внимательно прочли приведенное мной определение.ПЛОСКОСТЬ там упоминается!(см. еще раз). Ну и потом, несмотря на то,что, к сожалению, лично мне не пришлось водить знакомство с Евклидом,все же, его определение я привел в виде изложенном весьма уважаемым математиком Алексеем Васильевичем Погореловым в его учебнике для мехматов университетов,который называется "Основания геометрии",из-во "Наука", Москва, 1968 г. на стр. 50. Так что, позвольте переадресовать ваши упреки в безграмотности непосредственно к Евклиду и Погорелову.

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

По второй части ваших замечаний:прочитайте пожалуйста , только ВНИМАТЕЛЬНО, мой ответ PAV.Поскольку,вы просто повторяете вопросы PAV ко мне в несколько измененном виде, то ответы на них вы можете найти там.

[Someone]

Кардановский писал(а):

Someone: Коллега! Мне кажется, вы недостаточно внимательно прочли приведенное мной определение.ПЛОСКОСТЬ там упоминается!(см. еще раз).

В определении, которое Вы цитируете, плоскость упоминается. И из него следует, что параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. Именно поэтому у меня возникли и недоумение по поводу Вашего "примера" в http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=41883#41883, и сам вопрос об определении параллельных прямых. Поэтому во фразе "две параллельные прямые, лежащие на одной плоскости, нигде не пересекутся, как их ни продолжай в любую из сторон" слова "лежащие на одной плоскости" явно лишние, а вторая фраза "две параллельные прямые нигде не пересекутся, как их ни продолжай в любую из сторон" означает в точности то же самое, что и первая. Поэтому Ваш пример противопоставляет две тождественные формулировки.

Кардановский писал(а):

Ну и потом, несмотря на то,что, к сожалению, лично мне не пришлось водить знакомство с Евклидом,все же, его определение я привел в виде изложенном весьма уважаемым математиком Алексеем Васильевичем Погореловым

Видите ли, аксиома о параллельных имеет большое количество порой совершенно непохожих, но, тем не менее, эквивалентных формулировок. А.В.Погорелов приводит одну из них, как мне кажется, наиболее распространённую в настоящее время. Сам Евклид формулировал это утверждение в виде пятого постулата: "И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых".
Вы же в своём сообщении приписываете современную формулировку самому Евклиду.

Кардановский писал(а):

По второй части ваших замечаний:прочитайте пожалуйста , только ВНИМАТЕЛЬНО, мой ответ PAV.Поскольку,вы просто повторяете вопросы PAV ко мне в несколько измененном виде, то ответы на них вы можете найти там.

Это вот здесь, что ли?
Давайте разберёмся. Вот Ваш "пример":

Кардановский писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=41883#41883
возьмем сначала ПОЛНУЮ информацию содержащуюся в классической аксиоме"две параллельные прямые лежащие на одной плоскости нигде не пересекутся,как их ни продолжай в любую из сторон."В классической геометрии эта аксиома,как известно,не привела к противоречивым выводам за последние пару тысяч лет.Теперь несколько абстрагируемся от этой ПОЛНОЙ информации,т.е.,как вы говорили выше,возьмем лишь ЧАСТЬ этой ПОЛНОЙ информации,а именно:"две параллельные прямые нигде не пересекутся,как их ни продолжай в любую из сторон".

Вот что написал PAV:

PAV писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=41910#41910
небольшое уточнение по логике: в своем примере Вы не уменьшили, а УВЕЛИЧИЛИ нашу информацию. В самом деле: сначала мы могли опираться лишь на то, что параллельные прямые на плоскости нигде не пересекутся. Про прочие прямые ничего известно не было. В новых же условиях Вы сообщили дополнительную информацию и про эти прямые тоже. Фактически Вы ДОБАВИЛИ к имеющимся у нас аксиомам новую. Разумеется, это может привести к противоречию.

То есть, если предположить, что параллельные прямые имеют какое-то другое определение, при котором они не обязаны лежать в одной плоскости, то вторая Ваша аксиома "две параллельные прямые нигде не пересекутся, как их ни продолжай в любую из сторон" сильнее первой "две параллельные прямые, лежащие на одной плоскости, нигде не пересекутся, как их ни продолжай в любую из сторон", так как содержит больше информации: первая аксиома касается только пар прямых, лежащих на одной плоскости, а вторая - всех пар прямых. Вы же странным образом считаете, что больше информации содержит первая аксиома.

Вот по этому поводу от Вас и требовались объяснения. Вы же отделываетесь псевдофилософскими рассуждениями на псевдоматематические темы наподобие нежелательности разделения логики и смысла на бытовые, математические, химические и так далее, а также какими-то непонятными рассуждениями о "неисследованной природе точки". Нет никакой "природы точки". Точкой математики могут называть вообще что угодно, любой математический объект.

Так все мы ждём предъявления реальных математических противоречий, о которых Вы так охотно рассуждаете.

[Macavity]

Кардановский писал(а):

Macavity:Мне кажется,с вашим шлемом ужаса,это несколько не по теме.Подобные вопросы обсуждают на форуме университетов им.Кащенко и им.Сербского.Там собраны большие специалисты по подобным вещам...Поэтому ,не могли бы вы в дальнейшем высказываться ближе к существу.Brukvalub вышел из темы по каким то своим мотивам.Зачем же вы его мне трактуете?Я и сам читал его посты.

Вот видите, Вы усмотрели в цитате полный абсурд (хотя Пелевин один из лучших современных русских прозаиков). А как по мне, если взять математическое определение эквивалентных или равномощных множеств (в том числе бесконечных), то оно аналогично приведенному мной в предыдущем письме отрывку. Больше того, я считаю, что "математичности" в приведенном отрывке гораздо больше, чем "нематематичности" в следующем отрывке из того же произведения (который, кстати, демонстрирует ограниченность обыденного сознания):

Цитата:

Независимо от общей кривизны жизни причащающийся Святых Даров может считать свой путь прямым на каждом бесконечно малом участке. А раз на любом участке его путь прям, значит, он прям в любой момент, а если он прям в любой момент, то он прям всегда и Господь не отвергнет его душу. То есть возникают как бы математические крылья, поднимающие нас ввысь из глубин нашего падения.

М-да...

Как бы там ни было, а идея об недопустимости использования обыденного мышления в точных и естественных науках принадлежит не мне, не Brukvalubу, вот, например, что пишет Эйнштейн:

Цитата:

Здравый смысл – это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восемнадцати годам.

Достаточно, конкретно, как по мне...
Если же перейти поближе к теме, то такие вещи как непротиворечивость теории и доказательство непротиворечивости, отнюдь не эквивалентные. В математике, далеко не все теории формализованы строго аксиоматически. Доказать непротиворечивость аксиоматической теории может оказаться далеко не просто, хотя возможно и такие доказательства математиками делаются. Что же касается теорий, которые строго аксиоматически не формализованы, то как мне кажется доказать их непротиворечивость строго математически невозможно. Однако такие теории строятся на строго выверенных фактах и других достаточно надежных теориях, больше того построение непротиворечивых математических теорий это дело принципа и чести и если вдруг обнаруживается противоречие, то теория может быть пересмотрена от начала до конца в поисках ошибочной теоремы или неправильного постулата. При написании и/или доказательстве новых теорем могут время от времени возникать достаточно тонкие ошибки, вводящие в заблуждение на некоторый период математическое сообщество. Например, кто-то доказал неверную теорему A, допустив тонкую труднообнаруживаемую ошибку. На основании теоремы A были доказаны теоремы X_1, X_2, ..., X_n, после чего была получена абсурдная теорема Y. Разумеется, в таком случае просматриваются предшествующие теоремы и находится та, которая привела к Y, это противоречие только кажущееся, так как оно не опровергает, а в конечном счете исправляет теорию. Тоже можно сказать и о теореме Гёделя - она не есть противоречие, она указала на определенную ограниченность аксиоматических теорий определенного вида и, кстати говоря, опирается как раз на непротиворечивость этих теорий.
Простой пример, Уальдс при доказательстве Великой теоремы Ферма допустил серьезную ошибку, которая сразу же не была обнаружена.В последствии ошибка была обнаружена и через несколько лет доказательство было исправлено. Это порождает другую проблему, а что если ошибка долгое время не обнаруживается.
Вот в программировании говорят:

Цитата:

Каждая последняя найденная ошибка на самом деле является предпоследней ошибкой.

А в математике? В программировании программы часто могут работать приемлемо даже при наличии ошибок. В математике мне кажется сложнее. Если для программирования ошибки это необходимое зло, с которым просто надо считаться, то в математике, ошибки это вынужденное зло, с которым вынужденны считаться, но никто их не приемлет. Но опять же это ошибки их в принципе можно исправить, а не какие-то глубокие внутренние противоречия.
Как бы там ни было, но если программист может игнорировать ошибку посчитав, что она настолько редко может появляться, что скорее всего и данная программа не будет существовать, когда она вдруг проявится, то математик обнаруженную ошибку игнорировать не может. Иными словами корректность, стройность и непротиворечивость математических теорий есть особая забота математиков. Поэтому оказывается, что в большинстве случаев настоящие противоречия вычищаются из теорий. Поэтому, как по мне, предложение найти настоящее противоречие в математике это некая своеобразная математическая шутка юмора, сродни предложению опровергнуть какую-нибудь достаточно известную и проверенную математическую теорию (на этом можно и дисер сделать докторский). В этом смысле, я считаю, что вместо того, чтобы так, с кондачка, искать противоречия в математике, было бы лучше и полезнее... это отказаться от "здравого смысла" в математике, вооружиться "математическими крыльями" и углубиться, по мере возможности и собственного интереса в её изучение.

[CrazyArcher]

Macavity писал(а):

...Корректность, стройность и непротиворечивость математических теорий есть особая забота математиков. Поэтому оказывается, что в большинстве случаев настоящие противоречия вычищаются из теорий.

Вы затронули хорошую тему... Приходит на ум неразрешенные проблемы теории множеств, в частноти вопрос о двоякости существования множества с "промежуточной" мощностью \aleph_0 < \aleph_n < \aleph_1, или вопрос о возможности противоречий между аксиомами в аксиоматической теории множеств... Возникает вопрос: как можно продолжать работу в камом-либо направлении, не убедившись в несокрушимости основ? Напрашивается очевидный ответ, что можно предположить правильность аксиом для дальнейших размышлений, и возможно какое-либо противоречие (если оно появится в дальнейшем) укажет где именно находится логическая дыра в изначальных аксиомах....
Что вы думаете по этому поводу?

[незваный гость]

Macavity писал(а):

В программировании программы часто могут работать приемлемо даже при наличии ошибок. В математике мне кажется сложнее. Если для программирования ошибки это необходимое зло,

Существует точка зрения, что это не так. Но качество программы — это экономическая категория (в отличии от теоремы в математике). Поэтому на доказательство правильности программы не затрачивают столько сил и времени, как на теорему.

[Macavity]

CrazyArcher писал(а):

Macavity писал(а):

...Корректность, стройность и непротиворечивость математических теорий есть особая забота математиков. Поэтому оказывается, что в большинстве случаев настоящие противоречия вычищаются из теорий.

Вы затронули хорошую тему... Приходит на ум неразрешенные проблемы теории множеств, в частноти вопрос о двоякости существования множества с "промежуточной" мощностью \aleph_0 < \aleph_n < \aleph_1, или вопрос о возможности противоречий между аксиомами в аксиоматической теории множеств... Возникает вопрос: как можно продолжать работу в камом-либо направлении, не убедившись в несокрушимости основ? Напрашивается очевидный ответ, что можно предположить правильность аксиом для дальнейших размышлений, и возможно какое-либо противоречие (если оно появится в дальнейшем) укажет где именно находится логическая дыра в изначальных аксиомах....
Что вы думаете по этому поводу?

Вообще я читал, что в ряде случаев существуют финитные методы для доказательства непротиворечивости теории. Вероятно, они связаны с проверкой взаимной непротиворечивости аксиом и правил вывода. Больше того, что такие доказательства делались в связи, в частности с появлением теоремы Гёделя (кажется в этом участвовали Г. Генцен и П. С. Новиков). И делалось это все именно для формальной арифметики (более точно сказать - для теории формальной арифметике, построенной на определенной конкретной системе аксиом и правил вывода). По моему, у Ершова и Палютина в "Математической логике" приводятся доказательство непротиворичивости для какой-то системы аксиом и правил вывода для, по-моему, формальной логики первого порядка или что-то такое. Если однако взять за основу Гёделевский тезис о неполноте и непополнимости системы аксиом, то окажется, что в принципе, любую формальную теорию уровня сложности и выразимости не ниже формальной арифметики, можно пополнять новыми аксиомами за счет недоказуемых истинных фактов теории. Вот тут и могут появляться дополнительные грабли, так как надо и показать недоказуемость, этого факта и его истинность (в этом случае противоречий не появится), но это же означает, что доказательство непротиворечивости теории может постепенно увеличиваться как снежный ком. Конечно, даже если теория формально аксиоматизирована, но является очень сложной и глубокой, то даже изначальное доказательство может быть невообразимых размеров (что увеличивает вероятность возникновения в нем ошибок). Но как говориться, что делать: казнить нельзя помиловать. Ошибки находятся, вычищаются, теория растет и набирает силу за счет практических применений...

незваный гость писал(а):

:evil:

Macavity писал(а):

В программировании программы часто могут работать приемлемо даже при наличии ошибок. В математике мне кажется сложнее. Если для программирования ошибки это необходимое зло,

Существует точка зрения, что это не так. Но качество программы — это экономическая категория (в отличии от теоремы в математике). Поэтому на доказательство правильности программы не затрачивают столько сил и времени, как на теорему.

Да, однозначно, когда речь идет о прикладном программировании (а именно его я имел ввиду), а не о теоретическом. Правда, по тем же и другим причинам (прикладная разработка делается для военных, для космоса, опасное производство и т.д.) затраты сил и времени могут наоборот возрастать.
Я помню, что еще со времен структурного программирования ставился вопрос о практических методах доказательства правильности программ (Дейкстра, Вирт, Хоар...), но и для ООП существуют определенные методы (типа предусловия, пост условия методов, контракт). Но всегда признавалось, что доказать правильность конкретной непростой программы вещь очень сложная (как минимум). А вот у меня ещё с институтских времен сидит в голове тезис, который, мне кажется, следует из теории алгоритмов, но хотя я в него верю, точно не знаю его истинность: Каждая достаточно сложная программа содержит в себе ошибки.

Но что интересно, на практике выполняется.

[Кардановский]

Someone: Мои формулировки не тождественны друг другу и вот почему: формулировка с плоскостью однозначно размещает параллельные прямые именно на бесконечной плоскости; формулировка же без плоскости допускает размещение этих самых параллельных прямых, скажем, на цилиндрической поверхности, которая затем в отдалении может переходить в какую то более сложную поверхность. Насчет Евклида-я его процитировал в изложении Погорелова,всего лишь. Обоснованно полагаю, что и ваше изложение Евклида, есть изложение через какого то интерпритатора, возможно и не одного. Давненько ведь жил старик, да и говорил на древнегреческом... По тому вопросу о величине информации в одной и другой формулировке, отвечаю,что если следовать вашей логике, то уменьшая дальше в формулировке количество слов, а затем и знаков до 0, мы, тем самым , якобы увеличиваем содержащуюся в формулировке информацию! Очевидно это абсурд! Ведь по вашей логике выходит, что формулировка содержащая 0 слов и 0 знаков содержит бесконечно большое количество информации! Тогда как она не содержит информации вовсе. Ваш пассаж о псевдофилософии я пропускаю-это псевдолирика. Ну а вот насчет точки , которой, по вашим словам, в математике можно назвать что угодно,хотелось бы уточнить. Поясните, пожалуйста, это что угодно, ну, хотя бы несколькими примерами этого чего угодно.

Добавлено спустя 22 минуты 2 секунды:

Macavity: Аргументировать Пелевиным, конечно же ваше полное право, но я как то все же не совсем припоминаю такого математика...Однако, к существу: насколько я вас понял, вы утверждаете, что вот уж в аксиоматических то теориях противоречия исключаются полностью. Я ранее утверждал, что вирус будущих противоречий заносится в момент математического абстрагирования, т.е. в момент создания самих математических понятий-число, точка, плоскость и т.п. Кроме того, сами аксиомы, будучи сформулированн строго, зачастую сами состоят из некоторых не очень четко определенных понятий.

[PAV]

Кардановский писал(а):

По тому вопросу о величине информации в одной и другой формулировке, отвечаю,что если следовать вашей логике, то уменьшая дальше в формулировке количество слов, а затем и знаков до 0, мы, тем самым , якобы увеличиваем содержащуюся в формулировке информацию! Очевидно это абсурд! Ведь по вашей логике выходит, что формулировка содержащая 0 слов и 0 знаков содержит бесконечно большое количество информации!

Вынужден заметить, что вы прибегаете к низким приемам ведения спора, приписывая оппонентам явные глупости, которые из их слов никоим образом не следуют. Если вы считаете, что из замечания Someone и моего следует данный вывод (разумеется, абсурдный), то так и пишите "по моей логике выходит, что..." а не по "вашей".

Маленький тест на логику. Решите, пожалуйста, следующую простую логическую задачку. Один путешественник собирался посетить дальний остров, причем ему было известно, что среди населения данного острова есть лжецы, которые всегда лгут. Его очень интересовало, как можно такого лжеца отличить. Он решил спросить, что об этом известно двум знакомым мудрецам, которые отличаются тем, что, хотя они знают не все, но если что-то утверждают - то это железно верно. Первый мудрец сказал путешественнику: "Я знаю следующее: если на жителе острова одета красная рубашка и желтые штаны - то это точно лжец." Второй же мудрец сказал: "Я знаю, что если на жителе острова одета красная рубашка - то это точно лжец". Теперь ответьте пожалуйста, кто из мудрецов сообщил путешественнику больше информации?

[Someone]

Кардановский писал(а):

Someone: Мои формулировки не тождественны друг другу и вот почему: формулировка с плоскостью однозначно размещает параллельные прямые именно на бесконечной плоскости; формулировка же без плоскости допускает размещение этих самых параллельных прямых, скажем, на цилиндрической поверхности, которая затем в отдалении может переходить в какую то более сложную поверхность.

Ерунду говорите. В определении сказано: "параллельные прямые в евклидовой геометрии - прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются". По определению параллельные прямые должны лежать в одной плоскости, независимо от того, упоминаем мы об этом или нет.

Кардановский писал(а):

Насчет Евклида-я его процитировал в изложении Погорелова,всего лишь.

Погорелов излагает не Евклида, а современную версию евклидовой геометрии.

Кардановский писал(а):

По тому вопросу о величине информации в одной и другой формулировке, отвечаю,что если следовать вашей логике, то уменьшая дальше в формулировке количество слов, а затем и знаков до 0, мы, тем самым , якобы увеличиваем содержащуюся в формулировке информацию! Очевидно это абсурд!

Это действительно абсурд, но Вы его придумали сами, так что это Ваш абсурд. Никто Вам такого в этой теме не писал.

Кардановский писал(а):

Ну а вот насчет точки , которой, по вашим словам, в математике можно назвать что угодно,хотелось бы уточнить. Поясните, пожалуйста, это что угодно, ну, хотя бы несколькими примерами этого чего угодно.

Да любой математический объект возьмём. Какой хотите. Число, вектор, матрицу, функцию, многоугольник, кривую на плоскости или в пространстве, векторное пространство, поверхность, меру, решение системы дифференциальных уравнений, дифференциальное уравнение, ... В определённой ситуации любой объект может быть правомерно назван точкой.

Кардановский писал(а):

Я ранее утверждал, что вирус будущих противоречий заносится в момент математического абстрагирования, т.е. в момент создания самих математических понятий-число, точка, плоскость и т.п. Кроме того, сами аксиомы, будучи сформулированн строго, зачастую сами состоят из некоторых не очень четко определенных понятий.

Больше того, они часто содержат вообще никак не определённые понятия и сами являются, в некотором смысле, определениями этих понятий.

Например: "Линейным (векторным) пространством называется множество $K$ элементов произвольной природы, обычно называемых векторами, для которых определены две операции:
а) для каждой упорядоченной пары вектороов $\vec a,\vec b\in K$ определена их сумма $\vec a+\vec b\in K$;
б) для каждого вектора $\vec a\in K$ и числа $\lambda\in\mathbb R$ определено произведение $\lambda\vec a\in K$,
причём, выполняются следующие восемь аксиом:
К1. ...
...
К8. ...

(список аксиом можно найти в учебнике по линейной алгебре).

Теперь можно задать вопрос: а что такое вектор? Когда я был студентом первого курса, лекции по линейной алгебре нам читал М.М.Постников. В потоке нашёлся особо въедливый студент, который начал выяснять, что такое вектор (Михаил Михайлович просил все вопросы задавать письменно). Вот этот студент послал первую записку с этим вопросом. М.М. ответил: "элемент векторного пространства". Студента это не удовлетворило, и он прислал вторую записку. М.М. пожал плечами и сказал, что он только что на этот вопрос ответил. Студент, однако, оказался настойчивым и прислал третью записку. М.М., похоже, даже немного рассердился: "Вот же в определении сказано: элемент произвольной природы".

Так что такое вектор? Что угодно, что можно складывать и умножать на числа (кстати, вместо множества действительных чисел в этом определении может использоваться любое поле), если выполняются восемь аксиом, перечисленных в определении.

С точками ещё проще: поскольку от точек обычно вообще ничего не требуется, то точкой можно считать что угодно. Фактически точка - это синоним термина "элемент множества", употребляемый в тех случаях, когда множество объектов изучается в некотором (чрезвычайно широком) смысле с "геометрической" точки зрения.