Абстракция актуальной бесконечности

[epros]

Nxx писал(а):

Где вы видите противоречие?

Я уже Вам говорил несколько раз. Условия задачи (определение числа $x$) сформулированы так, что и из существования, и из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$ (знаменателя рациональной дроби $x$). Таким образом, из предположения о несуществовании $m$ выводится противоречивое утверждение: что нечётное совершенное не существует, но не может не существовать.

Nxx писал(а):

Так давайте рассмотрим все возможные случаи. Если можно доказать, что наименьшего нечетного совершенного числа нет или показать такое число, то m существует. Если доказать этого нельзя, то m не существует. Не согласны?

Вы уже рассмотрели все случаи, которые усмотрели с позиций классической логики (с позиций конструктивной логики случаев больше). Но Вы сделали из них неверные выводы. Насколько я помню, случаи были такие:
a) Нечётное совершенное число существует и это доказано. Значит знаменатель рациональной дроби $x$ существует и его можно найти.
b) Нечётное совершенное число не существует и это доказано. Значит знаменатель рациональной дроби $x$ существует и равен 3.
c) Вопрос существования нечётного совершенного числа неразрешим. Отсюда Вы сделали абсурдный вывод, что $x$ "вообще не является числом".

Если мы из предположения получаем абсурдный вывод, то что это значит? И в классической, и в конструктивной логике это значит одно и то же: Это предположение - ложно.

И это действительно так: В любой теории $T$ предположение (c) противоречиво. Потому что если Вы в теории $T$ доказали невозможность найти объект, значит Вы в теории $T$ доказали, что он не существует, т.е. разрешили вопрос о его существовании.

ewert писал(а):

Нет -- я, напротив, хотел бы, чтоб Вы перестали называть тривиальные задачи нетривиальными.

Для однозначной разрешимости такой задачи (в рамках классического анализа) вполне достаточно локальной суммируемости коэффициентов. Далее уже можно разрабатывать алгоритмы сколь угодно точного приближения к решению.

Конечно, я понимаю, что мои надежды тщетны и что такой подход противоречит Вашим конструктивистским убеждениям. Но дело в том, что ровно этот подход и нужен для практических целей.

ewert, я не могу априорно судить о тривиальности задачи. Если для меня существование решения не очевидно, значит с моей точки зрения задача нетривиальна. Но это не имеет никакого отношения к моим "конструктивистским убеждениям". Может быть у этой задачи действительно есть простое решение, просто я пока недостаточно проникся его "очевидностью".

[Someone]

epros в сообщении #195301 писал(а):

Вы переопределяете задачу. Конечность перебора означает, что мы узнаем, когда он закончится, т.е. если он ещё не закончился, мы тоже будем об этом знать.

Да, мы будем знать, что вычисления ещё не закончились. Но не будем знать, закончатся ли они вообще, а если закончатся, то чем.

Кроме того, это не я подменяю задачу, это Вы (и даже в подмененном варианте это означает использование принципа Маркова, который, как я объяснял однажды, вполне может оказаться $\omega$-противоречивым). Ничего об окончании перебора нам не известно.

Доказательство конечности множества $\{n:P(n)\}$ может выглядеть так: вполне конструктивно доказывается, что $\forall n(n>10\Rightarrow\neg P(n))$. Перебор здесь "конечен" в том смысле, что нужно проверить только конечное число $n$. Вы уверены, что перебор оставшихся значений $n$ осуществим за конечное время?

epros в сообщении #195301 писал(а):

Someone, эта чушь, по-моему, даже ответа не заслуживает.

То есть, ответа у Вас нет?

Вообще, у околоматематических псевдофилософов утверждение, что классическая математика вообще и теория множеств в частности используют "абстракцию актуальной бесконечности", является чем-то вроде аксиомы, не подлежащей обсуждению. И тянется это ещё с канторовских времён. При этом "актуальность бесконечности" толкуется как "завершённость" бесконечного множества (в противовес, например, "бесконечно большой" функции, все значения которой конечны), понимаемая как "одновременное" существование всех элементов множества в смысле, подозрительно близком к физическому существованию (дескать, все элементы множества лежат перед нами большой кучей, и мы эту кучу "одновременно" обозреваем). Во времена Кантора это, может быть, казалось естественным, поскольку всё ещё были сильны традиции рассматривать математические объекты как физические. Однако, если посмотреть историю математики, можно увидеть, что математика последовательно уходит от такого отождествления с физикой.

Я, однако, не философ, а математик, достаточно долго имевший дело с теорией множеств. Я хорошо знаю, что в теории множеств нет понятия "актуальной бесконечности", и даже не представляю, как в языке теории множеств сформулировать "одновременность" существования всех элементов бесконечного множества. Поэтому и задаю этот вопрос: что такое актуальная бесконечность в математике? Если Вы не можете сказать ничего, кроме повторения Вашего "определения", то согласитесь, что Вы не понимаете, о чём говорите.

Всем, кроме Вас, известно, что в конструктивном анализе используются множества, в том числе и бесконечные (Вам, это, впрочем, тоже известно, но Вы фанатик и желаете быть святее Папы римского). Достаточно открыть учебник Кушнера, чтобы это увидеть. Там, правда, разъясняется, что множества интерпретируются как свойства. Причём, даже не всегда конструктивно распознаваемые. Однако никто не запрещает такую интерпретацию и в теории множеств. Ваше давнее возражение, что не всякое свойство можно рассматривать как множество, несущественно: аксиомы теории множеств определяют, каким образом из одних допустимых свойств можно получать другие допустимые свойства.

[Nxx]

Цитата:

Условия задачи (определение числа $x$) сформулированы так, что и из существования, и из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$ (знаменателя рациональной дроби $x$). Таким образом, из предположения о несуществовании $m$ выводится противоречивое утверждение: что нечётное совершенное не существует, но не может не существовать.

С его вы взяли, что нечётное совершенное число не может не существовать? Этого нет ни в условии, ни в выводе. И это не следует из несуществования $m$.

Цитата:

Отсюда Вы сделали абсурдный вывод, что $x$ "вообще не является числом".

Не правда, я сделал только вывод, что неизвестно, к какому числу этот алгоритм сходится. Другими словами, этого алгоритма недостаточно для точного определения числа.

Цитата:

И это действительно так: В любой теории $T$ предположение (c) противоречиво. Потому что если Вы в теории $T$ доказали невозможность найти объект, значит Вы в теории $T$ доказали, что он не существует, т.е. разрешили вопрос о его существовании.

Замечательно! Вот это я и хотел от вас услышать. Итак, вопрос о существовании нечетного совершенного числа не может быть неразрешимым. Вы сейчас скажете, что он это не то же самое, что "разрешим", верно?

[epros]

Someone писал(а):

Да, мы будем знать, что вычисления ещё не закончились. Но не будем знать, закончатся ли они вообще, а если закончатся, то чем.

Конечность перебора при условии конечности каждого шага означает конечность всего перебора в целом. У нас по условию было сказано, что количество перебираемых объектов - конечно. А то, что каждый шаг перебора конечен, следует из подразумеваемой в данной постановке вопроса осуществимости действия "взять следующий объект". Поэтому мы может быть не будем знать когда закончится следующий шаг и сколько их ещё будет. Но мы будем знать, что каждый следующий шаг закончится, а в итоге наступит момент, когда закончится последний шаг, причём мы об этом узнаем.

Someone писал(а):

Доказательство конечности множества $\{n:P(n)\}$ может выглядеть так: вполне конструктивно доказывается, что $\forall n(n>10\Rightarrow\neg P(n))$. Перебор здесь "конечен" в том смысле, что нужно проверить только конечное число $n$. Вы уверены, что перебор оставшихся значений $n$ осуществим за конечное время?

Я уверен, что мы не будем перебирать оставшиеся значения, потому что нам в качестве условия задано $\forall n(n>10 \rightarrow \neg P(n))$.

Someone писал(а):

Вообще, у околоматематических псевдофилософов утверждение, что классическая математика вообще и теория множеств в частности используют "абстракцию актуальной бесконечности", является чем-то вроде аксиомы, не подлежащей обсуждению. И тянется это ещё с канторовских времён. При этом "актуальность бесконечности" толкуется как "завершённость" бесконечного множества (в противовес, например, "бесконечно большой" функции, все значения которой конечны), понимаемая как "одновременное" существование всех элементов множества в смысле, подозрительно близком к физическому существованию (дескать, все элементы множества лежат перед нами большой кучей, и мы эту кучу "одновременно" обозреваем). Во времена Кантора это, может быть, казалось естественным, поскольку всё ещё были сильны традиции рассматривать математические объекты как физические. Однако, если посмотреть историю математики, можно увидеть, что математика последовательно уходит от такого отождествления с физикой.

У "околоматематических псевдофилософов" можно найти много чего. Но речь не об этом, а о том, как я определяю этот термин на понятном Вам языке (языке теории множеств). И я определяю его как синоним бесконечного множества, только и всего.

Someone писал(а):

Я, однако, не философ, а математик, достаточно долго имевший дело с теорией множеств. Я хорошо знаю, что в теории множеств нет понятия "актуальной бесконечности", и даже не представляю, как в языке теории множеств сформулировать "одновременность" существования всех элементов бесконечного множества. Поэтому и задаю этот вопрос: что такое актуальная бесконечность в математике? Если Вы не можете сказать ничего, кроме повторения Вашего "определения", то согласитесь, что Вы не понимаете, о чём говорите.

Я сказал, что Вам нужно взять интересующее Вас множество и сравнить по мощности с минимальным индуктивным множеством. Может быть я не понимаю, что это "не всегда возможно"? Может быть у Вас есть доказательство существования множества, мощность которого несравнима с минимальным индуктивным множеством?

Someone писал(а):

Всем, кроме Вас, известно, что в конструктивном анализе используются множества, в том числе и бесконечные (Вам, это, впрочем, тоже известно, но Вы фанатик и желаете быть святее Папы римского). Достаточно открыть учебник Кушнера, чтобы это увидеть. Там, правда, разъясняется, что множества интерпретируются как свойства.

Ну уж, конечно: Сначала "всем, кроме меня, известно", а потом идёт примечательная оговорка, которая всё это "известно" сводит на нет. "Свойства" или "тип" объектов - это далеко не то же самое, что "множество". И это как раз "всем известно". Найдите где-нибудь у конструктивистов утверждение о том, что существует совокупность (или множество), включающая все натуральные числа. Вот такое утверждение и было бы признанием "абстракции актуальной бесконечности". А в теории множеств такое утверждение есть.

А против конструктивности потенциально бесконечных типов я не возражаю. И я уже говорил, чем признание потенциально бесконечных типов отличается от признания "актуальной бесконечности": Мы признаём НЕсуществоание конечной совокупности, включающей все объекты данного типа.

Добавлено спустя 25 минут 35 секунд:

Nxx писал(а):

Цитата:

Условия задачи (определение числа $x$) сформулированы так, что и из существования, и из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$ (знаменателя рациональной дроби $x$). Таким образом, из предположения о несуществовании $m$ выводится противоречивое утверждение: что нечётное совершенное не существует, но не может не существовать.

С его вы взяли, что нечётное совершенное число не может не существовать? Этого нет ни в условии, ни в выводе. И это не следует из несуществования $m$.

Смотрите ещё раз, что здесь написано. Поясняю подробнее:

1. Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$, то из предположения о несуществовании $m$ следует невозможность несуществования нечётного совершенного числа (то, чего Вы не увидели).

2. А поскольку по условию из существования нечётного совершенного числа следует существование $m$, то из предположения о несуществовании $m$ следует несуществование нечётного совершенного числа.

3. Таким образом, из предположения о несуществовании $m$ следует и несуществование нечётного совершенного числа, и невозможность его несуществования.

Nxx писал(а):

Цитата:

Отсюда Вы сделали абсурдный вывод, что $x$ "вообще не является числом".

Не правда, я сделал только вывод, что неизвестно, к какому числу этот алгоритм сходится. Другими словами, этого алгоритма недостаточно для точного определения числа.

Что не менее абсурдно, ибо число $x$ определено.

Nxx писал(а):

Цитата:

И это действительно так: В любой теории $T$ предположение (c) противоречиво. Потому что если Вы в теории $T$ доказали невозможность найти объект, значит Вы в теории $T$ доказали, что он не существует, т.е. разрешили вопрос о его существовании.

Замечательно! Вот это я и хотел от вас услышать. Итак, вопрос о существовании нечетного совершенного числа не может быть неразрешимым. Вы сейчас скажете, что он это не то же самое, что "разрешим", верно?

Это не совсем то, что я сказал. Вопрос о существовании нечетного совершенного числа может быть неразрешимым в арифметике, но доказать это можно только мета-теоретически. В самой теории $T$ (если она непротиворечива) не может быть утверждения о неразрешимости вопроса существования в ней же самой.

[Nxx]

Цитата:

1. Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$

Ну так вот этот пункт условия и некорректный. Невозможно построить функцию, которая вычисляет $m$ в случае, если невозможно доказать, существуют или нет нечетные совершенные числа. Задача постулирует существоание функции, которая невычислима, поскольку если нет доказательства несуществования, нам пришлось бы перебрать все нечетные числа, чтобы вычислить $m$, а это невозможно без аксиомы выбора, а значит, без актуальной бесконечности. Неверный постулат в условии задачи, поэтому мы и пришли к противоречию.

Цитата:

Что не менее абсурдно, ибо число $x$ определено.

Если число х - рациональное, то для его определения требуется указать алгоритм вычисления числителя и знаменателя равной ему несократимой дроби. Значит, в варианте с) либо х не существует, либо существует, но не является рациональным.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

1. Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование $m$

Ну так вот этот пункт условия и некорректный. Невозможно построить функцию, которая вычисляет $m$ в случае, если невозможно доказать, существуют или нет нечетные совершенные числа.

Читайте внимательнее: Здесь ничего не сказано про "случай, когда невозможно доказать, существуют или нет нечетные совершенные числа". Сказано: "из несуществования ...". Это значит, что "случай" у нас такой, что несуществование нечётного совершенного числа так или иначе доказано (или существование опровергнуто, что то же самое).

Очевидно, что в этом случае нам никакая "функция" не нужна, ибо известно, что $m = 3$.

Nxx писал(а):

Цитата:

Что не менее абсурдно, ибо число $x$ определено.

Если число х - рациональное, то для его определения требуется указать алгоритм вычисления числителя и знаменателя равной ему несократимой дроби.

Совершенно верно. Именно поэтому никто не утверждает, что $x$ - рациональное, а утверждается всего лишь то, что оно не может не быть рациональным.

[Nxx]

Цитата:

Читайте внимательнее: Здесь ничего не сказано про "случай, когда невозможно доказать, существуют или нет нечетные совершенные числа". Сказано: "из несуществования ...". Это значит, что "случай" у нас такой, что несуществование нечётного совершенного числа так или иначе доказано (или существование опровергнуто, что то же самое).

Очевидно, что в этом случае нам никакая "функция" не нужна, ибо известно, что $m = 3$.

Мы говорили про случай с). Что в случаях a) и b) и так понятно. Если условия задачи требуют, что существование или несуществование нечетного совершенного числа уже доказано, то значит, число m существует (если доказано существование, его можно найти перебором, и вычислить m, если доказано несуществование, значит, m=1). А вы утверждали, что сказать, что число m существует нельзя.

Цитата:

Совершенно верно. Именно поэтому никто не утверждает, что $x$ - рациональное, а утверждается всего Совершенно верно. Именно поэтому никто не утверждает, что $x$ - рациональное, а утверждается всего лишь то, что оно не может не быть рациональным.

Если мв говорим про случаи a) и b), то x-рациональное и его можно найти. Случай c) как вы утверждаете, противоречит условию задачи.

Цитата:

лишь то, что оно не может не быть рациональным.

Если число нельзя записать в виде несократимой дроби - то оно не рациональное, и точка.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Читайте внимательнее: Здесь ничего не сказано про "случай, когда невозможно доказать, существуют или нет нечетные совершенные числа". Сказано: "из несуществования ...". Это значит, что "случай" у нас такой, что несуществование нечётного совершенного числа так или иначе доказано (или существование опровергнуто, что то же самое).

Очевидно, что в этом случае нам никакая "функция" не нужна, ибо известно, что $m = 3$.

Мы говорили про случай с). Что в случаях a) и b) и так понятно.

Нет, Вы спросили, и мы говорили про "случай" 1 (или в предыдущей нумерации - b ), когда из несуществования нечётного совершенного числа следует, что $m=3$.

Никакого случая (c) быть не может.

Nxx писал(а):

Если условия задачи требуют, что существование или несуществование нечетного совершенного числа уже доказано,

Условия задачи этого не требуют. Они просто утверждают, что в обоих этих случаях $m$ существует.

Nxx писал(а):

А вы утверждали, что сказать, что число m существует нельзя.

И продолжаю утверждать: у нас нет никаких оснований чтобы сказать такое. Но мы можем отрицать несуществование $m$.

Nxx писал(а):

Если мв говорим про случаи a) и b), то x-рациональное и его можно найти. Случай c) как вы утверждаете, противоречит условию задачи.

Если Вы думате, что перебрали все случаи, то ошибаетесь. Если (a) или (b), то $x$ рациональное. Но то, что имеет место (a) или (b), не доказано.

Nxx писал(а):

Если число нельзя записать в виде несократимой дроби - то оно не рациональное, и точка.

У Вас есть доказательство, что число $x$ нельзя записать рациональной дробью?

[Nxx]

Цитата:

Но то, что имеет место (a) или (b), не доказано.

Если это доказать невозможно, то это и есть случай c).
А если возможно, то число m существует.

И в задаче нигде не утверждается, что случай (c) исключен.
И чего тут спорить? Вы сами знаете, что вопрос равенства пределов произвольных последовательностей действительных чисел, алгоритмически неразрешим. Значит, случай (с) вполне может иметь место.

Цитата:

Они просто утверждают, что в обоих этих случаях $m$ существует.

Так вот, в обоих случаях (a) и (b) m существует. А вы утверждаете, что так сказать нельзя. Так нельзя сказать только в случае (c).

Вот ваша задача:

Цитата:

Записываем $x=0.3333\dots$ и обрываем запись на тройке, номер которой совпадает с минимальным нечетным совершенным числом. Если такового нет, то не обрываем (получаем бесконечный ряд троек).

Из этого вы делаете тиакой вывод:

Цитата:

В любом случае (есть минимальное нечетное совершенное число или нет) число $x$ будет рациональным

Что не соответствует истине, поскольку вы исключили из ассмотрения все случаи кроме двух, на том основании, что

Цитата:

есть минимальное нечетное совершенное число или нет

.

Так как ниоткуда не следует, что третьего варианта не дано. На каком основании вы это заявляте? Непонятно.

Цитата:

У Вас есть доказательство, что число $x$ нельзя записать рациональной дробью?

Если невозможно доказать, какой случай - (а) или (b) имеет место, то записать его рациональной дробью невозможно, так как у нас есть алгоритм только для случая (а) и для случая (b).

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Но то, что имеет место (a) или (b), не доказано.

Если это доказать невозможно, то это и есть случай c).

Нет.

Nxx писал(а):

И в задаче нигде не утверждается, что случай (c) исключен.

Тем не менее, он противоречив.

Nxx писал(а):

И чего тут спорить? Вы сами знаете, что вопрос равенства пределов произвольных последовательностей действительных чисел, алгоритмически неразрешим. Значит, случай (с) вполне может иметь место.

И причём тут это?

Nxx писал(а):

Цитата:

Они просто утверждают, что в обоих этих случаях $m$ существует.

Так вот, в обоих случаях (a) и (b) m существует. А вы утверждаете, что так сказать нельзя. Так нельзя сказать только в случае (c).

В Ваших словах нет никакой логики. Ни классической, ни конструктивной.

Nxx писал(а):

Вот ваша задача:

Цитата:

Записываем $x=0.3333\dots$ и обрываем запись на тройке, номер которой совпадает с минимальным нечетным совершенным числом. Если такового нет, то не обрываем (получаем бесконечный ряд троек).

Из этого вы делаете тиакой вывод:

Цитата:

В любом случае (есть максимальное совершеное число или нет) число $x$ будет рациональным

Что не соответствует истине.

Что не соответствует? В обоих случаях - (a) или (b) - число $x$ будет рациональным. Но то, что имеет место один из этих случаев, не доказано.

Nxx писал(а):

Цитата:

У Вас есть доказательство, что число $x$ нельзя записать рациональной дробью?

Если невозможно доказать, какой случай - (а) или (b) имеет место, то записать его рациональной дробью невозможно, так как у нас есть алгоритм только для случая (а) и для случая (b).

Прочитайте ещё раз вопрос и подумайте, на него ли Вы даёте ответ.

[Someone]

epros в сообщении #195562 писал(а):

У "околоматематических псевдофилософов" можно найти много чего. Но речь не об этом, а о том, как я определяю этот термин на понятном Вам языке (языке теории множеств). И я определяю его как синоним бесконечного множества, только и всего.

То есть, ничего вразумительного сказать не можете, и теория множеств Вам просто не нравится. Так и скажите, не ссылаясь на мифическую "актуальную бесконечность". И на этом спор закончим, поскольку о личных вкусах спорить бессмысленно.

epros в сообщении #195562 писал(а):

Я сказал, что Вам нужно взять интересующее Вас множество и сравнить по мощности с минимальным индуктивным множеством. Может быть я не понимаю, что это "не всегда возможно"? Может быть у Вас есть доказательство существования множества, мощность которого несравнима с минимальным индуктивным множеством?

А Вы не в курсе, что такие множества возможны? Они называются конечными по Дедекинду.

epros в сообщении #195562 писал(а):

"Свойства" или "тип" объектов - это далеко не то же самое, что "множество".

Совершенно верно, не одно и то же. Свойство - это более широкое понятие. Всякое множество является свойством, но есть свойства, которые множествами не являются.

epros в сообщении #195562 писал(а):

И я уже говорил, чем признание потенциально бесконечных типов отличается от признания "актуальной бесконечности": Мы признаём НЕсуществоание конечной совокупности, включающей все объекты данного типа.

Ну надо же! А теория множеств тоже признаёт НЕсуществование конечной совокупности, включающей все элементы данного бесконечного множества.

А может быть, Вам просто не нравится, что в теории множеств бесконечные множества имеют имена, по которым на множества можно ссылаться? Впрочем, в конструктивном анализе они тоже имеют имена, по которым на эти множества можно ссылаться:

Б.А.Кушнер писал(а):

Множество слов в алфавите \textit{Ч}, являющихся натуральными числами, мы обозначим через $\mathscr H$. Буквы $i$, $j$, $k$, $l$, $m$, $n$ с индексами или без них будут использоваться нами в качестве переменных по натуральным числам.

Б.А.Кушнер. Лекции по конструктивному математическому анализу. "Наука", Москва, 1973.

epros в сообщении #195562 писал(а):

Найдите где-нибудь у конструктивистов утверждение о том, что существует совокупность (или множество), включающая все натуральные числа.

Ну вон чуть выше цитата. Если бы такая совокупность не существовала, зачем нужно было бы вводить для неё постоянное обозначение и использовать это обозначение в формулах?

epros в сообщении #195562 писал(а):

Я уверен, что мы не будем перебирать оставшиеся значения, потому что нам в качестве условия задано $\forall n(n>10 \rightarrow \neg P(n))$.

Будем перебирать оставшиеся значения, то есть, те, которые $\leqslant 10$. Обязательно будем. У нас задача была - найти наибольшее $n$, для которого $P(n)$:

epros в сообщении #194736 писал(а):

Предположение о том, что их конечное количество, легко сводится к противоречию: Находим среди них максимальное, оно и есть максимальное совершенное число, что противоречит условию о том, что такового не существует. Сведение к противоречию есть доказательство отрицания.

Вы не правы. В приведённом мной примере свойство $P(n)$ для некоторых $n$ может оказаться неразрешимым, в результате переборный алгоритм на одном из чисел впадёт в бесконечный процесс, и результата мы не дождёмся. Предположим, что $P(9)$ разрешимо и истинно, а $P(10)$ неразрешимо. Тогда мы сможем только выяснить, что наибольшее число не меньше $9$, но не сможем узнать, $9$ это или $10$. Результат может зависеть от модели нашей теории, а находясь "внутри" теории, мы не можем отличить одну модель от другой.

Здесь мы имеем дело с ситуацией, когда наибольшее число в конечном множестве зависит от модели. Наибольшее число существует, но средствами самой теории не определяется.

Разумеется, проверка совершенности числа может быть закончена за конечное время, но если наше гипотетическое конструктивное доказательство указывает только верхнюю границу количества совершенных чисел, не давая их точного числа и не указывая никакой оценки наибольшего числа, то у нас может не найтись никаких оснований в какой-либо момент остановить перебор.

Nxx в сообщении #195688 писал(а):

Если невозможно доказать, какой случай - (а) или (b) имеет место, то записать его рациональной дробью невозможно, так как у нас есть алгоритм только для случая (а) и для случая (b).

Записать его рациональной дробью возможно, только эта запись (как и само число) может зависеть от модели (если будет доказано, что существование нечётного совершенного числа зависит от модели) арифметики.

Вообще, рассмотренный алгоритм вполне корректен и определяет КДЧ, если приделать к нему регулятор сходимости, но он здесь строится тривиально.

[Nxx]

Цитата:

Нет.

Это по определению случай (с).

Цитата:

Тем не менее, он противоречив.

Нет.

Цитата:

Что не соответствует? В обоих случаях - (a) или (b) - число $x$ будет рациональным. Но то, что имеет место один из этих случаев, не доказано.

С чего вы взяли, что случаев только два? Третий случай - это когда ни доказать, ни опровергнуть, что нечетные совершенные числа существуют, нельзя. В этом случае число х можно вычислить с любой точностью, а вот число m получить неудастся. Значит, число х не будет рациональным.

Цитата:

Прочитайте ещё раз вопрос и подумайте, на него ли Вы даёте ответ.

Вот вопрос:

Цитата:

Таким образом можно сказать, что числитель $m$ в любом случае "существует". Так?

А вот ответ: НЕТ. В случае, если ни доказать, ни опровергнуть существование нечетных совершенных чисел невозможно (случай (с)), числитель дроби не существует.

[epros]

Nxx писал(а):

Это по определению случай (с).

нет

Nxx писал(а):

Цитата:

Тем не менее, он противоречив.

Нет.

Вы ни черта не поняли, больше объяснять не вижу смысла.

Nxx писал(а):

С чего вы взяли, что случаев только два? Третий случай...

С чего Вы взяли, что случаев только три?

Nxx писал(а):

- это когда ни доказать, ни опровергнуть, что нечетные совершенные числа существуют, нельзя. В этом случае число х можно вычислить с любой точностью, а вот число m получить неудастся. Значит, число х не будет рациональным.

Ваша упёртость меня шокирует. Попробуйте ответить: 1) В какой теории "ни доказать, ни опровергнуть, что нечетные совершенные числа существуют, нельзя", и 2) в какой теории Вы собиратетесь это доказать?

Nxx писал(а):

Цитата:

Прочитайте ещё раз вопрос и подумайте, на него ли Вы даёте ответ.

Вот вопрос:

Цитата:

Таким образом можно сказать, что числитель $m$ в любом случае "существует". Так?

А вот ответ: НЕТ. В случае, если ни доказать, ни опровергнуть существование нечетных совершенных чисел невозможно (случай (с)), числитель дроби не существует.

нет, там было сказано не так.

[Nxx]

Цитата:

нет

Что ж, напомню, мне не трудно:

Цитата:

У нас есть три варианта
1. Нечетное совершенное число есть и это можно доказать (найти методом перебора).
Тогда m/n - рациональное число.
2. Нечетного совершенного числа нету и это можно доказать
Тогда m/n=1/3
3. Невозможно доказать, существуют ли нечетные совершенные числа

Цитата:

Вы ни черта не поняли, больше объяснять не вижу смысла.

Как хотите.

Цитата:

С чего Вы взяли, что случаев только три?

Не важно, сколько их. Важно, что число m существует только в первых двух.

Цитата:

нет, там было сказано не так.

Я вам привел вашу же цитату.

[Xaositect]

Xaositect в сообщении #194999 писал(а):

Вот мы тут про геделевское утверждение говорим.
Оно имеет вид $G\equiv \forall prf \neg P(prf)$, где предикат $P$ рекурсивен и означает, что доказательство за номером $prf$ является доказательством утверждения $G$.
При этом для каждого конкретного $i$ доказуемо, что $\neg P(i)$, то есть если мы возьмем алгоритм, который выдает число, в $i$-м разряде которого стоит 1, если $P(i)$ и 0, если $\neg P(i)$, то он задает конструктивное число 0, но мы не можем этого доказать.

Nxx, что вы все-таки думаете насчет этого примера конструктивного числа, которое не может не быть равным нулю, потому что доказать равенство мы не можем, а неравенство в $i$-м разряде ведет к противоречию с $\neg P(i)$?
Доказательство рекурсивности $P$ и связанные вопросы можно прояснить в Мендельсоне, гл. 3.