Дилетантские вопросы по линейной алгебре

[sydorov]

У меня самостоятельное знакомство с предметом. И прогресс, сказать честно, не очень, если не хуже.

Немного о том, как занимался.
В качестве основного источника я использовал видеозаписи лекций и семинаров физического факультета МГУ.
Вел конспекты с последующей проработкой, и решал задачи до их разъяснения, где получалось.

До этого аналогичным образом изучал аналитическую геометрию.
Для закрепления навыков прорешал первый том из Каплан "Практические занятия по высшей математике". Примерно 300 несложных упражнений.

Как уже написал выше, с линейной алгеброй не получается уяснить, что же, черт возьми, происходит в линейных пространствах?
И ворох линейных операторов... Не вижу за деревьями леса.

В пятом томе пособия Каплана есть несколько разделов посвященных матричным вычислениям. Думал, что пройдя этот ликбез для будущих инженеров, картина немного прояснится.
Но там, за исключением простейших операций с матрицами, почти все другое - методы вычислений отличаются от семинарских. Решил из него 100+ упражнений.

Уважаемые форумчане, возможно, некоторые ваши студенты попадали в схожую ситуацию. Что посоветуете, чтобы сдвинуться с мертвой точки?

Что будет лучшим в качестве ступеньки к продвинутым учебнику и задачнику:
Взять пособие Бутузов-Крутицкая-Шишкин "Линейная алгебра в вопросах и задачах", сжать зубы и решать?
Или проработать несколько первых глав книги Головиной "Линейная алгебра и некоторые ее приложения"? Она кажется доступно написанной.

В университете бывают консультации или можно стать с устрашающим видом ) на пути у профессора и потребовать сатисфакции (объяснений) "на пальцах".
Но я не студент, поэтому надеюсь на Вашу помощь.

Конкретные вопросы по предмету задам в последующих постах. Если позволите, конечно.

[Anton_Peplov]

sydorov в сообщении #1708897 писал(а):

Как уже написал выше, с линейной алгеброй не получается уяснить, что же, черт возьми, происходит в линейных пространствах?

Из такого расплывчатого вопроса невозможно уяснить, что именно Вам не ясно.

Вот наглядная аналогия. Все мы представляем себе обычное трехмерное пространство с декартовой системой координат. Представляйте себе элемент линейного пространства, он же вектор, с координатами $(x, y, z)$ как отрезок, отложенный из начала координат в точку $(x, y, z)$ - другими словами, как радиус-вектор этой точки. Два вектора линейно независимы, когда не лежат на одной прямой. Три вектора линейно независимы, когда не лежат в одной плоскости. Взгляните с этой точки зрения на формулы для сложения векторов, линейной (не-)зависимости, линейных подпространств, разложение по базису, и они покажутся Вам естественными и единственно возможными.

Есть наглядные аналогии и для линейных операторов. Но сначала скажите, в ту ли сторону я Вас вообще веду.

[sydorov]

Anton_Peplov
Спасибо за Ваш ответ. Да, в ту сторону. Посмотрю с такой точки зрения.

(Оффтоп)

Пользуясь случаем, хочу поблагодарить Вас за Ваши аннотации к книгам.

[Anton_Peplov]

sydorov в сообщении #1708903 писал(а):

Вот, например, критерий линейной независимости трех векторов

У которого прозрачный геометрический смысл: это объем параллелепипеда, натянутого на эти три вектора.

(Оффтоп)

Спасибо на добром слове.

[sydorov]

Anton_Peplov в сообщении #1708908 писал(а):

это объем параллелепипеда, натянутого на эти три вектора.

Спасибо, это мне известно. Даже то, что это ориентированный объем.

(Оффтоп)

Прошу прощения, сразу не увидел, что Вы отредактировали Ваше первое сообщение.

[Anton_Peplov]

Уважаемый sydorov. Продолжаем разговор о наглядной геометрической интерпретации важнейших понятий линейной алгебры.

Поговорим о самом простом и важном случае линейного оператора - изоморфизме. Остаемся в том же трехмерном пространстве. Разложим его произвольный вектор по базису нашей системы координат: $\vec v = x \vec i + y \vec j + z \vec k$. Имеют место два важных и легко доказываемых факта:

1. Если $f$ - линейный оператор, то $f(\vec v) = x f(\vec i) + y f(\vec j) + z f(\vec k)$. Иначе говоря, все, что нам нужно знать о линейном операторе - это что он делает с базисом.

2. Если $f$ - еще и изоморфизм, то тройка векторов $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$ - тоже базис. На самом деле можно так и определять изоморфизм: это линейный оператор, который из базиса делает другой базис (или тот же, если изоморфизм тождественный).

Из фактов 1 и 2 вытекает наглядная интерпретация изоморфизма, точнее, автоморфизма (изоморфизма пространства с самим собой). Мы просто выбираем новую систему координат в том же пространстве и переписываем в нее все векторы покоординатно. Вектор $\vec v$, имеющий в базисе $\vec i, \vec j, \vec k$ координаты $(x, y, z)$, превратится в вектор $f(\vec v)$, имеющий в новом базисе $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$ ровно те же координаты $(x, y, z)$.

Убедитесь, что:

- умножение всех векторов на один и тот же ненулевой скаляр (т.е. их сжатие/растяжение) - автоморфизм
- поворот системы координат - автоморфизм
- отражение векторов относительно координатной оси, координатной плоскости или начала координат - автоморфизм
- перестановка местами осей, например, $f(\vec i) = \vec j$ - автоморфизм
- прибавление ко всем векторам одного и того же ненулевого вектора - не автоморфизм. (Тут может подвести интуиция, ведь нам кажется, что если сдвинуть все векторы на одну и ту же величину, ничего не изменится. Необходимо помнить, что в линейном пространстве мы все векторы откладывает от начала координат, так что прибавление вектора $\vec a$ изменит длину и/или направление каждого вектора, причем у разных векторов - по разному. А сдвиги типа "сдвинули все вправо и ничего не изменилось" - это на самом деле про аффинное пространство, до которого Вы еще дойдете).

Это, разумеется, далеко не все примеры автоморфизмов. Поскольку, как мы уже показали, каждому базису соответствует автоморфизм.

Общий случай линейного оператора устроен лишь чуть-чуть сложнее изоморфизма. Но сначала я хочу спросить: все ли понятно?

[Евгений Машеров]

Каплан это книга 1967 года. Пусть даже и дорабатывавшаяся. Матричные вычисления с тех времён сильно развились, и лучше ознакамливаться по более современному учебнику. Во всяком случае, строить характеристический полином, чтобы находить его корни, уже не практикуется.

[sydorov]

Уважаемый Anton_Peplov

Огромное спасибо за такое подробное объяснение! Проверьте, пожалуйста, правильно ли я Вас понял. Заранее приношу извинения за непонятливость.

1. Грубейшим образом линейный оператор можно представить как функцию, аргументом которой являются вектор, "под капотом" он изменяет базис,
возвращает новый вектор, с координатами из старого базиса.

2. Термин автоморфизм для меня новый. Почему бы нам просто не сказать, что это переход к новому базису в том же пространстве?

[Anton_Peplov]

sydorov в сообщении #1708994 писал(а):

Грубейшим образом линейный оператор можно представить как функцию, аргументом которой являются вектор, "под капотом" он изменяет базис,
возвращает новый вектор, с координатами из старого базиса.

Это Вы описали автоморфизм, а не произвольный линейный оператор. Для произвольного линейного оператора образ базиса - не обязательно базис. Например, оператор, отображающий все векторы в $\vec 0$ - линейный (проверьте).

sydorov в сообщении #1708994 писал(а):

Термин автоморфизм для меня новый.

А термин "изоморфизм"?
Автоморфизм - это просто изоморфизм линейного пространства с самим собой. Автоморфизмом линейного пространства $V$ является любой взаимно-однозначный линейный оператор $V \to V$ (докажите), или, что то же самое, любой линейный оператор $V \to V$, для которого прообраз нуля - нуль (докажите).

sydorov в сообщении #1708994 писал(а):

Почему бы нам просто не сказать, что это переход к новому базису в том же пространстве?

Под переходом к новому базису обычно понимается вот что. Дан базис $\vec i, \vec j, \vec k$. Вектор $\vec v$ имеет в нем координаты $(x, y, z)$. Возьмем другой базис $\vec i', \vec j', \vec k'$. Вычислить координаты $(x', y', z')$ того же самого вектора $\vec v$ в новом базисе. Такая задача часто встречаются на практике, поэтому в учебниках обычно есть раздел "переход к новому базису".

Автоморфизм - это несколько иное. Дан базис $\vec i, \vec j, \vec k$ и взаимно-однозначный линейный оператор $f$. Поскольку этот оператор линейный и взаимно-однозначный, то тройка векторов $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$ тоже будет базисом, причем таким, что вектор $f(\vec v)$ будет иметь в базисе $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$ те же координаты $(x, y, z)$, которые вектор $\vec v$ имеет в базисе $\vec i, \vec j, \vec k$. Этот факт позволяет лучше понять, что такое автоморфизм. Но на практике обычно нужно вычислить координаты вектора $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$ в "старом" базисе $\vec i, \vec j, \vec k$, а не в новом. Эти координаты зависят от конкретного автоморфизма. Они будут разными для, например, четырех следующих автоморфизмов: $f_1(\vec v) = \vec v$ (тождественный автоморфизм), $f_2(\vec v) = - \vec v$ (отражение относительно начала координат), $f_3(\vec v) = \alpha \vec v, 0< \alpha < 1$ (сжатие), $f_4(x, y, z) = (\alpha x, y, z), 0< \alpha < 1$ (сжатие по одному измерению).

Чтобы понять разницу между сменой базиса и автоморфизмом, выполните следующие упражнения.

Дан базис $\vec i, \vec j, \vec k$. Вектор $\vec v$ имеет в нем координаты $(x, y, z)$. Для каждого из четырех перечисленных операторов найдите:
1) базис $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$;
2) координаты вектора $\vec v$ в базисе $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$;
3) координаты вектора $f(\vec v)$ в базисе $f(\vec i), f(\vec j), f(\vec k)$.

[sydorov]

Уважаемый Евгений Машеров

Евгений Машеров в сообщении #1708979 писал(а):

Каплан это книга 1967 года. Пусть даже и дорабатывавшаяся. Матричные вычисления с тех времён сильно развились, и лучше ознакамливаться по более современному учебнику.

Да-да, совершенно с Вами согласен. Неудачный выбор. У меня слабая предварительная подготовка, а это пособие известно низким порогом входа.
Попрактиковался в древних методах (. В любом случае познакомился с разложением матрицы на две треугольных и применением Теоремы Кэли-Гамильтона.

(Оффтоп)

Гуглил информацию о Каплане и нашел очень трогательное воспоминание о нем "Илья Абрамыч" малоизвестного писателя. Может, запощу на форуме.

Евгений Машеров в сообщении #1708979 писал(а):

строить характеристический полином, чтобы находить его корни, уже не практикуется.

На физфаке МГУ о нем рассказывали. Видимо в учебных целях.

-- 12.11.2025, 15:20 --

Уважаемый Anton_Peplov

С понятием изоморфизма знаком из лекций. Своими словами: отображение одного пространства в другое с сохранением свойства линейности.

Разрешите ознакомиться с Вашим новым постом тщательнее.

[Anton_Peplov]

sydorov в сообщении #1708997 писал(а):

С понятием изоморфизма знаком из лекций. Своими словами: отображение одного пространства в другое с сохранением свойства линейности.

Забыли добавить "взаимно-однозначное". Это принципиально.

Отображение $\mathbb R^3 \to \mathbb R^2 \colon f(x, y, z) = (x, y)$ тоже линейное (проверьте). Но не взаимно-однозначное и, следовательно, не изоморфизм.

[sydorov]

Anton_Peplov в сообщении #1708998 писал(а):

Забыли добавить "взаимно-однозначное". Это принципиально.

Конечно же! Только что думал об этом и хотел исправить сообщение. Вы меня опередили. Спасибо за уточнение.

[Евгений Машеров]

sydorov в сообщении #1708997 писал(а):

На физфаке МГУ о нем рассказывали. Видимо в учебных целях.

Он сохранил своё концептуальное значение. Но техника вычисления собственных значений через нахождение коэффициентов характеристического полинома (что "в лоб" требует $n!$ операций, так что было разработано много остроумных приёмов свести сложность к полиномиальной, см. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры), чтобы потом находить его корни, уже не употребительна. Работают непосредственно с матрицами.

[sydorov]

Уважаемый Anton_Peplov, это пока часть работы над Вашими объяснениями.

Anton_Peplov в сообщении #1708996 писал(а):

оператор, отображающий все векторы в $\vec 0$ - линейный (проверьте).

Пусть $ \forall \vec{v_1}, \vec{v_2} \in V.$ Тогда $\vec{v_1} + \vec{v_2} \in V$

Так как $\forall \vec v \in V\quad f(\vec v) = \vec 0,$ то $f(\vec{v_1} + \vec{v_2}) = \vec 0.$ Отсюда

$f(\vec{v_1}) + f(\vec{v_2}) = \vec 0 + \vec 0 = \vec 0 = f(\vec 0) = f(\vec{v_1} + \vec{v_2})$

$\alpha f(\vec v) = \alpha \vec 0 = \vec 0 = f(\alpha \vec v)$

Проверено. Спасибо, разобрался.

Anton_Peplov в сообщении #1708996 писал(а):

Автоморфизмом линейного пространства $V$ является любой взаимно-однозначный линейный оператор $V \to V$ (докажите)

Пусть $f$ некоторый взаимно однозначный оператор, действующий из пространства $V$ в пространство $V$.

Тогда $ \forall \vec v \in V\quad \exists ! \vec u \in V,$ такой, что выполняется равенство

$f(\vec v) = \vec u$

так как оператор $f$ взаимно однозначный, то $\exists g$, действующий из $V$ в $V$, обратный данному, такой, что выполняется равенство

$g(f(\vec v)) = \vec v$

Проверим оператор $g$ на линейность.

Так как оператор $f$ также является обратным оператору $g,$ то

$f(g(\vec u)) = \vec u$

$ \forall \vec{u_1}, \vec{u_2} \in V,$ по первому свойству линейности оператора $f$ имеем

$f(g(\vec{u_1}) + g(\vec{u_2})) = f(g(\vec{u_1})) + f(g(\vec{u_1})) = \vec{u_1} + \vec{u_2}$

$f(g(\vec{u_1} + \vec{u_2})) = \vec{u_1} + \vec{u_2}$

Из двух равенств можем заключить, что

$g(\vec{u_1} + \vec{u_2}) = g(\vec{u_1}) + g(\vec{u_2})$

Первое свойство линейности оператора $g$ проверено.

Воспользуемся вторым свойством линейности оператора $f.$

$f(\alpha g(\vec{u})) = \alpha f(g(\vec{u})) = \alpha \vec u$

$f(g(\alpha \vec u)) = \alpha \vec u$

Следовательно,

$\alpha g(\vec{u}) = g(\alpha \vec u)$

Второе свойство линейности оператора $g$ проверено.

Таким образом, любой взаимно однозначный линейный операотор действующий из $V$ в $V$ - автоморфизм.


Уважаемый Евгений Машеров,

Спасибо, что указали на это. В дальнейшем, конечно, хочется узнать и о вычилительных методах.

(Оффтоп)

"Если только жив я буду, чудный город навещу"

[sydorov]

Anton_Peplov в сообщении #1708996 писал(а):

Автоморфизмом линейного пространства $V$ является любой линейный оператор $V \to V$, для которого прообраз нуля - нуль (докажите)

Если я правильно понимаю, прообраз (новый для меня термин) нуля - это ядро линейного оператора.

Для доказательства нужно убедиться, что ЛО - взаимно однозначный.

Пусть $f$ произвольный линейный оператор, действующий из пространства $V \to V$ на $\vec 0.$

$\exists ! \vec 0 \in V, \vec 0 \in \ker(f)$

Так как по утверждению $\ker(f) = \vec 0,$
заключаем, что $\operatorname{Im} f = V,$ а это значит, что для оператора $f$ существует обратный.
Из чего следует, что он является взаимно однозначным. Из утверждения известно, что он линейный.

Доказали, что любой линейный оператор $V \to V$, для которого прообраз нуля - нуль, является автоморфизмом.