Абстракция актуальной бесконечности

[Alexey Romanov]

Определение: действительное число $x$ есть последовательность рациональных чисел $x_n$ и последовательность натуральных чисел $N_n$ такие, что $\forall l, m > N_n ~ | x_l - x_m | < 2^{-n}$.

Рассмотрим любой стандартный пример числа $x$, для которого мы не можем доказать ни $x > 0$, ни $x = 0$, ни $x < 0$ (аналогичный пример упоминался на первой странице).

Как по нему построить действительное число (в указанном выше смысле) $\mathrm{sign} \,x$? Никак нельзя.

Таким образом, мы не можем доказать, что $\mathrm{sign}$ всюду определена.

[ewert]

Так вот это ровно и означает, что "... а слова нет".

Предположим, вам подсунули задачку типа теплопроводности:

$$\begin{cases}{d\over dx}\alpha(x){du\over dx}=f(x);\\u(-1)=0,\quad u(1)=0,\end{cases}$$

где, скажем, $\alpha(x)=\mathop{\mathrm{sign}}x+3.$ Вы, конечно, с негодованием откажетесь её решать, поскольку такого распределения коэффициентов теплопроводности не существует. Но ведь решать-то -- надо...

[epros]

Someone писал(а):

Если Вы не согласны, дайте математическое определение актуальной бесконечности.

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Добавлено спустя 9 минут 28 секунд:

ewert писал(а):

Никто не в силах запретить отображению быть разрывным, а поскольку такие отображения практически значимы -- то и не вправе.

Вы не поняли. Никто не "запрещает", просто так уж получается, что некоторые объекты из области определения никуда не отображаются, поэтому независимый от наших желаний факт заключается в том, что это - не отображение.

ewert писал(а):

Вообще, как ни странно, не все вещи в этом мире суть функции.

Да, и тета-функция - тоже не есть функция, определённая на $\mathbb{R}$.

ewert писал(а):

Кстати, $\mathbb{R}$ в этой теме абсолютно не при чём.

Вы не в теме. Теорема о непрерывности функций касается только функций, определённых на $\mathbb{R}$. Функции, определённые на $\mathbb{Q}$, могут быть разрывными.

[ewert]

epros писал(а):

Вы не поняли. Никто не "запрещает", просто так уж получается, что некоторые объекты из области определения никуда не отображаются, поэтому независимый от наших желаний факт заключается в том, что это - не отображение.

А Вы можете доказать, что сущесттвует программа вычисление, при прогонки которой встретится хотя бы одно число, для которого этой программе не удастся определить знак?

[Nxx]

Цитата:

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Что-то вы не то говорите. В таком случае конструктиивный континуум является актуальной бесконечностью.

[Alexey Romanov]

Скажите, пожалуйста, какому числу равно $\frac{d}{dx} \alpha(x)$ при $x = 0$?

Цитата:

Вы, конечно, с негодованием откажетесь её решать, поскольку

у этой функции нет производной в этой точке.

Цитата:

Но ведь решать-то -- надо...

[ewert]

Alexey Romanov писал(а):

Скажите, пожалуйста, какому числу равно $\frac{d}{dx} \alpha(x)$ при $x = 0$?

Цитата:

Вы, конечно, с негодованием откажетесь её решать, поскольку

у этой функции нет производной в этой точке.

Я так и знал, так и знал!

Разрывность альфы в нуле означает лишь, что оператор не является дифференциальным в классическом понимании. Но вот его квадратичная форма:

$$(Au,u)=\int_{-1}^1\alpha(x)|u'(x)}^2dx$$

-- объект уже вполне классический. И этого достаточно для придания задаче вполне точного смысла -- более того, в точности соответствующего физике.

Если, конечно, не заниматься конструктивной ловлей блох, а считать альфу обычной функцией.

[Alexey Romanov]

А заодно скажите, пожалуйста, кто определил, что $\alpha(x)=\mathop{\mathrm{sign}}x+3$. Причём точно, а не приближённо.

Добавлено спустя 5 минут 42 секунды:

ewert в сообщении #194446 писал(а):

$$(Au,u)=\int_{-1}^1\alpha(x)|u'(x)}^2dx$$

Это вполне конструктивно, если рассмотреть

$\alpha(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 2, & x < 0 \\ 4, & x > 0 \end{array} \right.$
(в точках, неотделимых от 0, $\alpha(x)$ не определено).

Если, конечно, не заниматься классической ловлей блох, а считать альфу обычной конструктивной функцией

[epros]

Nxx писал(а):

Там, кстати, говорится не "немыслимо", а "невозможно". Так что, наши мыслительные способности и представления тут не при чем.

Речь о теоретической возможности, а теории в некотором смысле есть продукт наших мыслительных способностей. Вон согласно Ньютоновской механике "невозможно", чтобы путешествовавший в космосе близнец оказался моложе своего брата - домоседа. Но оказалось, что эта "невозможность" за рамками данной теории оказалась не такой уж невозможной.

Nxx писал(а):

Если максимальное совершенное число можно найти конструктивно (=вывести из аксиом арифметики), то знаменатель существует, если нельзя, то не существует, по-моему, тут все понятно.

Давайте-ка без "если". К тому же я не понимаю, что значит "нельзя найти конструктивно"? У Вас есть доказательство того, что максимальное совершенное число именно нельзя найти? Это значит, что его не существует, т.е. $x=\frac{1}{3}$, т.е. $m=1$, $n=3$. С какой стати Вы здесь утверждаете, что в таком случае "знаменатель не существует"?

Nxx писал(а):

То есть, он вполне может не существовать.

Нет, не может. Ситуация, когда число $x$ оказалось бы иррациональным, противоречит постановке задачи.

Nxx писал(а):

То есть "доказать несуществование нельзя"? Не согласен. Считаю, что теорема утверждает другое.

Какая теорема? Речь об определении двойного отрицания существования. Если предположение о том, что несуществование объекта доказуемо, сведено к противоречию, то по определению имеем утверждение о том, что он "не может не существовать".

Nxx писал(а):

Утверждение, что любое выражение или истинно или ложно эквивалентно утверждению, что у любого ряда есть сумма, а у любой последовательности предел. Как бывают расходящиеся ряды, бывают и "расходящиеся" высказывания

Я перестаю Вас понимать. Либо Вы мне здесь доказываете, что у любой последовательности есть предел, либо Вы таким образом соглашаетесь с тем, что закон исключённого третьего принимать не следует?

Nxx писал(а):

Но если доказано, что ряд не расходится, то он сходится. Если доказано, что предела не может не быть, то он есть. Или по-вашему, бывает иначе?

Да, по-моему бывает иначе. Есть высказывания неопровержимые, но которые нет никаких оснований считать истинными. (Типа высказывания о существовании потустороннего мира. ) Утверждений о существовании пределов это тоже касается. Пример - то самое число $x$, которое составляется из троек. Есть ли предел у последовательности: $0.3, 0.33, 0.333, \dots$ (после номера, являющегося максимальным совершенным числом, вместо тройки начинаем дописывать к числу нули)? Классический математик скажет, что "есть". Конструктивист - что "не может не быть".

Nxx писал(а):

Есть логические выражения, которые неизвестно, являются высказываниями или нет.

Обычно высказыванием считается всё, что синтаксически правильно, а это заведомо проверяется конечной процедурой. А согласно Вашим понятиям получается, что мы не можем сказать, является ли высказыванием вот это: "Существует максимальное совершенное число".

А теорема Гудстейна по-Вашему - это высказывание? Напоминаю, что в арифметике она недоказуема (и это нам, к счастью, известно).

Добавлено спустя 12 минут 47 секунд:

ewert писал(а):

А Вы можете доказать, что сущесттвует программа вычисление, при прогонки которой встретится хотя бы одно число, для которого этой программе не удастся определить знак?

При какой "прогонке"? Есть такое число, тета-функцию от которого Вы не рассчитаете. Имею я право спросить Вас, каково значение функции для этого аргумента или я должен как-то так специально организовывать процедуру "прогонки", чтобы это число обойти?

Nxx писал(а):

Цитата:

Множество, мощность которого не меньше мощности минимального индуктивного множества, является "актуальной бесконечностью".

Что-то вы не то говорите. В таком случае конструктиивный континуум является актуальной бесконечностью.

А что Вы понимаете под "конструктивным континуумом"?

[Инт]

Someone писал(а):

В математике НЕТ понятия актуальной бесконечности, поэтому никакие аксиомы не могут утверждать её существование.Если Вы не согласны, дайте математическое определение актуальной бесконечности.

Ув. Someone. Я думаю, что есть основания для различения бесконечностей, и отсутствие различения есть всего лишь в конкретных теориях, поскольку точные границы математики вряд ли могут быть кем-то определены. Считаю, что чем больше точек зрения на бесконечность мы имеем, тем лучше для нашего различения, т.е. для нашего аналитического знания. Тем больше средств мы имеем для разрешения задач. Одно из свойств актуальной бесконечности - одновременное существование элементов бесконечного множества. "Одновременность" при этом понимается как в логическом смысле, так и в физическом. Смена "одновременности" интуитивно ведёт к переходам от актуальной бесконечности к потенциальной и наоборот. Чтобы дать ясный пример потенциальной бесконечности "очевидно существующей", не сводимой ни к какому актуальному множеству, мне потребуется время. Причём, по классической теории множество, которое я могу указать в этом примере, не существует.

[Nxx]

Цитата:

Давайте-ка без "если". К тому же я не понимаю, что значит "нельзя найти конструктивно"? У Вас есть доказательство того, что максимальное совершенное число именно нельзя найти? Это значит, что его не существует, т.е. $x=\frac{1}{3}$, т.е. $m=1$, $n=3$. С какой стати Вы здесь утверждаете, что в таком случае "знаменатель не существует"?

Я не утверждаю, что он не существует, я утверждаю, что он может не существовать. Не видите разницу? То же самое, что вы поставите в знаменатель сумму ряда, про который неизвестно, сходится он или нет.

Цитата:

Нет, не может. Ситуация, когда число $x$ оказалось бы иррациональным, противоречит постановке задачи.

Если число х, заданное таким образом, существует, то оно рационально. Например, если максимальное совершенное число существует, то оно больше 100 и целое. Из этого нельзя делать вывод, что оно существует.

Цитата:

Какая теорема?

Теорема о корне функции на отрезке. Она не говорит "утверждение о несуществовании корня на отрезке недоказуемо", она говорит "корня на отрезке не может не быть". Если вы считаете, что это более слабое утверждение, чем "существует", то приведите пример, когда
1. Утверждение, что корень существует - не выполняется
2. Утверждение, что корня не может не существовать выполняется.

Цитата:

Есть ли предел у последовательности: $0.3, 0.33, 0.333, \dots$ (после номера, являющегося максимальным совершенным числом, вместо тройки начинаем дописывать к числу нули)? Классический математик скажет, что "есть". Конструктивист - что "не может не быть".

А я скажу, что может и не быть. Если максимальное совершенное число найти невозможно, и доказать, что совершенных чисел бесконечно много тоже нельзя, то и предела у этой последовательности нет.

Цитата:

Обычно высказыванием считается всё, что синтаксически правильно

Это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел действительным числом. Или любое аналитическое выражение с аргументами - функцией.
К примеру,

$$f(x)=x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$$

, по-вашему, функция?

Цитата:

А что Вы понимаете под "конструктивным континуумом"?

То, что названо таким словом в учебнике по конструктивному анализу.

[Pi]

Бесконечностей бесконечно много.

Nxx писал(а):

Вот с этим я не согласен. Утверждение, что любое выражение или истинно или ложно эквивалентно утверждению, что у любого ряда есть сумма, а у любой последовательности предел. Как бывают расходящиеся ряды

Да, каждый расходящийся ряд сходится к одной из бесконечностей и только к ней.
Поэтому можно строго ее установить. Например поделив предел ее на другую предельную велечину несходящейся последовательности или ряда, тогда мы увидим что одна бесконечность больше другой в К раз. Или взяв разницу или другую операцию.

Таким образом мы можем точно усановить где находится эта бесконечность, не хуже как с конечными числами. Ведь чем отличает бесконечное число от конечного в данном множестве , только тем что его нельзя записать конечным набором цифр, а конечное можно записать как бесконечное с бесконечным количеством ведущих нулей.

Но если в данном множестве ряд-последовательность не сходится то, это не факт что оно не сходится в другом охватывающем его множестве, что расширяет данное. То есть нго можно записать конечным набором цифр из расширенного множества.

[Nxx]

Цитата:

Да, каждый расходящийся ряд сходится к одной из бесконечностей и только к ней.

Не правда. Вот этот расходящийся ряд к бесконечностям не сходится:

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$$

[Pi]

Расходящийся в смысле (неогранниченно-)расходящийся.
А ваш ряд имеет ту особенность что его значения лежат в интервале [0;1] и поэтому он не расходящийся в строгом смысле этого слова, а несходящийся (к одному числу; это можно сопоставить с неоднозначной функцией). В данном случае к двум числам {0,1}.

[epros]

Nxx писал(а):

Я не утверждаю, что он не существует, я утверждаю, что он может не существовать.

Не может, потому что это противоречило бы постановке задачи.

Nxx писал(а):

Если число х, заданное таким образом, существует, то оно рационально.

А почему оно вдруг могло бы не существовать? Это - последовательность Коши, так что действительным числом это является уж точно.

Nxx писал(а):

Например, если максимальное совершенное число существует, то оно больше 100 и целое. Из этого нельзя делать вывод, что оно существует.

Ну, нельзя. Но речь не об этом, а о том, является ли $x$ рациональным, т.е. существует ли его знаменатель (раз числитель Вам не пришёлся по душе). Есть действительное число и его иррациональность противоречила бы постановке задачи. Каковы выводы?

Nxx писал(а):

Теорема о корне функции на отрезке. Она не говорит "утверждение о несуществовании корня на отрезке недоказуемо", она говорит "корня на отрезке не может не быть".

Да, и это означает, что предположение о несуществовании корня противоречиво.

Nxx писал(а):

Если вы считаете, что это более слабое утверждение, чем "существует", то приведите пример, когда
1. Утверждение, что корень существует - не выполняется
2. Утверждение, что корня не может не существовать выполняется.

Это неправильная постановка вопроса. Если мы можем доказать "не может не существовать" (2), но не можем доказать "существует", то это не значит, что мы можем доказать "не существует" (1). Наоборот! Это означает, что мы доказали, что предположение "не существует" - противоречиво.

Nxx писал(а):

Если максимальное совершенное число найти невозможно, и доказать, что совершенных чисел бесконечно много тоже нельзя, то и предела у этой последовательности нет.

Вы из каких-то противоречивых предположений исходите. Если "максимальное совершенное число найти невозможно", то это означает, что его не существует. Доказав эту часть Вашего утверждения, мы автоматически доказываем, что количество совершенных чисел неограниченно.

Nxx писал(а):

epros писал(а):

Обычно высказыванием считается всё, что синтаксически правильно

Это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел действительным числом.

Нет, это не то же самое. Это просто определение понятия "высказывания". Вы можете, конечно, считать какие-то из высказываний "бессмысленными" или "неразрешимыми" или как-то ещё их обозвать, но называть их вообще не высказываниями - это, пожалуй, уже через чур.

Если уж Вам так нравятся аналогии, то я бы сказал, что это то же самое, что считать любую последовательность рациональных чисел "последовательностью".

Nxx писал(а):

epros писал(а):

А что Вы понимаете под "конструктивным континуумом"?

То, что названо таким словом в учебнике по конструктивному анализу.

И какое отношение сказанное в этом учебнике имеет к понятиям "индуктивное множество" и "мощность", о которых я там говорил?