shust писал(а):
2 ХреН. Например, в рамках аксиоматики Пеано какое утверждение о числах, выразимое в этой аксиоматике является верным, но не доказуемым?
Я не являюсь специалистом в данном вопросе, так что могу что-то сказать не совсем четко. Но по мотивам популярных изложений пример самого Геделя (его собственное доказательство) имеет следующий вид.
Гедель разработал систему формальной записи утверждений и некоторую систему, согласно которой каждому утверждению приписывается некоторый уникальный номер ("геделев номер").
Далее, можно словами сформулировать следующее утверждение: "Формула, имеющая геделев номер N, не выводима". Это утверждение (обозначим его U(N)) также можно записать в виде формальной формулы и оно получит свой геделев номер N'.
Так вот, Гедель показал (или даже явно построил, не знаю) такой номер N, что утверждение U(N) имеет номер N'=N. Т.е. фактически утверждение заявляет, что его самого нельзя доказать.
Далее все просто. Мы исходим из аксиомы, что арифметика непротиворечива (в противоречивой теории теорема Геделя неверна, так как доказуемо любое утверждение). Тогда формулу U(N) действительно нельзя вывести, иначе получим противоречие. Так и получается, что это утверждение верно, но не выводимо.