Абстракция актуальной бесконечности

[epros]

Nxx писал(а):

Если честно, мне это не очень интересно, но я думаю потому что функция Муж(Маша) невычислима/неопределена.

Если не очень интересно, то нафига было начинать тему с вопроса, насколько конструктивно было бы оставить закон исключённого третьего? Вот я Вам придумал детсадовский пример, иллюстрирующий неконструктивность закона исключённого третьего в "бытовой" ситуации.

Дело здесь в том, что конструктивное утверждение о существовании объекта означает, что мы способны его представить. В данном случае утверждение о существовании Машиного мужа должно было бы означать, что мы можем его назвать. А мы не можем: Теория не предоставляет нам механизмов для определения того, кто именно является Машиным мужем.

Вас устраивает такое объяснение того, почему нам иногда бывает нужно отличать двойное отрицание (что у Маши не может не быть мужа) от утверждения?

Nxx писал(а):

Но вернемся к Маше. Если говорить о функции Супруг(Маша), то ее значением не является мужчина, поэтому можно сказать, что определенного мужа у нее нет, значением этой функции является совокупность из двух мужчин:

$$\frac{[ \text{Вася}, \text{Коля}]}{2}$$

.

По-моему, это ерунда какая-то. Ни "функция", выдающая в качестве значения мужа, у нас не определена, ни такие понятия, как "полу-Вася, полу-Коля" нигде не определены. Это всё какие-то Ваши странные домыслы, не более того. Но правильно подмеченный факт заключается в том, что "определенного мужа" мы назвать не можем (хотя утверждение о том, что его "нет" является некорректным).

Добавлено спустя 12 минут 3 секунды:

Кстати, предел синуса в бесконечности согласно определению предела - не существует. А то, что программа Вам выдаёт в качестве такового интервал, свидетельствует только о расширительной трактовке понятия программой.

[Nxx]

Цитата:

хотя утверждение о том, что его "нет" является некорректным

Если бы речь шла о числах, то следовало бы сказать "нет", аналогично пределу синуса на бесконечности. Аналогично вопросу "как зовут мужа Маши" или "каков номер мужа Маши в списке [Коля, Вася] - номера и имени у него в указанной выше теории, именно что, нет, а не "не может не быть"!

[Pi]

epros писал(а):

Кстати, предел синуса в бесконечности согласно определению предела - не существует. А то, что программа Вам выдаёт в качестве такового интервал, свидетельствует только о расширительной трактовке понятия программой.

По классике это конечно так. Но как известно классики вообще до ужаса боялись неоднозначных функций. Но в области комплексного анализа без многозначных функций не обойтись. И поэтому там есть понятие главного значения (однозначно пределенное). Так вот можно сказать что предел существует и он не однозначен, но его главного значения не существует.

[Nxx]

Pi писал(а):

epros писал(а):

Кстати, предел синуса в бесконечности согласно определению предела - не существует. А то, что программа Вам выдаёт в качестве такового интервал, свидетельствует только о расширительной трактовке понятия программой.

По классике это конечно так. Но как известно классики вообще до ужаса боялись неоднозначных функций. Но в области комплексного анализа без многозначных функций не обойтись. И поэтому там есть понятие главного значения (однозначно пределенное). Так вот можно сказать что предел существует и он не однозначен, но его главного значения не существует.

Для этого предела можно найти среднее значение ($0$) и наиболее плотное значение ($\pm1$).

[Pi]

Nxx писал(а):

Pi писал(а):

epros писал(а):

Кстати, предел синуса в бесконечности согласно определению предела - не существует. А то, что программа Вам выдаёт в качестве такового интервал, свидетельствует только о расширительной трактовке понятия программой.

По классике это конечно так. Но как известно классики вообще до ужаса боялись неоднозначных функций. Но в области комплексного анализа без многозначных функций не обойтись. И поэтому там есть понятие главного значения (однозначно пределенное). Так вот можно сказать что предел существует и он не однозначен, но его главного значения не существует.

Для этого предела можно найти среднее значение ($0$) и наиболее плотное значение ($\pm1$).

Это как угодно. На входе из предела вы можете стаить любую функцию и найти что вам угодно. Но к самому пределу это не относится.
Про плотные значения я не понял. Но можно опрделить обычные пределы снизу
${\underline\lim}\limits_{x\to} =\inf\lim\limits_{x\to}$
и подобный ему сверху.

[Nxx]

Кстати, о муже. Вот господин epros продразумевает, что возраст Маши - это некоторое число от 0 до 100. Но ведь в данной теории возраст Маши неизвестен из аксиом. Значит, рассуждая конструктивно, его нет. Господин epros, вероятно, скажет, что возраста "не может не быть".

[Pi]

Вообще говоря с логикой все тяжко, мне кажется, что если два логика сразу не поняли друг друга то дальше они не сойдутся во мнении никогда. Даже если один неправ. Как говорится все построенно только на внутренних ощущениях правоты.
Ведь до сих пор не установленна не противоричивость аксиом ZFC.
И вопиющий пример - Аксиома выбора - ну нет единого мнения, и нет просвета будет ли вообще.

Добавлено спустя 20 минут 1 секунду:

Кстати, вспомнил по этому поводу логику Льюиса Кэррола. Очень интересная альтернативная логика основанная на троичности [да,нет,не определенно], которая внутренне не противоричива. Ее постулаты не совпадают с современной матлогикой.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

хотя утверждение о том, что его "нет" является некорректным

Если бы речь шла о числах, то следовало бы сказать "нет", аналогично пределу синуса на бесконечности. Аналогично вопросу "как зовут мужа Маши" или "каков номер мужа Маши в списке [Коля, Вася] - номера и имени у него в указанной выше теории, именно что, нет, а не "не может не быть"!

Я не понял о чём Вы тут рассуждаете. Высказывание о том, что у Маши нет мужа, является некорректным.

Nxx писал(а):

Кстати, о муже. Вот господин epros продразумевает, что возраст Маши - это некоторое число от 0 до 100. Но ведь в данной теории возраст Маши неизвестен из аксиом. Значит, рассуждая конструктивно, его нет. Господин epros, вероятно, скажет, что возраста "не может не быть".

Если под "возрастом" Вы имеете в виду точное количество лет, то оно из этой теории неизвестно. Но из этой теории о возрасте Маши всё же кое-что известно. А именно, известно, что это число от 21 до 30, что противоречит заявлению о том, что его якобы вообще "нет".

[ewert]

epros в сообщении #196014 писал(а):

Высказывание о том, что у Маши нет мужа, является некорректным.

Это в Штатах оно считается некорректным: выскажи -- и немедленно под суд. А у нас -- ну нет и нет.

[Xaositect]

epros писал(а):

Xaositect писал(а):

Xaositect в сообщении #194999 писал(а):

Вот мы тут про геделевское утверждение говорим.
Оно имеет вид $G\equiv \forall prf \neg P(prf)$, где предикат $P$ рекурсивен и означает, что доказательство за номером $prf$ является доказательством утверждения $G$.
При этом для каждого конкретного $i$ доказуемо, что $\neg P(i)$, то есть если мы возьмем алгоритм, который выдает число, в $i$-м разряде которого стоит 1, если $P(i)$ и 0, если $\neg P(i)$, то он задает конструктивное число 0, но мы не можем этого доказать.

Nxx, что вы все-таки думаете насчет этого примера конструктивного числа, которое не может не быть равным нулю, потому что доказать равенство мы не можем, а неравенство в $i$-м разряде ведет к противоречию с $\neg P(i)$?
Доказательство рекурсивности $P$ и связанные вопросы можно прояснить в Мендельсоне, гл. 3.

Кстати, Xaositect, это в качестве примера "неснимаемого" двойного отрицания не подходит. В теории мы не можем привести $(\exists i)(P(i))$ к противоречию (можем только привести к противоречию $P(i)$ для любого предварительно выбранного $i$, но общего механизма опровержения для всех $i$ в теории нет). Поэтому теория не может доказать, что это число не может не быть равным нулю. А мета-теория может доказать не только это, но и то, что число равно нулю.

Да, моя лажа.
Сюда сколько отрицаний не вешай, все равно недоказуемо.

[Nxx]

Цитата:

Если под "возрастом" Вы имеете в виду точное количество лет, то оно из этой теории неизвестно. Но из этой теории о возрасте Маши всё же кое-что известно. А именно, известно, что это число от 21 до 30, что противоречит заявлению о том, что его якобы вообще "нет".

То есть, все, о чем хоть что-то известно - "не может не быть"? А как насчет предела синуса на бесконечности? О нем же тоже известно, что он не больше 1 и не меньше -1. Его тоже "не может не быть"?

[Someone]

epros в сообщении #195753 писал(а):

Между прочим, утверждение: "Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$", есть и в указанной статье википедии.

Someone в сообщении #195762 писал(а):

Начхать на Википедию. Есть два существенно разных определения бесконечных множеств.
1) Множество $A$ бесконечно, если оно не равномощно никакому натуральному числу (требуется предварительно определить натуральные числа в теории множеств).
2) Множество $A$ бесконечно по Дедекинду, если оно содержит собственное подмножество $B$, равномощное самому $A$.
Если справедлива аксиома выбора, то оба определения равносильны. Без аксиомы выбора они, однако, не равносильны.

epros в сообщении #195809 писал(а):

А моё определение, которое удивительным образом совпало с формулировкой из википедии, чем Вас не устраивает? Я так полагаю, что оно равносильно Вашему 1-ому, хотя это, конечно, нужно доказать (на что я, признаться, никакой мотивации не имею).

И не докажете. Потому что Ваше определение равносильно моему второму, а про первое мне точно известно, что оно второму (следовательно, и Вашему) не равносильно, если нет аксиомы выбора.

epros в сообщении #195809 писал(а):

Из приведённой Вами цитаты я в этом "убедиться" не могу. Это всего лишь некоторые общие слова, призванные объяснить, с каким объектами мы далее собираемся иметь дело (и обозначить их как-то).

Ага. В классической математике множества нужны тоже исключительно для того, чтобы объяснить, с какими объектами мы далее собираемся иметь дело и обозначить их совокупность как-то (Вы так старались обойти слово "множество" или какой-нибудь его заменитель, что получилась ерунда; Кушнер, конечно, обозначение $\mathscr H$ ввёл не для натуральных чисел, а для их множества).

epros в сообщении #195809 писал(а):

В том смысле, что прямо об этом никто не заявил. Вот аксиома бесконечности в теории множеств прямо заявляет, что множество включает всех последователей. Есть такое же прямое утверждение где-то, например, у того же Кушнера?

Что значит - "прямое"? Термины типа "$\mathbb C$ - множество комплексных чисел" обозначают именно множество всех объектов указанного типа.
Вы Кушнера внимательно читали? Он далее определяет операции и отношения на множестве $\mathscr H$, используя при этом обозначения вида $\mathop{+}\limits_{\mathscr H}$. Что, по Вашему мнению, у него получилось бы, если бы $\mathscr H$ включало не все натуральные числа?
Вы в курсе, что высказывания со свободными переменными трактуются так, будто по всем свободным переменным имеются кванторы всеобщности?
Что, по Вашему мнению, означает утверждение
"каковы бы ни были натуральные числа $m$, $n$, имеет место $(m\mathop{=}\limits_{\mathscr H}n)\vee(m\mathop{>}\limits_{\mathscr H}n)\vee(m\mathop{<}\limits_{\mathscr H}n)$",
если не
"$\forall m\forall n(((m\in\mathscr H)\&(n\in\mathscr H))\Rightarrow((m\mathop{=}\limits_{\mathscr H}n)\vee(m\mathop{>}\limits_{\mathscr H}n)\vee(m\mathop{<}\limits_{\mathscr H}n)))$"?

epros в сообщении #195809 писал(а):

Someone писал(а):

epros писал(а):

Я могу говорить о каких-то совокупностях натуральных чисел, даже называть их "множествами" и обозначать специальными буквами. Но это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее их все.

"Их" - это кого? Множества или натуральные числа?

Совокупности натуральных чисел.

Пока никто, кроме Вас, не говорил о множестве совокупностей натуральных чисел. Кушнер говорил о множестве натуральных чисел, я - тоже. Понадобится ли ему или мне множество совокупностей - не ясно. Думаю, что его как-нибудь конструктивно смоделировать можно.

epros в сообщении #195753 писал(а):

Вы несколько раз зачем-то сказали, что теория множеств "мне не нравится", что я проигнорировал как не относящееся к делу.

Я хотел побудить Вас к высказываниям, содержащим конкретные математические аргументы. Пока наблюдаю лишь увёртки и общие декларации отнюдь не математического характера, совершенно мне не интересные. Я так и не смог понять из Ваших слов, ни что такое "актуальная бесконечность" (не повторяйте, пожалуйста, своё "определение", оно никакой "актуальности" не определяет), ни чем она хуже "потенциальной" (которую тоже следовало бы определить).

Пока, вроде бы, прояснилось, что "актуально бесконечное" множество содержит все свои элементы, а "потенциально бесконечное" - не все. Или я Вас не так понял?

epros в сообщении #195809 писал(а):

Мы рассматривали не такой случай, когда очередной шаг перебирающего алгоритма может оказаться неразрешимым. Эту возможность Вы сами домыслили.

Насколько я помню, явно это предположение не формулировалось. В данном случае я хотел на примере конечного множества смоделировать ситуацию, которая более естественно возникает в случае бесконечного множества.

epros в сообщении #195809 писал(а):

Речь шла о гипотетическом конструктивном доказательстве, которое сообщает нам, что таких чисел конечное количество. Не "не может быть бесконечно", а именно "конечно", ибо это не одно и то же.

Разумеется. Я ведь и говорил именно о конечности, а не об отрицании бесконечности, имея в виду конструктивное доказательство.

epros в сообщении #195809 писал(а):

В последнем случае мы можем быть уверены в том, что доказавший располагает способом вычислить конкретное значение, которым ограничено количество объектов.

Он его и вычислил. Количество объектов ограничено числом $100$. Известно, что оценку можно понизить, но доказательство существенно усложняется по мере понижения верхней границы и в какой-то момент натыкается на неразрешимую проблему. При этом проверка каждого объекта вполне конструктивна и выполняется единым алгоритмом для всех натуральных чисел.

epros в сообщении #195809 писал(а):

Вы исходите из того, что перебирающий "будет ждать" пока не наберётся ровно 100 штук, а поэтому если их меньше, то не дождётся.

Видите ли, по условию известно только, что объектов не более $100$, поэтому, пока мы $100$ штук не набрали, у нас нет оснований остановить перебор.

epros в сообщении #195809 писал(а):

Но очевидно, что разумные условия перебора не могут быть таковыми. Когда перебор закончится и в ящике не останется больше предметов, алгоритм остановится и об этом нам станет известно.

Не почему же "не могут"? Очень легко могут. Представьте себе, что наш "ящик" представляет собой растущий лабиринт...

epros в сообщении #195809 писал(а):

Я понимаю, что Вы думаете, что с поиском совершенных чисел ситуация может быть иной, т.е. мы будем ждать 100-того числа. Так могло бы случится, если бы предъявленное нам доказательство того, что чисел не более 100, было неконструктивным. Но если оно конструктивно, то значит, что в алгоритм перебора будет заложен какой-то способ определения того, что числа закончились.

Почему Вы думаете, что конструктивное доказательство обязательно должно давать точное количество объектов? Предположим, что нас интересуют не просто совершенные числа. У нас есть некоторое число $N$, и нас для каждого $R\in\{0,1,2,3,\ldots,N-1\}$ интересует наименьшее совершенное число, которое при делении на $N$ даёт остаток $R$. Здесь прямо из определения видно, что найти требуется не более $N$ чисел. Какие у Вас гарантии, что их действительно столько найдётся? Чего здесь неконструктивного? (Пример, конечно, условный.)

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Если под "возрастом" Вы имеете в виду точное количество лет, то оно из этой теории неизвестно. Но из этой теории о возрасте Маши всё же кое-что известно. А именно, известно, что это число от 21 до 30, что противоречит заявлению о том, что его якобы вообще "нет".

То есть, все, о чем хоть что-то известно - "не может не быть"?

Нет, вывод неверный. В данном случае у нас аксиоматически определено, что возраст Маши существует в диапазоне от 21 до 30 лет включительно. То, что теория не даёт при этом механизма для определения конкретного возраста Маши, можно рассматривать как свидетельство её собственной неконструктивности, но это уже отношения к делу не имеет.

Nxx писал(а):

А как насчет предела синуса на бесконечности? О нем же тоже известно, что он не больше 1 и не меньше -1. Его тоже "не может не быть"?

Согласно стандартному определению предела, предел синуса на бесконечности не существует.

[Nxx]

Цитата:

Согласно стандартному определению предела, предел синуса на бесконечности не существует.

Возраст Маши тоже не соответствует стандартному определению действительного числа.

[AD]

Nxx в сообщении #196154 писал(а):

Возраст Маши тоже не соответствует стандартному определению действительного числа.

Хотите сказать, что не существует множества, удовлетворяющего аксиомам действительных чисел, которому принадлежит возраст Маши?