Абстракция актуальной бесконечности

[Xaositect]

Корректна.
Она задает расходящийся ряд.

[ewert]

Что с помощью такого ряда можно сосчитать?

[Nxx]

Xaositect писал(а):

Корректна.
Она задает расходящийся ряд.

вообще-то, она задает сумму ряда, который суммы не имеет.

А вот этот предел:

$$\lim_{x\to+\infty} \sin x$$

задает предел функции, у которой предела нет.

[Xaositect]

ewert писал(а):

Что с помощью такого ряда можно сосчитать?

Что-нибудь нетривиальное не придумывается, но в принципе если рассматривать обобщенные суммы, то с помощью этого ряда можно посчитать сумму какого-нибудь сходящегося ряда.

[Nxx]

Вы понимаете, что ваше утверждение на предыдущей странице эквивалентно "доказательству", что

$$(\lim_{x\to+\infty} \sin x)^2+(\lim_{x\to+\infty} \cos x)^2=1$$

? Берется некоторая формула, которая по определению не имеет вычислимого значения и на основе некоторых предполагаемых свойств ее значения (которые вполне могут быть противоречивыми, так как по условию, значение найти нельзя, а значит, в конструктивном смысле его нет) делаются далеко идущие выводы.

Не вдаваясь в периодическую природу функций sin x и cos x, и зная только тождество

$$\sin^2 x+ \cos^2 x = 1$$

, можно доказать, что если такая сумма пределов существует, она и вправду, равна 1. Но если таких пределов нет, то утверждение получается бессмысленным.

[Xaositect]

Нет.
Есть определение предела, которое явно говорит, что в некоторых случаях предела может не существовать.
Есть семантика Крипке, дающие определение истинности любой формуле интуиционистской логики.

[ewert]

Xaositect в сообщении #194643 писал(а):

Что-нибудь нетривиальное не придумывается, но в принципе если рассматривать обобщенные суммы, то с помощью этого ряда можно посчитать сумму какого-нибудь сходящегося ряда.

А Вы не находите, что сначала следовало бы поставить задачу, и лишь потом -- сочинять под них какие-нибудь формулки?

[Nxx]

Цитата:

Есть семантика Крипке, дающие определение истинности любой формуле интуиционистской логики.

Можно попробовать обобщенно найти пределы и значение выражения

$$(\lim_{x\to+\infty} \sin x)^2+(\lim_{x\to+\infty} \cos x)^2$$

, но такая сумма будет равна нулю, а не единице. Свойства обобщенных сумм и пределов могут сильно отличаться от "нормальных". К тому же, интуиционистской логике для "обобщенного суммирования" логических формул пришлось расширять пространство логических значений за пределы пространства, состоящего из значения "истина" и значения "ложь".

Добавлено спустя 13 минут 55 секунд:

По сути, интуиционизм ничем не отличается от классической математики: в классической теории дополняют класс вычислимых чисел, вводят "невычислимые числа н-го порядка", а в интуиционизме расширяют класс логических значений, по сути, вводят "невычислимые логические значения". По сути, это одно и то же. В первом случае оказывается необходимо расширить арифметическое пространство, во втором - логическое.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

Мне больше импонирует подход, что невычислимых объектов не существует, а не попытки их классифицировать по степени "невычислимости" или "невыводимости".

[Someone]

epros в сообщении #194436 писал(а):

Someone писал(а):

Если Вы не согласны, дайте математическое определение актуальной бесконечности.

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Не пройдёт. Вы просто постулируете, что бесконечное множество является актуальной бесконечностью, а потом ругаете теорию множеств за это. А теория множеств нисколько не виновата, что Вы обозвали бесконечные множества "актуально" бесконечными.

Попытка номер два: ...?

Да, кстати, в принципе могут существовать множества, конечные по Дедекинду, которые не равномощны никакому натуральному числу (и в этом смысле бесконечны), но не содержат никакого подмножества, равномощного натуральному ряду. Вы их к какой бесконечности относите, к "актуальной" или к "не актуальной"?

Nxx в сообщении #194442 писал(а):

Цитата:

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Что-то вы не то говорите. В таком случае конструктиивный континуум является актуальной бесконечностью.

Совершенно верно. Но epros - экстремист даже по сравнению с самыми правоверными конструктивистами. Он желает быть святее самого Папы. Поэтому он бесконечных множеств не признаёт.

Инт в сообщении #194452 писал(а):

Одно из свойств актуальной бесконечности - одновременное существование элементов бесконечного множества. "Одновременность" при этом понимается как в логическом смысле, так и в физическом. Смена "одновременности" интуитивно ведёт к переходам от актуальной бесконечности к потенциальной и наоборот. Чтобы дать ясный пример потенциальной бесконечности "очевидно существующей", не сводимой ни к какому актуальному множеству, мне потребуется время. Причём, по классической теории множество, которое я могу указать в этом примере, не существует.

Это есть словоблудие. В математике нет никакого "одновременного" или "не одновременного" существования в физическом смысле. Есть просто символ $\exists x\ldots$, который означает, что можно тем или иным способом "предъявить" "предмет" $x$, относящийся к нашей предметной области. "Предмет" этот является абстрактной математической конструкцией и к физике ни малейшего отношения не имеет, даже если используется в качестве математической модели чего-нибудь физического.

"Логическая одновременность" существования означает просто, что утверждение $\exists x\ldots\&\exists y\ldots$ не приводит к противоречию.

[epros]

Nxx писал(а):

Если максимального совершенного числа нет, из этого не следует, что их бесконечное количество.

Во-первых, речь была не об этом выводе, а о том, что $x=\frac{1}{3}$, т.е. знаменатель существует.
Во-вторых, это Ваше утверждение тоже неверно. Совершенные числа существуют, а если среди них нет максимального, значит их не может быть конечное количество.

Nxx писал(а):

Цитата:

Что такое "любая заданная точность" для натурального числа? Если такое число (знаменатель рациональной дроби) существует, то должен быть способ его вычислить.

Да, он существует, а число x может быть вычислено с любой точностью.

Точность вычисления $x$ никого не интересует, вопрос был не об этом, а о существовании знаменателя некой рациональной дроби.

Nxx писал(а):

Вы же грозились привести пример, где "не может не существовать", но не "существует". Вот ваша цитата:

Цитата:

А вот конструктивист не скажет, что число $m$ "существует", он скажет, что оно "не может не существовать". Это значит, что он его предъявить не может. Даже не может утверждать, что это число "потенциально вычислимо". Но он может утверждать, что вывод о несуществовании числа $m$ ни в каком случае невозможен.

Где именно здесь утверждение про "не существует"?

Nxx писал(а):

Вы же привели пример, где число m существует.

Если утверждаете, что существует, то предъявите. Таково конструктивное понимание существования.

Nxx писал(а):

Цитата:

может быть пример, когда более слабое истинно, а более сильное - неразрешимо

Ну так приведите такой пример. Вы привели пример (после исправления), где оба высказывания истинны.

Нет, высказывание о существовании - неразрешимо (по крайней мере - не разрешено до сих пор).

Nxx писал(а):

В таком случае выражение "Это высказывание ложно" высказыванием не является, так как эквивалентно бесконечному отрицанию, приведенному выше.

Я так и не врубился, почему оно "эквивалентно бесконечному отрицанию". Но то, что это не есть формальное высказывание - это точно, ибо никто его пока что не сформулировал.

Конечно, Вы можете сказать, что высказывание существует "неформально", но если я начну задавать Вам вопросы про то, какое высказывание обозначено словом "это", то мы с Вами понимания никогда не достигнем.

Nxx писал(а):

Цитата:

Классической математикой (а именно - законом исключённого третьего) утверждается. Не теряйте контекст

Я привел свое понимание, вы мне возразили с позиций классической математики. Смысл?

Вы защищали закон исключённого третьего. Я указал на то, что он означает применительно к неразрешимому высказыванию.

Someone писал(а):

epros в сообщении #194436 писал(а):

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Не пройдёт. Вы просто постулируете, что бесконечное множество является актуальной бесконечностью, а потом ругаете теорию множеств за это. А теория множеств нисколько не виновата, что Вы обозвали бесконечные множества "актуально" бесконечными.

Вы просили определение, я дал. Так всегда поступают, когда имеет место непонимание значения употребляемого термина. Какие проблемы?

И я не "ругаю" теорию множеств. Я просто говорю, что она принимает абстракцию актуальной бесконечности (в указанном смысле), а я - нет.

Someone писал(а):

Nxx в сообщении #194442 писал(а):

Что-то вы не то говорите. В таком случае конструктиивный континуум является актуальной бесконечностью.

Совершенно верно. Но epros - экстремист даже по сравнению с самыми правоверными конструктивистами. Он желает быть святее самого Папы. Поэтому он бесконечных множеств не признаёт.

Покажите мне конструктивиста, который признаёт актуальную бесконечность (именно в указанном выше смысле).
Я со своей стороны готов найти цитату из Маркова, где он говорит про то, что не понимает актуальной бесконечности, которую принимает классическая математика (употребляется именно такой термин).

[Инт]

Someone писал(а):

Это есть словоблудие. В математике нет никакого "одновременного" или "не одновременного" существования в физическом смысле. Есть просто символ $\exists x\ldots$, который означает, что можно тем или иным способом "предъявить" "предмет" $x$, относящийся к нашей предметной области. "Предмет" этот является абстрактной математической конструкцией и к физике ни малейшего отношения не имеет, даже если используется в качестве математической модели чего-нибудь физического.

"Логическая одновременность" существования означает просто, что утверждение $\exists x\ldots\&\exists y\ldots$ не приводит к противоречию.

В математике когда-то не существовало и мнимых чисел и, даже, действительных. Думаю, что не Вам решать, что должно принадлежать математике. Простейшим и давно известным примером потенциальной бесконечности можно назвать ряд ординалов. Очевидно. что он существует. Очевидно, что он не может быть актуальным множеством. Такие формальности, как обозвать это потенциальное множество, т.е. такого рода потенциальную бесконечность, "классом", ничего не решают и являются словоблудием.

[Nxx]

Цитата:

Во-первых, речь была не об этом выводе, а о том, что $x=\frac{1}{3}$, т.е. знаменатель существует.

Если максимального совершенного числа нет и их ряд не бесконечен, то знаменатель не существует.

Цитата:

Совершенные числа существуют, а если среди них нет максимального, значит их не может быть конечное количество.

С чего вы это взяли?

Цитата:

Где именно здесь утверждение про "не существует"?

Вы утверждали, что ни один конструктивист не скажет, что знаменатель существует. Но сами привели конструктивный способ найти знаменатель и согласились, что он существует (после исправления условия).

Цитата:

Нет, высказывание о существовании - неразрешимо (по крайней мере - не разрешено до сих пор).

Почему же? есть конструктивный алгоритм построения этого знаменателя (если мы останавливаемся на минимальном нечетном совершенном числе). Если мы останавливаемся на максимальном совершенном числе, то алгоритма, вероятно, нет, и знаменатель не существует. Все просто.

Цитата:

Вы защищали закон исключённого третьего. Я указал на то, что он означает применительно к неразрешимому высказыванию.

Я защищал этот закон только применительно к высказываниям, которые существуют.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Совершенные числа существуют, а если среди них нет максимального, значит их не может быть конечное количество.

С чего вы это взяли?

Предположение о том, что их конечное количество, легко сводится к противоречию: Находим среди них максимальное, оно и есть максимальное совершенное число, что противоречит условию о том, что такового не существует. Сведение к противоречию есть доказательство отрицания.

Nxx писал(а):

Вы утверждали, что ни один конструктивист не скажет, что знаменатель существует. Но сами привели конструктивный способ найти знаменатель и согласились, что он существует (после исправления условия).

Нет, не привёл. Способа найти знаменатель у нас нет.

Nxx писал(а):

Цитата:

Нет, высказывание о существовании - неразрешимо (по крайней мере - не разрешено до сих пор).

Почему же? есть конструктивный алгоритм построения этого знаменателя (если мы останавливаемся на минимальном нечетном совершенном числе).

Не доказано, что алгоритм останавливается, и не доказано, что алгоритм не останавливается. Таким образом, не исключено, что знаменатель никогда не будет найден.

Nxx писал(а):

Цитата:

Вы защищали закон исключённого третьего. Я указал на то, что он означает применительно к неразрешимому высказыванию.

Я защищал этот закон только применительно к высказываниям, которые существуют.

Существует масса неразрешимых высказываний. А есть ещё просто "пока не разрешённые" высказывания. Вы и про них скажете, что они "не существуют"? А если их завтра разрешат?

Я приводил пример теоремы Гудстейна (утверждение о том, что любая последовательность Гудстейна конечна). Про это высказывание точно известно, что оно неразрешимо в арифметике. Стало быть "его не существует"?

[Nxx]

Цитата:

Находим среди них максимальное

Как находим?

Цитата:

Сведение к противоречию есть доказательство отрицания.

А я слышал, что конструктивисты не признают доказательства от противного.

Цитата:

Нет, не привёл. Способа найти знаменатель у нас нет.

Ну хорошо, если такого способа нет, то значит, знаменателя может и не быть вообще. Если не доказуемо, что нет нечетных совершенных чисел, то значенателя нет. Если доказуемо или найдено такое число, то знаменатель есть. Все просто.

Цитата:

Таким образом, не исключено, что знаменатель никогда не будет найден.

Если его невозможно найти, значит, он не существует.

Цитата:

Существует масса неразрешимых высказываний. А есть ещё просто "пока не разрешённые" высказывания. Вы и про них скажете, что они "не существуют"? А если их завтра разрешат?

Нет, конечно. Не существуют только неразрешимые. Точнее логические выражения существут, но не задают высказывания.

Цитата:

Я приводил пример теоремы Гудстейна (утверждение о том, что любая последовательность Гудстейна конечна). Про это высказывание точно известно, что оно неразрешимо в арифметике. Стало быть "его не существует"?

Если мы огрничиваем нашу теорию, то в этой ограниченной теории его не будет. Это все равно, что невычислимая функция. Если мы допускаем оракул останова, то те функции, которых не существовало бы без этого оракула, появляются. Если мы исключаем оракул останова, то те функции, которые были в теории с оракулом, исчезают в усеченной теории.

[epros]

Nxx писал(а):

Цитата:

Находим среди них максимальное

Как находим?

Поочерёдным перебором. Поскольку по условию количество перебираемого конечно, он завершается нахождением максимального числа.

Nxx писал(а):

Цитата:

Сведение к противоречию есть доказательство отрицания.

А я слышал, что конструктивисты не признают доказательства от противного.

Это не доказательство от противного, а опровержение предположения. Доказательство от противного - это когда предполагаем отрицание, а в итоге доказываем утверждение. Конструктивист таким образом может доказать только двойное отрицание, а поскольку закона снятия двойного отрицания нет, то утверждение таким способом не доказывается.

Nxx писал(а):

Ну хорошо, если такого способа нет, то значит, знаменателя может и не быть вообще.

Доказано, что доказательства несуществования знаменателя не может быть.

Nxx писал(а):

Если не доказуемо, что нет нечетных совершенных чисел, то значенателя нет. Если доказуемо или найдено такое число, то знаменатель есть. Все просто.

Я не понимаю, Вы сейчас какое утверждение защищаете? Если это, если то ... А если у нас нет ни "этого", ни "того"? Т.е. нечётное совершенное число и не найдено, и не доказано, что оно не существует, и не доказано, что его несуществование недоказуемо?

Nxx писал(а):

Цитата:

Таким образом, не исключено, что знаменатель никогда не будет найден.

Если его невозможно найти, значит, он не существует.

То, что его невозможно найти, не доказано.

Nxx писал(а):

Цитата:

Существует масса неразрешимых высказываний. А есть ещё просто "пока не разрешённые" высказывания. Вы и про них скажете, что они "не существуют"? А если их завтра разрешат?

Нет, конечно. Не существуют только неразрешимые. Точнее логические выражения существут, но не задают высказывания.

Неразрешимость (если она есть) может быть доказуема только мета-теоретически. Находясь в рамках теории, Вы никогда не узнаете, что высказывание неразрешимо в ней.

Nxx писал(а):

Цитата:

Я приводил пример теоремы Гудстейна (утверждение о том, что любая последовательность Гудстейна конечна). Про это высказывание точно известно, что оно неразрешимо в арифметике. Стало быть "его не существует"?

Если мы огрничиваем нашу теорию, то в этой ограниченной теории его не будет. Это все равно, что невычислимая функция.

Теории всегда чем-то ограничены.

Nxx писал(а):

Если мы допускаем оракул останова, то те функции, которых не существовало бы без этого оракула, появляются.

Я не представляю себе, что такое "оракул останова", а потому допустить его не могу.

Возьмите для примера Гёделевское высказывание $G$. Его синтаксис таков, что оно утверждает несуществование натурального числа, удовлетворяющего некоторым условиям. Недоказуемо оно по достаточно очевидной причине: Перебор всех чисел с проверкой этого условия никогда не закончится, а других механизмов теория, судя по всему, предложить не может. Но мета-теоретически доказуемо, что процедура проверки этого условия никогда не закончится, а значит такого числа действительно не существует. Так вот, это $G$, по-Вашему, является ли "высказыванием"?