Абстракция актуальной бесконечности

[Xaositect]

Вот мы тут про геделевское утверждение говорим.
Оно имеет вид $G\equiv \forall prf \neg P(prf)$, где предикат $P$ рекурсивен и означает, что доказательство за номером $prf$ является доказательством утверждения $G$.
При этом для каждого конкретного $i$ доказуемо, что $\neg P(i)$, то есть если мы возьмем алгоритм, который выдает число, в $i$-м разряде которого стоит 1, если $P(i)$ и 0, если $\neg P(i)$, то он задает конструктивное число 0, но сы не можем этого доказать.
Если мы возьмем какой-нибудь алгоритм, который вычисляет число пи, и построим новый алгоритм, который будет выдавать то же число и прибавлять единицу в $i$-м разряде, если $P(i)$. Он будет вычислять $\pi$, но мы не сможем этого доказать.

[epros]

Nxx писал(а):

НЕИЗВЕСТНО, что в коробке меньше 10-ти предметов, известно только, что их конечное количество. Верхняя граница неизвестна.

А Вам нужно конкретную верхнюю границу назвать? А если я просто говорю, что их конечное число, т.е. есть их меньше некоторого числа $k$, то это Вас не устраивает?

Nxx писал(а):

Цитата:

А алгоритм для вычисления $\pi$ тоже может сходиться "ни к какому числу"?

Нет, потому что один из алгоритмов взят за эталон, а про другие доказано, что они имеют тот же предел.

Возьмём указанный мной алгоритм вычисления числа $a$ "за эталон".

Nxx писал(а):

Цитата:

Вы понимаете, что если последовательность рациональных чисел сходящаяся, то то, к чему она сходится, это по определению есть число?

Да, если она сходится.

Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что это последовательность Коши.

Nxx писал(а):

Цитата:

Если существование нечетных совершенных чисел "нельзя доказать", то значит их не существует.

И это мне говорит конструктивист?

Да.

Nxx писал(а):

Если их не существует и мы можем это доказать, значит, здробь равна 1/3.

Да.

Nxx писал(а):

Доказательство того, что их существование нельзя доказать будет и доказательством несуществования нечетных совершенных чисел.

Да.

И в итоге, откуда появилась нижеследующая ерунда?

Nxx писал(а):

Поэтому мы никогда не сможем доказать, что этот ряд не сходится ни к какому числу. Но можем это подозревать.

Nxx писал(а):

Позволяет избавиться от билиберды вроде "не может не существовать".

Не позволяет. Поскольку теперь высказывания у нас называются "логическими выражениями", то мы можем убедиться на примерах, что для некоторых из них закон исключённого третьего не выполняется. А чтобы убедиться, что такие "логические выражения" (для которых закон не выполняется) не являются "высказываниями", нам нужно сначала доказать, что они неразрешимы.

[Nxx]

Цитата:

А Вам нужно конкретную верхнюю границу назвать? А если я просто говорю, что их конечное число, т.е. есть их меньше некоторого числа $k$, то это Вас не устраивает?

Если число k неизвестно, вы не сможете найти наибольшее совершенное число, даже если знаете, что их конечное количество.

Цитата:

Возьмём указанный мной алгоритм вычисления числа $a$ "за эталон".

Ну и какой смысл такого алгоритма, про который даже неизвестно, к какому числу он сходится? Для вычислений он абсолютно бесполезен.

Цитата:

Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что это последовательность Коши.

Хорошо. Допустим, она сходится к некоему числу. Пусть f(x) - функция, которая для любого рационального числа дает знаменатель несократимой дроби, которая равна этому числу. Для предела вашей последовательности (если доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно), такая функция невычислима. Значит, не может быть функции, которая для любого числа дает знаменатель его несократимой дроби. Значит, число m - не существует.

Цитата:

Поскольку теперь высказывания у нас называются "логическими выражениями", то мы можем убедиться на примерах, что для некоторых из них закон исключённого третьего не выполняется. А чтобы убедиться, что такие "логические выражения" (для которых закон не выполняется) не являются "высказываниями", нам нужно сначала доказать, что они неразрешимы.

Напротив, чтобы делать какие-то действия над выражениями, надо убедиться, что они имеют смысл (т.е. являются высказываниями). А то я вам в два счета докажу, что 2х2=5, если не буду проводить проверку используемых выражений и начну делить на нуль, прибавлять к левой и правой части бесконечности и т.д. Прежде чем использовать предел в уравнении, надо убедиться, что он существует. А то получится ситуация как выше я приводил с пределами синуса и косинуса.

Добавлено спустя 34 минуты 31 секунду:

Xaositect писал(а):

Вот мы тут про геделевское утверждение говорим.
Оно имеет вид $G\equiv \forall prf \neg P(prf)$, где предикат $P$ рекурсивен и означает, что доказательство за номером $prf$ является доказательством утверждения $G$.
При этом для каждого конкретного $i$ доказуемо, что $\neg P(i)$, то есть если мы возьмем алгоритм, который выдает число, в $i$-м разряде которого стоит 1, если $P(i)$ и 0, если $\neg P(i)$, то он задает конструктивное число 0, но сы не можем этого доказать.
Если мы возьмем какой-нибудь алгоритм, который вычисляет число пи, и построим новый алгоритм, который будет выдавать то же число и прибавлять единицу в $i$-м разряде, если $P(i)$. Он будет вычислять $\pi$, но мы не сможем этого доказать.

Что-то мне кажется, что ваше G или P задаются рекурсивной формулой, аналогичной x=x+1, {x=-x, x=1} или что-то в этом роде.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #195038 писал(а):

Что-то мне кажется, что ваше G или P задаются рекурсивной формулой, аналогичной x=x+1, {x=-x, x=1} или что-то в этом роде.

Я не буду приводить здесь доказательство, оно длинное и техническое, но $P$ - это рекурсивный предикат. Его истинность можно выяснить на машине Тьюринга.

[epros]

Nxx писал(а):

Если число k неизвестно, вы не сможете найти наибольшее совершенное число, даже если знаете, что их конечное количество.

Если Вам говорят, что шаров конечное количество, значит тому, кто это говорит, известно некое $k$, больше которого их не может быть. Просто он не удосужился Вам это число сообщить.

Nxx писал(а):

Ну и какой смысл такого алгоритма, про который даже неизвестно, к какому числу он сходится? Для вычислений он абсолютно бесполезен.

Известно, что он сходится к числу $a$. Точно так же, как про алгоритм вычисления числа $\pi$ известно, что он сходится к числу $\pi$.

Nxx писал(а):

Пусть f(x) - функция, которая для любого рационального числа дает знаменатель несократимой дроби, которая равна этому числу. Для предела вашей последовательности (если доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно), такая функция невычислима.

Во-первых, не доказано, что число $x$ рациональное (доказано только, что оно не может не быть рациональным). Поэтому оно не относится к области определения этой функции, т.е. она не обязана быть вычислимой для такого аргумента.

Во-вторых, я у же неоднократно повторял, что ситуация, когда "доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно" является противоречивой, потому что если доказано, что существование нечетных рациональных чисел недоказуемо, то это означает, что их существование опровергнуто.

Nxx писал(а):

Значит, число m - не существует.

А поскольку определение числа $\pi$ ничем по существу не отличается от определения числа $a$, то его тоже "не существует"?

Nxx писал(а):

Напротив, чтобы делать какие-то действия над выражениями, надо убедиться, что они имеют смысл (т.е. являются высказываниями).

Во-первых, у Вас есть какой-то способ определения того, является ли "логическое выражение" разрешимым, кроме доказательства или опровержения?

Во-вторых, с какой стати Вы запрещаете действия над "выражениями"? Попытка доказательства или опровержения является тоже действием над "выражением", про которое нам пока неизвестно, является ли оно разрешимым. Например, если взять Ваше $2 \times 2 = 5$, то его опровержение, очевидно, тоже является результатом некоторых "действий", а именно - эквивалентных преобразований согласно с аксиомами арифметики:
$2 \times 2 = 2 \times (1 + 1) = (2 \times 1) + 2 = 2 + 2 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4$

[Nxx]

Цитата:

Если Вам говорят, что шаров конечное количество, значит тому, кто это говорит, известно некое $k$, больше которого их не может быть. Просто он не удосужился Вам это число сообщить.

То, что это $k$ кому-то известно, нам это не поможет.
Ваша цитата:

Цитата:

Если мы знаем, что их конечное число, то мы знаем, что переберём их все через конечное число шагов.

Знания, что их конечное число недостаточно, надо знать и $k$.
Если $k$ неизвестно, то невозможно найти и наибольшее число.

Цитата:

Известно, что он сходится к числу $a$.

Про которое неизвестно, что это за число и даже равно ли оно нулю.

Цитата:

Точно так же, как про алгоритм вычисления числа $\pi$ известно, что он сходится к числу $\pi$.

Которое является отношением длины окружности к диаметру.

Цитата:

Во-первых, не доказано, что число $x$ рациональное (доказано только, что оно не может не быть рациональным).

Доказано, что оно не может быть рациональным так как его нельзя представить виде несократимой дроби.

Цитата:

Во-вторых, я у же неоднократно повторял, что ситуация, когда "доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно" является противоречивой

То есть, вы хотите сказать, что такого варианта быть не может?

Цитата:

потому что если доказано, что существование нечетных рациональных чисел недоказуемо, то это означает, что их существование опровергнуто.

А кто сказал, что это можно доказать?

Цитата:

с какой стати Вы запрещаете действия над "выражениями"?

Ну вот пример, к чему приводят "действия над выражениями", без проверки, что это за выражения и имеют ли они смысл:

$$a^2=a^2$$

$$a^2-a^2=a^2-a^2$$

$$a*(a-a)=(a-a)*(a+a)$$

$$a=a+a$$

В данном случае левая и правая часть умножается на 1/0 - выражение, не имеющее смысла.

[Someone]

epros в сообщении #194957 писал(а):

Someone, я уже дал определение - пользуйтесь: Берёте интересующее Вас множество, сравниваете его по мощности с минимальным индуктивным множеством, и узнаёте, является ли оно "актуальной бесконечностью".

Всё ясно. Из всего этого следует только один вывод: говоря об актуальной бесконечности, Вы не понимаете, о чём говорите. Вы просто фанатично повторяете: "классическая математика плохая, потому что пользуется актуальной бесконечностью, а конструктивный рекурсивный анализ хороший, потому что не пользуется актуальной бесконечностью". А в чём разница, Вы объяснить не в состоянии.

epros в сообщении #194957 писал(а):

Если известно, что в коробке менее 10-ти предметов, и мы отсюда делаем вывод, что можем перебрать их все и найти самый большой, то с чего бы это вдруг Вам заявлять, что мы не сможем найти самый большой, поскольку мы пока не знаем, сколько именно предметов в коробке?

Nxx прав. Предположим, что в коробке 8 предметов, а мы знаем только, что их меньше 10. Содержимого коробки мы не видим. Просто имеется устройство, которое через нерегулярные и произвольно большие промежутки времени достаёт из коробки один предмет. После того, как оно достанет 8 предметов, мы не будем знать, есть ли там девятый, и будем бесконечно долго ждать, достанет ли устройство ещё один предмет.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Если Вам говорят, что шаров конечное количество, значит тому, кто это говорит, известно некое $k$, больше которого их не может быть. Просто он не удосужился Вам это число сообщить.

То, что это $k$ кому-то известно, нам это не поможет.

Нам не нужно помогать. Достаточно, что мы знаем, что процедура поиска максимального предмета закончится, хотя и не знаем как быстро.

Nxx писал(а):

Ваша цитата:

Цитата:

Если мы знаем, что их конечное число, то мы знаем, что переберём их все через конечное число шагов.

Знания, что их конечное число недостаточно, надо знать и $k$.
Если $k$ неизвестно, то невозможно найти и наибольшее число.

Нет, возможно. Просто когда Вы получите результат через 10 шагов, то это станет для Вас сюрпризом (если Вы ожидали его не ранее, чем через 100 шагов, или наоборот - быстрее, чем через 5 шагов).

Someone писал(а):

Nxx прав. Предположим, что в коробке 8 предметов, а мы знаем только, что их меньше 10. Содержимого коробки мы не видим. Просто имеется устройство, которое через нерегулярные и произвольно большие промежутки времени достаёт из коробки один предмет. После того, как оно достанет 8 предметов, мы не будем знать, есть ли там девятый, и будем бесконечно долго ждать, достанет ли устройство ещё один предмет.

Вы переопределяете задачу. Конечность перебора означает, что мы узнаем, когда он закончится, т.е. если он ещё не закончился, мы тоже будем об этом знать. Ситуация, когда очередной шаг может затянуться на неопределённо долгое время, является надуманной.

Nxx писал(а):

Цитата:

Известно, что он сходится к числу $a$.

Про которое неизвестно, что это за число

Изощряетесь в софистике? Что значит Ваше загадочное "неизвестно, что это за число"? Нам известно, что это число $a$, определённое таким-то образом.

Nxx писал(а):

и даже равно ли оно нулю.

Если рассуждать как Вы, то про алгоритм вычисления $\pi$ тоже неизвестно, равен ли его предел $\pi + a$.

Nxx писал(а):

Цитата:

Точно так же, как про алгоритм вычисления числа $\pi$ известно, что он сходится к числу $\pi$.

Которое является отношением длины окружности к диаметру.

Ну и что? Вам обязательна геометрическая аналогия?

Nxx писал(а):

Доказано, что оно не может быть рациональным так как его нельзя представить виде несократимой дроби.

На спор? Что дадите, если кто-нибудь найдёт нечётное совершенное число и окажется, что число $x$ представляется рациональной дробью?

Nxx писал(а):

Цитата:

Во-вторых, я у же неоднократно повторял, что ситуация, когда "доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно" является противоречивой

То есть, вы хотите сказать, что такого варианта быть не может?

Я сказал, что эта ситуация противоречива. Если Ваша теория допускает возможность такой ситуации, то она противоречива.

Nxx писал(а):

Цитата:

потому что если доказано, что существование нечетных рациональных чисел недоказуемо, то это означает, что их существование опровергнуто.

А кто сказал, что это можно доказать?

О чём тогда речь? Если Вы хотели высказать нечто вроде: "Если $0=1$, то число $x$ иррационально", то пожалуйста - из ложного утверждения может следовать какая угодно чушь. Но если Вы утверждаете, что возможна ситуация, когда "доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно", то, наверное, потому что Вы это можете это доказать?

Nxx писал(а):

Ну вот пример, к чему приводят "действия над выражениями", без проверки, что это за выражения и имеют ли они смысл:

$$a^2=a^2$$

$$a^2-a^2=a^2-a^2$$

$$a*(a-a)=(a-a)*(a+a)$$

$$a=a+a$$

В данном случае левая и правая часть умножается на 1/0 - выражение, не имеющее смысла.

Ай-яй-яй! Какая бесстыдная подтастовка! Я говорил об эквивалентных преобразованиях арифметических выражений, которые являются частью теоретического вывода. А Вы мне приводите пример, когда из $a \times b = c \times b$ выводится $a = c$. Неверный вывод! И это любому школьнику известно. В арифметике такого вывода нет.

Someone писал(а):

epros в сообщении #194957 писал(а):

Someone, я уже дал определение - пользуйтесь: Берёте интересующее Вас множество, сравниваете его по мощности с минимальным индуктивным множеством, и узнаёте, является ли оно "актуальной бесконечностью".

Всё ясно. Из всего этого следует только один вывод: говоря об актуальной бесконечности, Вы не понимаете, о чём говорите. Вы просто фанатично повторяете: "классическая математика плохая, потому что пользуется актуальной бесконечностью, а конструктивный рекурсивный анализ хороший, потому что не пользуется актуальной бесконечностью". А в чём разница, Вы объяснить не в состоянии.

Someone, эта чушь, по-моему, даже ответа не заслуживает.

[ewert]

epros:

Ну хорошо. Вот Вам число, вполне конкретное: $a$ -- это значение функции $y(x)$ в точке $x=\pi$, где $y(x)$ -- функция, удовлетворяющая требованию $y'(x)=f(x,y(x))$, где $f(x,y)=\ln x+3y$ при $x<e$ и $f(x,y)=\arctg x-8y$ при $x>e$, и при этом $y(1)=5$.

Существует ли такое число?

Ответ следует обосновать: да -- да, нет -- нет.

[Nxx]

Цитата:

Нам не нужно помогать. Достаточно, что мы знаем, что процедура поиска максимального предмета закончится, хотя и не знаем как быстро.

Она никогда не закончится, так как мы не будем знать, когда ее остановить. Какой бы предмет у нас ни был, мы не будем знать, что он - максимальный.

Цитата:

Нет, возможно. Просто когда Вы получите результат через 10 шагов, то это станет для Вас сюрпризом (если Вы ожидали его не ранее, чем через 100 шагов, или наоборот - быстрее, чем через 5 шагов).

О каком сюрпризе вы говорите? Как вы узнаете, что именно этот предмет - максимальный? Вы этого знать не будете и будете продолжать поиски без остановки.

Цитата:

Конечность перебора означает, что мы узнаем, когда он закончится, т.е. если он ещё не закончился, мы тоже будем об этом знать.

Перебор как раз, бесконечный. Известно только, что нужных нам предметов конечное количество, а всего в коробке неограниченное количество предметов.

Цитата:

Если рассуждать как Вы, то про алгоритм вычисления $\pi$ тоже неизвестно, равен ли его предел $\pi + a$.

Естественно. Ведь число $a$ нам неизвестно.

Цитата:

Ну и что? Вам обязательна геометрическая аналогия?

Понимаете, понапридумывать сущности можно какие угодно, но есть определенные базовые понятия, с которыми мы и сравниваем.
Есть два алгоритма. Про один из них все известно, результат другого зависит от недоказуемой гипотезы

Цитата:

На спор? Что дадите, если кто-нибудь найдёт нечётное совершенное число и окажется, что число $x$ представляется рациональной дробью?

Перечитайте доказательство еще раз. Оно относится только к случаю, когда ни доказать, ни опровергнуть существование нечетных совершенных чисел невозможно и это в самом доказательстве повторенно несколько раз. По-моему, вы просто придуриваетесь.

Цитата:

Но если Вы утверждаете, что возможна ситуация, когда "доказать или опровергнуть существование нечетных рациональных чисел невозможно", то, наверное, потому что Вы это можете это доказать?

Это вы взялись приводить пример, когда нельзя сказать, что "существует", но в то же время "не может не существовать", но теперь сами же утверждаете, что приведенный вами же пример, противоречив.
Я понятия не имею, можно ли доказать или опровергнуть, что существование нечетных рациональных чисел невозможно. Если это возможно доказать или опровергнуть, то никакой проблемы нет, и число m существует, а число х - рациональное.

Цитата:

Ай-яй-яй! Какая бесстыдная подтастовка! Я говорил об эквивалентных преобразованиях арифметических выражений, которые являются частью теоретического вывода.

Ну вот вам теоретический вывод, а неэквивалентными преобразования стали только потому, что в них используются неопределенные выражения под видом имеющих смысл.

[epros]

Nxx писал(а):

Она никогда не закончится, так как мы не будем знать, когда ее остановить.

Когда в ящике больше не останется предметов для перебора. См. как сформулированы условия и не несите ерунды.

Nxx писал(а):

О каком сюрпризе вы говорите? Как вы узнаете, что именно этот предмет - максимальный? Вы этого знать не будете и будете продолжать поиски без остановки.

Мы не сможем продолжать поиск, когда ящик окажется пуст.

Nxx писал(а):

Известно только, что нужных нам предметов конечное количество, а всего в коробке неограниченное количество предметов.

Какая чушь... Конечное количество по определению является "ограниченным".

Nxx писал(а):

Цитата:

Ну и что? Вам обязательна геометрическая аналогия?

Понимаете, понапридумывать сущности можно какие угодно, но есть определенные базовые понятия, с которыми мы и сравниваем.

Что у Вас здесь "базовое"? Представление об окружностях и о том, что для любой из них отношение её длины к диаметру одинаково? "Напридуманной сущностью" в данном случае является введённое по определению общее понятие действительного числа: А именно, предел сходящейся последовательности рациональных чисел. В соответствии с этим определением мы можем вводить самые разные числа, и число $a$ - ничуть не хуже прочих.

Nxx писал(а):

Есть два алгоритма. Про один из них все известно, результат другого зависит от недоказуемой гипотезы

Что это за "всё", которое Вам известно, и что за "результат", который Вам неизвестен? Про оба алгоритма нам известно, что они определяют сходящиеся последовательности. Всё. Все различия между ними относятся только к тому, что пределы названы разными буквами алфавита.

Nxx писал(а):

epros писал(а):

Nxx писал(а):

Доказано, что оно не может быть рациональным так как его нельзя представить виде несократимой дроби.

На спор? Что дадите, если кто-нибудь найдёт нечётное совершенное число и окажется, что число $x$ представляется рациональной дробью?

Перечитайте доказательство еще раз. Оно относится только к случаю, когда ни доказать, ни опровергнуть существование нечетных совершенных чисел невозможно и это в самом доказательстве повторенно несколько раз. По-моему, вы просто придуриваетесь.

Я уже сто раз Вам говорил, что этот случай противоречив. А здесь Вы прямо заявили, что этот случай якобы "доказан".

Nxx писал(а):

Это вы взялись приводить пример, когда нельзя сказать, что "существует", но в то же время "не может не существовать", но теперь сами же утверждаете, что приведенный вами же пример, противоречив.

Слушайте, я уже сто раз Вам объяснил, что существование не доказано, а невозможность не существовать - доказана. В этом нет никакого противоречия. Не надо прикидываться идиотом и упорно путать недоказанное существование с доказанным несуществованием.

Nxx писал(а):

неэквивалентными преобразования стали только потому, что в них используются неопределенные выражения под видом имеющих смысл.

Кончайте пудрить мне мозги. Неэквивалентными Ваши преобразования стали потому, что в арифметике нет аксиом и правил вывода, в соответствии с которыми их можно выполнить.

ewert писал(а):

epros:

Ну хорошо. Вот Вам число, вполне конкретное: $a$ -- это значение функции $y(x)$ в точке $x=\pi$, где $y(x)$ -- функция, удовлетворяющая требованию $y'(x)=f(x,y(x))$, где $f(x,y)=\ln x+3y$ при $x<e$ и $f(x,y)=\arctg x-8y$ при $x>e$, и при этом $y(1)=5$.

Существует ли такое число?

Ответ следует обосновать: да -- да, нет -- нет.

ewert, Вы хотите, чтобы я сходу решил задачу, не являющуюся тривиальной? Я не знаю ответа. Нужно сначала узнать, существует ли такая функция, а потом уже - существует ли её значение для данного аргумента.

[Nxx]

Цитата:

Какая чушь... Конечное количество по определению является "ограниченным".

Конечное количество искомых предметов, но бесконечное количество предметов всего (натуральные числа).

Цитата:

Я уже сто раз Вам говорил, что этот случай противоречив.

Я не вижу, где он противоречив, но допустим, что он противоречив. Значит, всегда можно доказать, что совершенных нечетных чисел либо нет, либо найти наименьшее.

Цитата:

Слушайте, я уже сто раз Вам объяснил, что существование не доказано, а невозможность не существовать - доказана. В этом нет никакого противоречия. Не надо прикидываться идиотом и упорно путать недоказанное существование с доказанным несуществованием.

Я-то ничего не путаю. Это вы путаете, а не я. Вы взялись предъявить пример, когда число m "не может не существовать", но потом я показал, что в случае, если существование или несуществование нечетных совершенных чисел нельзя ни доказать, ни опровергнуть, существование числа m невозможно. Вы тут же объявили этот случай противоречивым. Если же существование нечетных совершенных чисел доказать возможно или доказано, что их бесконечное количество, то число m можно вычислить и оно точно существует.

Цитата:

Кончайте пудрить мне мозги. Неэквивалентными Ваши преобразования стали потому, что в арифметике нет аксиом и правил вывода, в соответствии с которыми их можно выполнить.

Если бы деление было не на нуль, то все было бы нормально. Проблема в том, что при делении не была проведена проверка выражения, на которое делим.

[ewert]

epros писал(а):

ewert, Вы хотите, чтобы я сходу решил задачу, не являющуюся тривиальной? Я не знаю ответа. Нужно сначала узнать, существует ли такая функция, а потом уже - существует ли её значение для данного аргумента.

Нет -- я, напротив, хотел бы, чтоб Вы перестали называть тривиальные задачи нетривиальными.

Для однозначной разрешимости такой задачи (в рамках классического анализа) вполне достаточно локальной суммируемости коэффициентов. Далее уже можно разрабатывать алгоритмы сколь угодно точного приближения к решению.

Конечно, я понимаю, что мои надежды тщетны и что такой подход противоречит Вашим конструктивистским убеждениям. Но дело в том, что ровно этот подход и нужен для практических целей.

[epros]

Nxx писал(а):

Конечное количество искомых предметов, но бесконечное количество предметов всего (натуральные числа).

Мы перебираем не натуральные числа, а объекты, которых по условию конечное количество.

Nxx писал(а):

Я не вижу, где он противоречив, но допустим, что он противоречив. Значит, всегда можно доказать, что совершенных нечетных чисел либо нет, либо найти наименьшее.

Не значит. Не надо упорно применять закон исключённого третьего в логике, в которой его нет.

Nxx писал(а):

потом я показал, что в случае, если существование или несуществование нечетных совершенных чисел нельзя ни доказать, ни опровергнуть, существование числа m невозможно. Вы тут же объявили этот случай противоречивым.

И ещё раз повторяю, что этот случай - противоречив, а из противоречивой предпосылки можно сделать какие угодно выводы.

Nxx писал(а):

Проблема в том, что при делении не была проведена проверка выражения, на которое делим.

Это Ваша проблема, что Вы не проверили и в итоге предъявили нам неверный вывод. Факт заключается в том, что в арифметике вывода $a \times b = c \times b \Rightarrow a = c$ нет.

[Nxx]

Цитата:

И ещё раз повторяю, что этот случай - противоречив, а из противоречивой предпосылки можно сделать какие угодно выводы.

Где вы видите противоречие?

Цитата:

Не значит. Не надо упорно применять закон исключённого третьего в логике, в которой его нет.

Так давайте рассмотрим все возможные случаи. Если можно доказать, что наименьшего нечетного совершенного числа нет или показать такое число, то m существует. Если доказать этого нельзя, то m не существует. Не согласны?