Давайте попробуем выбираться из карантина.
Начнем с того, что эти темы никто никогда не рассматривал и не обращал на них внимания. Поэтому ссылок на какие-то источники невозможен, - их просто не существует. Я могу только предоставлять свои построения и рассуждения, которые и будут являться доказательствами. Если нужны будут какие-то ссылки на общеизвестные материалы - постараюсь их предоставить.
По первой части темы о четвертой задаче я всю информацию изложила, сообщив моменты, на которые необходимо обратить внимание. Задача то нерешаема (с моей точки зрения). Поэтому и просила форумчан о помощи в определении неразрешимости задачи.
Доказательства ошибки и ее место в математике очень объемные. Поэтому я не вписываюсь в 20000 символов. Сокращаю до приемлемых, а остальнле уже потом.
Начнем с самого начала.
Коль речь идет о эвольвенте, то вспомним общее определение эвольвенты и эволюты, которые есть во многих учебниках.
По сушествующим математическим понятиям эвольвента это:
Эвольвента (от лат. Evolvens — разворачивающийся) плоской линии — это линия L_1, по отношению к которой является эволютой. Иными словами - кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой. Картинку не привожу, она есть во многих источниках
Главным в определении эвольвенты есть касательная и перпендикуляр. Второе главное условие, которым будем пользоваться в своих рассуждениях это то, что эвольвента и эволюта - это неразрывный тандем. У любой кривой есть только одна эволюта и только одна эвольвента.
Разговор будет вестись о эвольвенте основной окружности. Важен тот факт, что именно конкретно основной окружности, а не просто какой-то отвлеченной окружности. Имеется в виду, что окружность определенного радиуса.
Еще при доказательстве будут использованы термины: касательная, перпендикуляр, точка, соединение точек плавной кривой линией, абстрактная математика, наглядная математика. Определение терминов не привожу, т.к. они есть во многих учебниках и математикам должны быть понятны. Еще одним условием о эвольвенте есть то, что через точку вне основной окружности на плоскости, можно провести только одну эвольвенту (не считая зеркальной).
Доказательство:
Классическое построение эвольвенты заключается в следующем:
Рис 8 Эвольвента
Проводим окружность (основную), эвольвенту которой необходимо построить, делим эту окружность на определенное количество частей (в нашем случае 12), проводим радиусы к каждой точке деления, строим касательные лучи к каждому радиусу. На одном из лучей (в нашем случае 12) откладываем шаг эвольвенты (рис 8), разбиваем этот шаг на такое же количество частей что и окружность (на 12), и проводим построения для определения точек эвольвенты на соответствующих лучах.
Проводим касательную к одному из лучей через точку Х. Это классическое построение эвольвенты, основанное на ранее общепризнанных понятиях.
При таком построении эвольвенты имеется ряд противоречий, которые дают основание утверждать, что эвольвенту по данному алгоритму точно построить невозможно хотя бы по таким причинам.
Основное противоречие заключается в том, что при построении эвольвенты шаг не определен. Его необходимо вычислить. А вычислить его невозможно из-за иррациональности числа ПИ.
Если рассматривать шаг эвольвенты, построенной по предлагаемому алгоритму, то такая задача будет тоже неразрешимой, но она будет являться разновидностью задачи о квадратуре круга.
Получается, что точно построить эвольвенту невозможно! Неужели?
Для примера построим кривую по придуманному алгоритму, а затем будем исследовать ее свойства.
Построение точек (при помощи циркуля и линейки) по определенному алгоритму (Закону) представляет собой построения (действия), проведенные в строго определенном этим алгоритмом порядке.
Построение кривой при помощи циркуля и линейки: (как во времена Эвклида) (рис 4 с пункта 1 по пункт 9)
1. Проводим на плоскости прямую Х (ничего общего с осью Х);
2. Из точки О, лежащей на прямой Х, выбранным раствором проведем основную (образующую) окружность, с центром в этой точке;
3. Точка 1, - это точка начала построения кривой, которая будет. пересечением основной окружности и прямой Х (не путать с началом кривой).
4. Выбираем величину отрезка 1,2 между точками построения кривой (точность построения).
5. Разделим отрезок 1,2 пополам. Точка А.
6. Из центра в точке 1 раствором циркуля проведем окружность радиуса 1,2 (назовем эту окружность Окр б1 - (окружность большая первая.).
7. Проводим окружность радиуса 1,А с центром в точке 1. Назовем эту окружность - Окр м1 (Окружность малого радиуса первая). 1,А равно А,2
8. Проведем касательную (к1) к двум окружностям: основной и Окр м1.
9. Проведем перпендикуляр n1 к касательной к1 через точку касания с Окр м1 (точка А). Этот перпендикуляр обязательно должен пройти через точку 1 (перпендикуляр к касательной окружности, проведенный через точку касания проходит через центр окружности.). Продолжение перпендикуляра пересечет окружность Окр б1 в точке 2. (по условию построений).
http://s50.radikal.ru/i130/1701/ec/de5a0ae98b95.jpgРис 4 Начало построения кривой
10. Проведем окружность Окр м2 радиуса 1,А с центром в точке 2. Проведем окружность Окр б2 радиуса 1,2 с центром в точке 2.
11. Построим касательную к2 к двум окружностям: основной окружности, и окружности Окр м2. В месте касания образуется точка В.
12. Через точку В проведем перпендикуляр к касательной к2. Этот перпендикуляр пройдет через центр окружности Окр м2 (по построению), и его продолжение пересечет окружность Окр б2 в точке 3.
13. Дальнейшее построение понятно из рисунка 5: точка 3 - это центр окружности Окр м3 - построение касательной к двум окружностям - построение перпендикуляра к касательной через точку касания.
Точки касания А,В,С, и аналогичные им, будут точками кривой.
При таком построении соблюдается условие определения кривой, т.к. при развертывании кривой малые окружности будут катиться одна по другой.
http://s020.radikal.ru/i722/1701/a5/6eea592aac02.jpgРис 5 Построение кривой (пункт 10 и до конца)
Как видно из рисунка 5 точки кривой А и С, расположенные на перпендикулярах n1 и n3 соответственно, расположены по обе стороны относительно перпендикуляра n2. Если назначить довольно малое расстояние для построения кривой, то можно достичь довольно точных построений.
Рассмотрим перпендикуляр nn. Он всегда будет расположен между перпендикулярами nn-1 и nn+1, что дает право утверждать о том, что все эти перпендикуляры n1, n2, n3 и т. д. являются касательными к кривой.
Кроме положительных моментов в таком способе построений предлагаемой кривой имеется и недостаток: невозможно построить точку начала кривой на основной окружности. Но неизвестной является только одна точка. Если учесть, что точность построения кривой задается, то этот недостаток не играет большой роли. Для исследований будет достаточно бесчисленного множество точек, которые поддаются построениям.
Что же мы построили?
Если смотреть с точки зрения построенной кривой, то по всем параметрам основная (образующая) окружность является для этой кривой эволютой.
А для этой (образующей) окружности построенная кривая будет эвольвентой!!!!!!
Следовательно, была построена эвольвента окружности.
http://s020.radikal.ru/i714/1701/6a/79866daa71c1.jpgРис 6 Дальнейшее построение кривой
Кроме того, если посмотреть на свойства построенной кривой и на свойства эвольвенты, то они окажутся идентичными. Значит, возможно построить эвольвенту окружности с помощью циркуля и линейки!
Соответственно, построив эвольвенту с помощью циркуля и линейки, тем самым решили задачу квадратуры круга!!!!!!!!. (С точки зрения абстрактной математики: если удастся построить две точки эвольвенты окружности, то можно решить задачу квадратуры круга).
В рассуждениях все было бы прекрасно, если бы не одно но:
Построенная кривая, у которой свойства эвольвенты- увы, не является эвольвентой в классическом ее понимании абстрактной математики.
И задача квадратуры круга осталась нерешенной.
Разберемся, как может быть, что построенная кривая по определениям является эвольвентой, и в то же время не является ей.
По сушествующим математическим понятиям (еще раз) эвольвента это:
Эвольвента (от лат. Evolvens — разворачивающийся) плоской линии — это линия , по отношению к которой является эволютой. Иными словами - кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.
Можно построить эвольвенту несколькими способами.
Первый:
Построить эвольвенту по алгоритму построения спирали Архимеда, т.е. по образу и подобию спирали Архимеда.
http://s020.radikal.ru/i715/1701/7b/738ad91a6dc4.jpgРис 7 Спираль Архимеда
http://i069.radikal.ru/1701/95/5603a3a8f2f6.jpgРис 8 Эвольвента
Проводим окружность (основную), эвольвенту которой необходимо построить, делим на определенное количество частей (в нашем случае 12), проводим радиусы к каждой точке деления, строим касательные лучи к каждому радиусу. На одном из лучей (в нашем случае 12) откладываем шаг эвольвенты (рис 8), разбиваем этот шаг на такое же количество частей что и окружность (на 12), и проводим построения для определения точек эвольвенты на соответствующих лучах.
Проводим касательную к одному из лучей через точку Х. Это классическое построение эвольвенты, основанное на ранее общепризнанных понятиях.
При таком построении эвольвенты имеется ряд противоречий, которые дают основание утверждать, что эвольвенту по данному алгоритму точно построить невозможно хотя бы по таким причинам.
Основное противоречие заключается в том, что при построении эвольвенты шаг не определен. Его необходимо вычислить. А вычислить его невозможно из-за иррациональности числа ПИ.
Второе противоречие - измерение шагов спирали Архимеда и эвольвенты ведется в различных направлениях. У спирали Архимеда направление измерения шага проходит через начало координат (в центральном измерении), а у эвольвенты шаг измеряется по касательной к основной окружности.
Третье противоречие - вытекает из второго - шаг эвольвенты в центральном измерении непостоянен, он уменьшающийся, асимптотически приближающийся к шагу эвольвенты, измеренной по касательной к основной окружности.
Поэтому, построение эвольвенты по предлагаемому алгоритму дает возможность точно констатировать только такие параметры: радиус основной окружности, количество частей, на которое разделена эта окружность, начальная точка построения эвольвенты. И все. Остальное - неопределенность.
Такие построения в корне неверные. Они возникли из-за того, что спираль Архимеда очень похожа (но только по внешнему виду) на эвольвенту. Саму Архимедову спираль никто серьезно не исследовал, всегда воспринимали ее как что-то закономерное. И эвольвенту серьезно не исследовали. Точность построений, которые производятся для эвольвентного зацепления, вполне удовлетворяют расчетчиков, но не всегда. Если изготовить зубья шестерен по предлагаемым классическим построениям, то вращение шестерен будет невозможным. Основной ошибкой, которой пользуются до сих пор, является непререкаемый авторитет Великого Эйлера, который определил свойства эвольвенты и зубчатого эвольвентного зацепления.
Но в те времена заметить ошибку было невозможно из-за малого расхождения в углах. Только сейчас, имея точные компьютерные программы, можно исследовать кривые с высокой точностью.
Наложило свой след на такой алгоритм построения эвольвенты еще и то, что угол поворота касательной (производящей прямой) пропорционален ее приращению (точно так же, как и при построении спирали Архимеда). Это не является определяющим условием для построения эвольвенты.
Второй способ построения [4]эвольвенты окружности:
Построение эвольвенты проведем как траектория сложного движения точки.
http://s13.radikal.ru/i186/1701/99/f674b7a44c12.jpgРис 9 Сложное движение точки при построении эвольвенты
Рассмотрим траекторию сложного движения точки М (Рис 9) по стороне АВ квадрата ОАВС и одновременным вращением квадрата вокруг точки О. Скорости вращения квадрата и движения точки по стороне квадрата синхронизированы. В первоначальный момент точка М находится в точке А.
Результатом исследования будет утверждение, что касательная к траектории движения точки перпендикулярна к абсолютной скорости движения (производящей прямой). Видимо, Леонард Эйлер, как великий механик, тоже рассуждал подобным образом, и этот результат ввел в свойство эвольвенты.
Как увидим дальше, эвольвента окружности, построенная по третьему способу построения кривых будет отличаться от эвольвенты окружности в построении ее от эволюты (окружности).
Для разделения понятий эвольвент, назовем эвольвенту, построенную по третьему способу построения кривых "эвольвентой Эйлера", у которой свойства до сих пор трактуют так:
"- нормаль в каждой точке кривой является касательной к основной окружности.
–производящая прямая всегда нормальна к кривой
–кривая начинается на основной окружности и всегда расположена вне окружности;
–форма кривой зависит только от радиуса основной окружности;
–кривая является линией без перегибов".
О эвольвенте имеются довольно таки скудные сведения.
"– единственной величиной, определяющей эвольвенту, является основная окружность радиусом rb;
– эвольвента является симметричной кривой, точка возврата которой лежит на основной окружности и поэтому эвольвента не имеет точек внутри основной окружности;
– нормаль к эвольвенте есть производящая прямая, которая касается основной окружности; отрезок производящей прямой равен радиусу кривизны эвольвенты к данной точке А;
– при увеличении радиуса основной окружности эвольвента постепенно теряет свою кривизну, при rb стремится к бесконечности эвольвента преобразуется в прямую линию".
У "эвольвенты Эйлера" совершенно другие свойства.
Для доказательства несоответствия "эвольвенты Эйлера" и обычной эвольвенты окружности, увеличим расстояние между точками построения. Для наглядности и простоты вычислений, рассмотрим малоизученную и малоизвестную "спираль Пифагора".(Спираль квадратов).
http://s019.radikal.ru/i616/1701/65/4fd127beab76.jpgРис10 Построение "спирали Пифагора" (квадратов)
Алгоритм построения спирали:
На координатных осях, из начала координат (точка 0) по оси Х откладываем отрезок длиной, равной единице (точка 1) (или проведем единичную окружность). Это первая точка. Из этой точки проводим перпендикуляр к оси Х, на котором откладываем величину 01. Это вторая точка (2). Расстояние 02 будет являться гипотенузой треугольника 012 и равно корню квадратному из числа 2 (треугольник 012 прямоугольный и катеты 01 и 12 равны между собой и равны единице).
Для нахождения следующей точки необходимо провести через точку 2 перпендикуляр к отрезку 02, и отложить на этом перпендикуляре величину 01. Это точка 3. Согласно теореме Пифагора длина отрезка 03 будет равна корню из 3.
Дальнейшее построение: гипотенуза 03 треугольника 023 будет являться катетом следующего треугольника 034, а второй катет 34 будет равен по величине 01.
Последующие построения: гипотенуза предыдущего треугольника является катетом последующего треугольника, а второй катет всегда равен величине 01. Величина гипотенуз треугольников будут равны корню квадратному из порядкового номера точки.
Эту спираль можно построить только постепенно, не пропуская ни одной точки.
Первым и самым главным свойством эвольвенты (по определению эвольвенты) является то, что касательная к основной окружности (производящая прямая), в точке пересечения эвольвенты перпендикулярна касательной к эвольвенте.
Воспользуемся этим свойством и проведем дополнительные построения.
Для большей наглядности, простоты рассуждений и вычислений, увеличим масштаб построений. Радиус большой окружности будет равен 100. Построения начнем с точки 4 на "спирали Пифагора". Для наглядности поместим точку 4 на линию Х. Тогда величина О4 равна 200.
Выполним построения, показанные на рис 11.
Точки А и В должны принадлежать эвольвенте окружности "малого" радиуса - ОС равна 50.
Выбор и построение точек 4, 5, 6 - соответствуют алгоритму построения "спирали Пифагора" и будут обеспечивать "сплошность" (без разрывов) кривой и равномерное расположение точек относительно кривой.
Построенные точки А, В, К и т. д. будут принадлежать эвольвенте (т. к. алгоритм построения аналогичен построению кривой рис 6). Тогда длина дуги СД должна быть равна разности касательных ВД и АС.
Так как длина касательной АС равна О4, а длина касательной ВД равна О5, то определить разность не составляет труда.
http://s010.radikal.ru/i311/1701/aa/6aab4958bbee.jpgРис 11 Построение "эвольвенты"
Длину дуги СД можно вычислить с определенной точностью, достаточной для того, чтобы соизмерить ее с разностью касательных.
Для этого измерим угол СОД (программа "Компас" 13 версия)
Угол равен 26градусов 33минуты 54,184237секунд'. Или 95634,184237секунд
360градусов равно 1596000секунд
Определим, сколько раз угол СОД содержится в 360градусах, для чего разделим
1596000секунд на 95634,184237секунд равно 13,5516396186 раз
Длину основной (образующей) окружности: 314,159265359 разделим на количество раз и получим длину дуги СД. Это возможно, т.к. длина дуги пропорциональна углу, на который она опирается.
314,159265359делить на 13,5516396186 раз равно 23,1823804498
Разность касательных ВД и АС:
ВД равно (корень квадратный из 5) умножить на 100
АС равно 2 умножить на 100
(корень квадратный из пяти минус два) умножить на 100 равно 23,60679775
23,60679775 минус 23,1823804498 равно 0,4244173002
Как видим, разность в 0,4244173002 говорит о том, что разность длин касательных больше длины дуги.
По свойствам "эвольвенты Эйлера" точка В должна находиться в точке В_1.
http://s018.radikal.ru/i509/1701/02/d9e7d157bd38.jpgРис 12 Точка В1 "эвольвенты Эйлера"
Для того, чтобы точки В и В_1 при построениях совпали, необходимо в одном случае уменьшить радиус окружности ОС. Тогда образующая прямая не будет касательной к окружности.
Или в другом случае радиус ОС должен быть больше. Тогда производящая прямая будет секущей.
Или число ПИ не равно 3,14159265359...., которое на сегодняшний день вычислено с точностью до 13,5 триллионов знаков после запятой..
Или неверное определение эволюты и эвольвенты.
Как видим, расстояние ВВ_1 (рис.12). - это расхождение между абстрактной и наглядной кривыми.
Произошло "проскальзывание" производящей прямой относительно основной окружности.
Согласно построениям "эвольвенты Эйлера", в точке В_1 касательная к кривой не будет перпендикулярна к производящей прямой. Это наглядно показано на рис 12 существованием угла ВАВ_1.
и 
.
это равенство по модулю 
.
, либо к 
, Вы это просто так пишете, без обоснования.
будет 
как будет?
.
