Магические кубы

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

С Новым годом, уважаемые коллеги!

Сообщаю первый результат нового года

Составила программу построения магического куба 3-го порядка из различных простых чисел по общей алгебраической формуле, представленной выше. Верхний слой программа формирует очень быстро, но если задаю проверку принадлежности всех следующих элементов куба множеству простых чисел, программа надолго “задумывается”. Даже два слоя мне не удалось сформировать из простых чисел. Представляю магический куб, составленный по этой программе, в этом кубе только 6 чисел не являются простыми. Куб получен при следующих значениях переменных: $a = 29, b = 30, c = 24$ .

Код:

197 29   107 209 203   119 113 287
89 263   269 173 77    83 257 179
233 227   143 137 239   317 149 53

Предлагаю улучшить мой результат – построить магический куб 3-го порядка только из простых (различных) чисел. При этом желательно с минимальной магической константой.
Представленная формула легко реализуется, программа очень маленькая и быстро пишется. Вот только выполняется у меня долго

Предполагаю, однако, что задача эта не так проста, как кажется на первый взгляд. Я просмотрела сайт с арифметическими прогрессиями из простых чисел, мне не удалось найти три прогрессии длины 9 с одинаковой разностью да ещё такие, чтобы их первые члены тоже образовывали арифметическую прогрессию. Возможно, я что-то пропустила. Проверьте меня, пожалуйста. Если такие прогрессии есть, тогда нет проблем. Если же таких прогрессий нет, тогда данная задача относится к классу нерешённых задач.

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak
см. http://www.members.shaw.ca/hdhcubes/cube_prime.htm

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Цитата:

Утверждение: для того чтобы из заданных 27 произвольных чисел можно было составить магический куб 3-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти числа разбивались на три арифметические прогрессии длины 9 с одинаковой разностью, а первые члены этих прогрессий тоже образовывали арифметическую прогрессию.
Или эквивалентный вариант: числа заданного массива должны разбиваться на девять арифметических прогрессий длины 3 с одинаковой разностью, а первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию

Вношу коррективы в это утверждение: сформулированное условие является достаточным для построения магического куба 3-го поряка, но не является необходимым.
Долго зрела мысль, что магический куб 3-го порядка может быть построен и не из чисел арифметических прогрессий. Но не сразу сообразила, как это сделать. Осенило внезапно, можно сказать – во сне. Проснулась утром, села и построила такой куб. Сначала построила куб по приведённой формуле:

Код:

47 11   44 17 32   14 29 50
13 34   19 31 43   28 49 16
33 48   30 45 18   51 15 27

Здесь всё как положено, числа складываются в три арифметические прогрессии длины 9 с одинаковой разностью и первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию. Теперь применяю к этому кубу преобразование “плюс-минус 5”, вот так:
$35 + 5, 11 – 5, 12 – 5, 48 + 5, 14 – 5, 50 + 5, 51 + 5, 27 – 5$ .
В результате получаю магический куб, построенный из чисел, которые не складываются ни в какие арифметические прогрессии:

Код:

47 6   44 17 32   9 29 55
13 34   19 31 43   28 49 16
33 53   30 45 18   56 15 22

Затем рассматриваю магический куб 3-го порядка по данной maxal’ем ссылке (спасибо!). И обнаруживаю интересный факт: плюс-минус можно делать не только для тех элементов, для которых сделала я. Таким образом, появляется такая общая формула магического куба 3-го порядка:

Код:

a+c+8b+x1 a+2c+4b+x2 a+x3   a+2c+b a+6b a+c+5b   a+3b-x1 a+c+2b-x2 a+2c+7b-x3
a+2c+3b+x4 a+2b+x5 a+c+7b+x6   a+8b a+c+4b a+2c   a+c+b-x4 a+2c+6b-x5 a+5b-x6
a+b+x7 a+c+6b+x8 a+2c+5b+x9   a+c+3b a+2c+2b a+7b   a+2c+8b-x7 a+4b-x8 a+c-x9

При этом xi образуют полумагический квадрат с магической константой равной нулю:

Код:

 x1 x2 x3
x4 x5 x6
x7 x8 x9

В приведённом выше примере $x1 = 5, x2 = 0, x3 = -5, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0, x7 = -5, x8 = 0, x9 = 5$ .

А теперь покажу магический куб (построил Akio Suzuki в 1977 г.), который нашла на веб-сайте:

Код:

2309 2087   1439 1487 1733   2957 863 839
107 2423   1847 1553 1259   683 2999 977
2243 149   1373 1619 1667   1019 797 2843

Проверила, описывается ли этот куб приведённой общей формулой. Получилось, что $a = 407, b = 180, c = 426, x1 = -2010, x2 = 330, x3 = 1680, x4 = 330, x5 = -660, x6 = 330, x7 = 1680, x8 = 330, x9 = -2010$ .

Формула для вычисления магической константы куба остаётся прежней (как приведена ранее):
$S = 3(a + c + 4b)$ .
Для куба Suzuki имеем:
$S = 3(407 + 426 + 4*180) = 4659$

Итак, прогрессии для построения нетрадиционного магического куба 3-го порядка не нужны (точнее: не обязательны). Но массив чисел, из которых строится магический куб, должен удовлетворять условиям: сумма всех чисел массива кратна 27; магическая константа куба $S$ (получается делением суммы всех чисел массива на 9) кратна 3 и среди чисел массива есть число равное $S/3$ . Это число будет находиться в центре магического куба. Остальные 26 чисел массива должны разбиваться на 13 пар комплементарных чисел (то есть дающих в сумме константу ассоциативности куба $K_a$ ). Константа ассоциативности куба вычисляется по формуле: $K_a = 2S/3$ . Для куба Suzuki $K_a = 3106$

Сейчас проверю второй куб Suzuki, при каких значениях переменных в моей формуле он получается.
В конце веб-страницы, кажется, написаны нерешённые проблемы. Вторую проблему я поняла: не построен магический куб 3-го порядка из последовательных простых чисел. Да, это очень сложная задача. А какая первая проблема, не поняла. Автор не уверен в том, что кубы Suzuki наименьшие?
Ещё не поняла, что такое гиперкуб.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Второй магический куб Suzuki:

Код:

929 227   509 1607 1193   647 773 1889
947 1523   1787 1103 419   683 1259 1367
1433 1559   1013 599 1697   1979 1277 53

получается по моей формуле при следующих значениях переменных:
$a = 1139, b = - 90, c = 324, x1 = 816, x2 = 6, x3 = - 822, x4 = 6, x5 = - 12, x6 = 6, x7 = - 822, x8 = 6, x9 = 816$

$S = 3*(1139 + 324 + 4*(-90)) = 3309$
$K_a = 2*3309/3 = 2206$

Интересно отметить, что если не прибавлять и не вычитать xi, то получится магический куб, составленный из чисел трёх арифметических прогрессий длины 9, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию, но в этом кубе в верхнем и нижнем слоях не все числа будут простые (средний слой не изменяется). Вот этот куб:

Код:

923 1049   509 1607 1193   1463 779 1067
959 1517   1787 1103 419   689 1247 1373
1427 743   1013 599 1697   1157 1283 869

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #279194 писал(а):

Таким образом, появляется такая общая формула магического куба 3-го порядка:

Вы слишком вольно используете термин общая формула. В математике решение (и формула для него) чего-либо называется общим, если оно даёт все возможные решения; в противном случае оно называется частным.
У вас же, как я понял, нет доказательства, что приведённая формула даёт все возможные решения. Поэтому правильнее её называть (частным) параметрическим решением (если хотите подчеркнуть то, что она зависит от параметров).

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Я знаю, какие формулы называются общими в математике.
И мне известна разница между общими и частными формулами (кстати, совсем недавно я завершила серию статей "Общие формулы магических квадратов", в которых чётко разграничиваю общие и частные формулы).

Формула магического куба 3-го порядка, которая была приведена мной вначале и ошибочно названа общей, на самом деле таковой не является (о чём я уже сказала). Она даёт только решения для тех случаев, когда магический куб составлен из членов арифметических прогрессий указанного вида.
Формула, которая приведена последней, по-моему, действительно является общей. Я проверила все имеющиеся у меня магические кубы 3-го порядка, все они получаются по этой формуле при определённых значениях переменных, входящих в эту формулу.
Если вы хотите опровергнуть тот факт, что эта формула является общей, приведите пример магического куба, который по этой формуле получить невозможно ни при каких значениях переменных. Мне такой куб неизвестен.
***
Составила программку, которая строит магический куб по заданному среднему слою по приведённой формуле (без xi). В качестве среднего слоя можно взять любой магический квадрат. Например, берём такой квадрат из смитов:

Код:

562 526
454 202
346 634

По среднему слою программа определяет значения $a, b, c$ и по формуле составляет верхний и нижний слои.
Магический куб получается такой:

Код:

490 130   274 562 526   346 310 706
274 670   706 454 202   238 634 490
598 562   382 346 634   778 418 166

Всё хорошо, но в верхнем и нижнем слоях не все числа являются смитами (ещё есть одинаковые числа, но они могут исчезнуть после подключения xi). Теперь надо подключить xi:

Код:

742+x1 490+x2 130+x3   274 562 526   346-x1 310-x2 706-x3
418+x4 274+x5 670+x6   706 454 202   238-x4 634-x5 490-x6
202+x7 598+x8 562+x9   382 346 634   778-x7 418-x8 166-x9

Если удастся подобрать значения xi так, чтобы все элементы верхнего и нижнего слоёв превратились в смиты, то задача будет решена (условие для xi указано выше). Но вот удастся ли подобрать – это сложный вопрос. Впрочем, магических квадратов 3-го порядка из произвольных смитов у нас много имеется (можно ещё больше настроить, не проблема). Также, впрочем, и магических квадратов 3-го порядка из произвольных простых чисел. Так что, готовых средних слоёв много, можно поэкспериментировать.

Может быть, предложенный метод построения магического куба 3-го порядка из простых чисел или из смитов не очень хорош, но лучший мне пока неизвестен. Кто подбросит хорошие идеи? Узнать бы, каким методом Suzuki строил свои магические кубы.

Да, наверное, надо указать ещё условия для xi (хотя они очевидны - для того, чтобы не нарушилась ассоциативность куба):

$x_1 = x_9, x_2 = x_8, x_3 = x_7, x_4 = x_6$

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #279364 писал(а):

Формула, которая приведена последней, по-моему, действительно является общей. Я проверила все имеющиеся у меня магические кубы 3-го порядка, все они получаются по этой формуле при определённых значениях переменных, входящих в эту формулу.
Если вы хотите опровергнуть тот факт, что эта формула является общей, приведите пример магического куба, который по этой формуле получить невозможно ни при каких значениях переменных. Мне такой куб неизвестен.

Нельзя заявлять, что какая-то формула является общей без предъявления доказательства. То, что вы не нашли контр-примера, не означает, что его не существует (см. мой теглайн внизу).

Я вот вам не поверил, и решил проверить с помощью линейной алгебры. Ваша формула действительно является общей, если исправить в ней ошибку относительно выбора xi:

Nataly-Mak в сообщении #279194 писал(а):

Таким образом, появляется такая общая формула магического куба 3-го порядка:

Код:

a+c+8b+x1 a+2c+4b+x2 a+x3   a+2c+b a+6b a+c+5b   a+3b-x1 a+c+2b-x2 a+2c+7b-x3
a+2c+3b+x4 a+2b+x5 a+c+7b+x6   a+8b a+c+4b a+2c   a+c+b-x4 a+2c+6b-x5 a+5b-x6
a+b+x7 a+c+6b+x8 a+2c+5b+x9   a+c+3b a+2c+2b a+7b   a+2c+8b-x7 a+4b-x8 a+c-x9

При этом xi образуют полумагический квадрат с магической константой равной нулю:

Код:

x1 x2 x3
x4 x5 x6
x7 x8 x9

Этого условия недостаточно. Магичность главных диагоналей в кубе также требует выполнения равенств: x1=x9 и x3=x7.
В таком виде формула действительно становится общей. Однако, проще дать формулу, зависящую от 5 параметров и не требующую построения дополнительных квадратов, - например, такую:

Код:

-2*c+2*d+e, -2*c+d+2*e, c,       
-2*c-b+2*d+2*e, -2*c-a+2*d+2*e, c+a+b-d-e, 
c+b-d, c+a-e, -5*c-a-b+4*d+4*e, 

-4*c-a-b+3*d+4*e, 2*c+a-2*e, -c+b+e, 
2*c+a+2*b-2*d-2*e, -c+d+e, -4*c-a-2*b+4*d+4*e, 
-c-b+2*d+e, -4*c-a+2*d+4*e, 2*c+a+b-d-2*e, 

3*c+a+b-2*d-2*e, -3*c-a+2*d+3*e, -3*c-b+3*d+2*e, 
-3*c-a-b+3*d+3*e, a, b, 
-3*c+2*d+2*e, d, e

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #279194 писал(а):

Автор не уверен в том, что кубы Suzuki наименьшие?

Там есть такое утверждение насчет второго куба:

Цитата:

Addendum: As a result of a computer search, Allen Wm, Johnson, Jr. [2] confirmed that this cube has the smallest possible sum for an order 3 prime magic cube using distinct digits.
...
[2] A. W. Johnson, Jr., Solution to Problem 2617, JRM 32:4, 2003-2004, pp. 338-339

Не совсем понятно, что такое "using distinct digits", но вероятно автор имел в виду кубы составленные из различных простых.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

maxal в сообщении #279463 писал(а):

Этого условия недостаточно. Магичность главных диагоналей в кубе также требует выполнения равенств: x1=x9 и x3=x7.

Условие, которое вы указали, у меня было указано в следующем посте.

-- Пн фев 01, 2010 18:08:28 --

maxal в сообщении #279463 писал(а):

Однако, проще дать формулу, зависящую от 5 параметров и не требующую построения дополнительных квадратов, - например, такую:

Код:

-2*c+2*d+e, -2*c+d+2*e, c,       
-2*c-b+2*d+2*e, -2*c-a+2*d+2*e, c+a+b-d-e, 
c+b-d, c+a-e, -5*c-a-b+4*d+4*e, 

-4*c-a-b+3*d+4*e, 2*c+a-2*e, -c+b+e, 
2*c+a+2*b-2*d-2*e, -c+d+e, -4*c-a-2*b+4*d+4*e, 
-c-b+2*d+e, -4*c-a+2*d+4*e, 2*c+a+b-d-2*e, 

3*c+a+b-2*d-2*e, -3*c-a+2*d+3*e, -3*c-b+3*d+2*e, 
-3*c-a-b+3*d+3*e, a, b, 
-3*c+2*d+2*e, d, e

Я могу предложить формулу, зависящую от четырёх параметров и не требующую построения дополнительных квадратов:

Код:

d a+b+2c+d 2a+2b+c+d
a+2b+c+d 2a+d b+2c+d
2a+b+2c+d 2b+c+d a+d

2a+b+c+d 2b+d a+2c+d
2c+d a+b+c+d 2a+2b+d
a+2b+d 2a+2c+d b+c+d

a+2b+2c+d 2a+c+d b+d
2a+b+d 2b+2c+d a+c+d
c+d a+b+d 2a+2b+2c+d

См. мою статью "Магические кубы третьего порядка".

Кстати, эта формула очень удобна для построения магических кубов из простых чисел или из чисел Смита; её преимущество перед моей формулой в том, что в ней меньше переменных.

-- Пн фев 01, 2010 18:18:43 --

maxal
На сайте
http://www.multimagie.com/English/MultiplicCubes.htm
представлен построенный вами мультипликативный куб 4-го порядка.

Однако ни ваш куб, ни кубы автора сайта не обладают свойством пантриагональности. Мне удалось построить мультипликативный магический куб, обладающий этим свойством (см. "Магические кубы четвёртого порядка").
Далее я построила мультипликативный магический куб 4-го порядка из иррациональных чисел (подобно тому, как Эндрюс рассматривал нетрадиционные аддитивные магические кубы из смешанных чисел). Магическая константа этого куба равна 36, а наибольшее число в этом кубе равно 6 (завтра выложу этот куб на сайт, в указанную статью). Этот куб тоже обладает свойством пантриагональности.

Возникает интересная задача: можно ли построить мультипликативный пантриагональный магический куб 4-го порядка из натуральных чисел с меньшей магической константой, чем куб, построенный мной?

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #284958 писал(а):

Однако ни ваш куб, ни кубы автора сайта не обладают свойством пантриагональности.

Логично. Я пандиагональность не рассматривал, а на сайте пандиагональные (правда, и одновременно совершенные) кубы рассматриваются в других разделах:
http://www.multimagie.com/English/Panperfectcubes.htm
http://www.multimagie.com/English/PanperfectMMC.htm

Nataly-Mak в сообщении #284958 писал(а):

Далее я построила мультипликативный магический куб 4-го порядка из иррациональных чисел (подобно тому, как Эндрюс рассматривал нетрадиционные аддитивные магические кубы из смешанных чисел). Магическая константа этого куба равна 36, а наибольшее число в этом кубе равно 6

Какой смысл тут в точных константах? Ведь все элементы куба можно разделить на одно и тоже число и получить куб с меньшими магической константой и наибольшим элементом. Для мультипликативных кубов $n\times n\times n$ из нецелых чисел, скорее интересно отношение корня $n$ -ой степени из магической константы к максимальному элементу (которое не меняется при умножении/делении всех элементов на константу). Для вашего куба это отношение равно $\frac{\sqrt{6}}{6}\approx 0.408$ .

-- Mon Feb 01, 2010 14:36:41 --

Nataly-Mak в сообщении #284958 писал(а):

Я могу предложить формулу, зависящую от четырёх параметров и не требующую построения дополнительных квадратов:

Решение с 4-мя параметрами не является общим. Общее решение требует как минимум 5 параметров (такова размерность линейного пространства решений).

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Цитата:

Решение с 4-мя параметрами не является общим. Общее решение требует как минимум 5 параметров (такова размерность линейного пространства решений).

Я и не назвала эту формулу общей, потому что сомневалась в её общности, в отличие от своей первой формулы, в которой не сомневалась.

Мне трудно понять аппарат линейной алгебры, с помощью которого вы доказали общность моей первой формулы, потому что я начисто забыла всю линейную алгебру.

На указанном выше сайте я видела две формулы для построения мультипликативных кубов третьего порядка, но являются ли они общими? Вряд ли. В них всего три переменные. Но, может быть, для мультипликативных кубов этого достаточно?

Кстати, из одной из этих формул получена формула для аддитивных кубов с 4-мя переменными, приведённая мной выше. Я попробовала по этой формуле построить магический куб, а затем проверила его по своей формуле - он получается по этой формуле.

-- Вт фев 02, 2010 06:51:34 --

maxal в сообщении #285043 писал(а):

Какой смысл тут в точных константах? Ведь все элементы куба можно разделить на одно и тоже число и получить куб с меньшими магической константой и наибольшим элементом. Для мультипликативных кубов $n\times n\times n$ из нецелых чисел, скорее интересно отношение корня $n$ -ой степени из магической константы к максимальному элементу (которое не меняется при умножении/делении всех элементов на константу). Для вашего куба это отношение равно $\frac{\sqrt{6}}{6}\approx 0.408$ .

В каком смысле интересно это отношение? Надо стремиться к тому, чтобы оно было минимальным?

В моём мультипликативном кубе из натуральных чисел $S = 3^6*2^{30}$ , максимальное число равно $884736$ . Отношение равно (приблизительно) $0.00106$ (если не ошиблась в вычислениях).
В вашем кубе $S = 8648640$ , максимальное число равно $364$ , отношение равно (приблизительно) $0.149$ .
В моём кубе из иррациональных чисел отношение равно (приблизительно) $0.408$ .

Что интереснее?

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Цитата:

Решение с 4-мя параметрами не является общим. Общее решение требует как минимум 5 параметров (такова размерность линейного пространства решений).

Вы уверены в справедливости этого утверждения?
Я не вникала в приведённую вами формулу, зависящую от 5 параметров.
Но вот над своей общей формулой подумала.
Во-первых, она не требует строить какие-то дополнительные квадраты (как вы говорите). Условие для переменных xi не означает, что надо строить полумагический квадрат, образуемый этими переменными, просто условие было удобно задать через полумагический квадрат.
Далее, с учётом условий, накладываемых на переменные xi, независимых переменных только две: x1 и x2, все остальные выражаются через эти две.
Таким образом, что мы имеем? Мы имеем, что моя формула тоже зависит от 5 параметров: $a, b, c, x1, x2$ .
Но и это ещё не всё! Посмотрите внимательно на формулу. Все элементы содержат слагаемое $a$ . Но ведь все элементы куба можно уменьшить на одну и ту же величину, и он при этом останется магическим.
Вычтем тогда из всех элементов $a$ , и мы получим общую формулу, зависящую только от 4 параметров.

Найдите ошибку в моём доказательстве.

P. S. Но если даже последний пункт сомнителен (вычитание переменной $a$ ), то всё равно ваша формула (зависящая от 5 параметров) ничуть не лучше моей.

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #285189 писал(а):

Но ведь все элементы куба можно уменьшить на одну и ту же величину, и он при этом останется магическим.
Вычтем тогда из всех элементов $a$ , и мы получим общую формулу, зависящую только от 4 параметров.

Если вы вычтите $a$ , то вы тем самым сузите множество рассматриваемых кубов. И полученная формула будет давать решения только из этого суженного множества, то есть, формально говоря, не будет общей для множества всех кубов.

В некотором смысле эта опрерация эквивалентна занулению одного из элементов куба. Да, общая формула для кубов с нулевым элементов будет содержать минимум 4 параметра, но она не будет общей для множества всех кубов (которые могут состоять полностью из ненулевых элементов).

-- Tue Feb 02, 2010 18:44:16 --

Nataly-Mak в сообщении #285086 писал(а):

В каком смысле интересно это отношение? Надо стремиться к тому, чтобы оно было минимальным?

Ну да. В каком-то смысле этот параметр характеризует разброс значений элементов куба. Другой параметр, который можно рассмотреть для мультипликативных кубов, - отношение максимального элемента к минимальному.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

maxal в сообщении #285304 писал(а):

Если вы вычтите $a$ , то вы тем самым сузите множество рассматриваемых кубов. И полученная формула будет давать решения только из этого суженного множества, то есть, формально говоря, не будет общей для множества всех кубов.

В некотором смысле эта опрерация эквивалентна занулению одного из элементов куба. Да, общая формула для кубов с нулевым элементов будет содержать минимум 4 параметра, но она не будет общей для множества всех кубов (которые могут состоять полностью из ненулевых элементов).

Да, но любой куб со всеми ненулевыми элементами можно превратить в куб с одним нулевым элементом (вычтя из всех элементов куба одно и то же число, которое и есть параметр $a$ ) и наоборот: любой куб с нулевым элементом можно превратить в куб со всеми ненулевыми элементами (увеличив все элементы куба на одно и то же число - $a$ ).
Другими словами: формула фактически не зависит от параметра $a$ .

Вы меня не убедили в том, что в этом случае формула не является общей.

Давайте мне любой аддитивный магический куб 3-го порядка, и я скажу вам, при каких значениях 4-х параметров $b, c, x1, x2$ можно получить этот куб по моей формуле.

Наоборот: если я построю по этой формуле все возможные магические кубы (то есть при всех возможных значениях переменных), то получу множество кубов, в котором будут как кубы с нулевым элементом, так и кубы без нулевого элемента. Значит, я получу всё множество решений.

А раз так, то формула является общей!

P.S. Можно сказать так, что тут всё зависит оттого, считать ли множество кубов, полученных из куба с одним нулевым элементом путём увеличения всех элементов на одно и то же число, совершенно новым множеством кубов. Я предпочитаю считать эти кубы эквивалентными.

Ведь не считаем же мы разными два магических квадрата, в одном из которых есть число 0, а в другом этого числа нет (ко всем элементам прибавили единицу).

maxal · 11/01/06 5660

Nataly-Mak в сообщении #285311 писал(а):

любой куб с нулевым элементом можно превратить в куб со всеми ненулевыми элементами (увеличив все элементы куба на одно и то же число - $a$ ).
Другими словами: формула фактически не зависит от параметра $a$ .

Вы сами себе противоречите. Если число $a$ было использовано при построении куба, то формула, по которой он получен, зависит от $a$ .

Nataly-Mak в сообщении #285311 писал(а):

Давайте мне любой аддитивный магический куб 3-го порядка, и я скажу вам, при каких значениях 4-х параметров $b, c, x1, x2$ можно получить этот куб по моей формуле.

Если вы собираетесь ещё увеличивать все элементы на (пятый параметр) $a$ как написано выше, то любой куб вы получить сможете. Но если собираетесь обойтись только лишь $b, c, x1, x2$ , то готов привести контрпример.

-- Tue Feb 02, 2010 23:12:27 --

Nataly-Mak в сообщении #285311 писал(а):

Ведь не считаем же мы разными два магических квадрата, в одном из которых есть число 0, а в другом этого числа нет (ко всем элементам прибавили единицу).

Считать или не считать их одинаковыми зависит от контекста. Если не оговорено обратного, то я считаю такие квадраты разными.

Научный форум dxdy

Магические кубы

Кто сейчас на конференции