2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Индекс подгруппы в группе
Сообщение17.04.2017, 21:22 


17/04/17
4
Здравствуйте,задача такая . Пусть $F=<a,b>$N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов.Найти индекс N в F?

Индекс подгруппы, тем самым, равен числу классов эквивалентности по отношению $\sim$. По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$, откуда $b \sim b^-^1 \sim a$, и $a^2\sim1$. Это значит, что в любом слове можно заменить буквы $b^±^1$ на $a$ получая эквивалентное слово. Из того, что $a^2 \sim 1$ следует, что любое слово эквивалентно или $1$, или $a$. Значит, классов эквивалентности не больше двух. С другой стороны, их ровно два, так как у эквивалентных слов длины имеют одинаковую чётность, что следует из определения N. Итого, индекс подгруппы N в свободной группе равен двум.
А если у меня подгруппа порожденным $a^3,b^2,aba^-^1b^-^1$ то не знаю чем заменить $a^3$ чтобы получить $a^3 \sim b^2 \sim aba^-^1b^-^1 \sim 1$ так как $b^2 \sim 1$ и$aba^-^1b^-^1 \sim 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Индекс подгруппы в группе
Сообщение17.04.2017, 21:28 
Модератор


19/10/15
1033
По определению.
Напишите, где конкретно у Вас возникают трудности с применением определений. И формулы поправьте.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.04.2017, 21:28 
Модератор


19/10/15
1033
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.04.2017, 12:49 
Модератор


19/10/15
1033
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Индекс подгруппы в группе
Сообщение18.04.2017, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12871
Москва
Seda в сообщении #1210269 писал(а):
Пусть $F=<a,b>$,а N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов

Мне одному кажется, что фразе "подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов" не хватает согласований слов, поэтому ее невозможно понять? Например, как получилось, что
Seda в сообщении #1210269 писал(а):
По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$
? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Индекс подгруппы в группе
Сообщение18.04.2017, 20:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
Brukvalub в сообщении #1210437 писал(а):
Seda в сообщении #1210269 писал(а):
Пусть $F=<a,b>$,а N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов

Мне одному кажется, что фразе "подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов" не хватает согласований слов, поэтому ее невозможно понять? Например, как получилось, что
Seda в сообщении #1210269 писал(а):
По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$
? :shock:
Да он просто имеет ввиду, что $N=\langle b^2, ab\rangle$ (ну а как иначе?), а $\sim$ - отношение эквивалентности принадлежности смежным классам факторгруппы $F/N$, откуда все это и следует.
Ну написано да, коряво конечно.

Seda в сообщении #1210269 писал(а):
А если у меня подгруппа порожденным $a^3,b^2,aba^-^1b^-^1$ то не знаю чем заменить $a^3$ чтобы получить $a^3 \sim b^2 \sim aba^-^1b^-^1 \sim 1$ так как $b^2 \sim 1$ и$aba^-^1b^-^1 \sim 1$
Начните с упрощения соотношения $aba^{-1}b^{-1}\sim 1$.
Чуть более общо: можно просто начать перебирать все слова $F$ увеличивая их длину (это можно изображать в виде $S$-графа с метками) - довольно быстро выясняется, что какие-то слова эквивалентны - мы исключаем их эквивалентные и продолжаем процесс до тех пор, пока не исчерпаем весь список.
Но вообще, конечно, такой прием сработает, если индекс конечен. Если он бесконечен - мы это не таки способом не определим, просто начнем смутно догадываться.

(формулы)

наведите мышкой на мою последнюю формулу - узнаете, как писать много текста в верхнем индексе

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group