Уравнение теплопроводности, обращенное во времени

[sergey zhukov]

Я несколько раз слышал, что с формулировкой второго закона термодинамики появилось представление о необратимых процессах, которые детерминированы только в одну сторону по времени, а не в обе, как это было для обратимых процессов. Такая полудетерминированность.

Я правильно понимаю, что, скажем, уравнение теплопроводности никто не запрещает однозначно решать как прямо во времени, так и обратно? Здесь с детерминированностью в математическом смысле все в порядке, вопрос только в устойчивости. Т.е. у конкретной задачи, решаемой обратно во времени, решение единственно, но оно очень сильно зависит от начальных условий.

Но есть и очевидно недетерминированные в обратную сторону процессы. Скажем, игра "Жизнь" необратима, т.к. обратное решение не однозначно.

[пианист]

Обратно получится только на конечное время.

[drzewo]

пианист в сообщении #1684270 писал(а):

Обратно получится только на конечное время.

Это еще и вопрос выбора пространств. Возмите задачу с периодическими гран условиями и распишите по собственным функциям оператора Лапласа решение. Там все довольно наглядно.

поучительный пример

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1650337 писал(а):

Ковалевская придумала пример, который показывает, что если некоторая группа условий ее (а так же Коши и Вейерштрасса) теоремы не выполнены, то и теорема неверна.
То, что я собираюсь рассказать, так или иначе известно.
Пример следующий:

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1+z^2}.\quad t,z\in\mathbb{C}.$$

Ковалевская показала, что не существует голоморфной в нуле пространства $\mathbb{C}^2$ функции $u=u(t,z)$ которая удовлетворяла бы данному уравнению.
Это совершенно естественно, ибо если бы такое решение существовало, то оно было бы определено при некоторых $t<0$. А уравнение теплопроводности назад решать нельзя.
Казалось бы это все. Однако.
Введем банахово пространство

$$X=\Big\{v=\sum_{k=0}^\infty v_kz^k\mid \|v\|=\sup_{k}\{k! |v_k|\}<\infty\Big\}.$$

Это подпространство в пространстве целых функций.
Через $\mathscr H_r$ обозначим подпространство в пространстве
$C^1\big(\{{|t|\le r\}, X\big)$, которое состоит из голоморфных в $\{{|t|< r\}$ функций.

Теорема. При любом $r>0$ задача Коши

$$u_t=u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\hat u\in X$$

имеет и при том единственное решение в $\mathscr H_r$ (на самом деле единственное в гораздо более широком классе функций) .
Более того, это решение непрерывно зависит от начального условия.

А сама теорема доказывается с помощью принципа сжатых отображений. Что уже совсем неприлично.

[sergey zhukov]

пианист
А чем определяется это время? Решение становится сингулярным или неоднозначным за пределами этого времени? Или решение просто становится настолько диким, что никакого смысла такое обращение практически уже не имеет?

drzewo
"Собственные функции оператора Лапласа" мне еще нужно изучить.

[dsge]

sergey zhukov в сообщении #1684269 писал(а):

Т.е. у конкретной задачи, решаемой обратно во времени, решение единственно, но оно очень сильно зависит от начальных условий.

Для "большинства" начальных условий в $L_2$ обратного решения не существует. Для "тощего" множества начальных условий, соответствующих, например, конечному числу гармоник, обратное решение существует, останется на конечномерном подпространстве, но будет экспоненциально расти со скоростью, равной модулю собственного значения, соответствующего наибольшей гармонике.

PS. Выше под спойлером у drzewo это строже объяснено.

[sergey zhukov]

dsge
А, так это немного не то. Тут имеется ввиду, как я понял, что если в задаче теплопроводности задать какие-то произвольные начальные условия, то окажется, что они не могут иметь "предыстории" (состояние "Эдемского сада" в игре "Жизнь"). Т.е. если начальные условия не являются решением некоторой прямой задачи, то и обратная задача с такими условиями и не может быть, вообще говоря, решена.

Скажем, если взять начальные условия типа "ступенька" для одномерного уравнения теплопроводности, то никакого обратного решения найти невозможно. Если же решить уравнение теплопроводности со "ступеньки" вперед, а затем, начиная с конечного временного слоя, начать решать уравнение теплопроводности обратно во времени, то дальше этой "ступеньки" назад не продвинешься. (Кажется, я понял, в чем проблема с обратным решением уравнения теплопроводности "Только на конечное время назад").

Я имел ввиду, что мы берем не произвольные начальные условия, а начальные условия, которые, конечно, являются решением прямой задачи.

Получается, что утверждение "Уравнение теплопроводности в общем случае не имеет решений в прошлое" не означает, что второй закон термодинамики означает отсутствие детерминированности в прошлое таких процессов, как теплопроводность, т.к. реально (при попытке обратить расчет текущей ситуации в прошлое) мы всегда начинаем решать обратную (во времени) задачу теплопроводности именно с таких начальных условий, которые заведомо имеют обратное решение.

[dsge]

dsge в сообщении #1684274 писал(а):

Для "тощего" множества начальных условий, соответствующих, например, конечному числу гармоник, обратное решение существует

«Например» надо убрать, только для этого случая можно продолжить решение обратно до $-\infty$.

[Red_Herring]

sergey zhukov в сообщении #1684269 писал(а):

Т.е. у конкретной задачи, решаемой обратно во времени, решение единственно, но оно очень сильно зависит от начальных условий.

Если говорить об уравнении теплопроводности во всем пространстве, то
1) Без условий на бесконечности решение неединственно
2) Если решать в сторону отрицательного времени то для подавляющего большинства начальных функций (даже из $C^\infty$) решение не существует ни на каком интервале.

Возьмите учебник по УЧП.

[dsge]

sergey zhukov
Вы про уравнения на компактных областях или нет?

[sergey zhukov]

Ладно, всем спасибо. Я вроде понял, в чем тут дело.

[Red_Herring]

dsge в сообщении #1684278 писал(а):

«Например» надо убрать, только для этого случая можно продолжить решение обратно до $-\infty$.

Не только: если имеется бесконечное число гармоник, но коэффициенты убывают быстрее $e^{-Cn^2}$ для любого $C$, то тоже решение будет для всех отрицательных $t$.

[dsge]

Red_Herring в сообщении #1684293 писал(а):

dsge в сообщении #1684278 писал(а):

«Например» надо убрать, только для этого случая можно продолжить решение обратно до $-\infty$.

Не только: если имеется бесконечное число гармоник, но коэффициенты убывают быстрее $e^{-Cn^2}$ для любого $C$, то тоже решение будет для всех отрицательных $t$.

Да, для любого отрицательного $t$ всегда найдется $n$, такой чтобы модуль степени был больше модуля $t$ для всех $n_1 > n$. Сначала правильно написал. И рaсти такие решения уже будут не экспоненциально.

[sergey zhukov]

Знаете, есть такие алгоритмы деконволюции вроде восстановления резкости размытого изображения. Это по сути и есть решение задачи диффузии обратно во времени. Эти алгоритмы без проблем позволяют увеличивать резкость изображения даже сверх той, что была изначально, т.е. спокойно могут сделать изображение "резче оригинала", продлить решение за пределы начальных условий прямой задачи. Мне и показалось, что проблем вроде никаких тут быть не должно.

Это, видимо, как раз оттого, что они работают на дискретных сетках, т.е. решение имеет конечное число гармоник ряда Фурье.

[Alex Krylov]

Выше уже говорилось о более ""тощем" множестве начальных условий", которое необходимо для обеспечения сходимости ряда Фурье или для обеспечения существования интеграла Фурье. Ну и для задачи "восстановления резкости размытого изображения" выбор ""тощего" множества" в виде спектрально ограниченных функций выглядит вполне логичным и физичным.

Вот кстати, одно из первых, что выдал гугл при запросе "backward heat equation":
https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/pdectb/backward2.pdf

Но присобачивание к задаче "восстановления резкости размытого изображения" именно обратного уравнения теплопроводности/диффузии выглядит несколько волюнтаристским. Для каждой конкретной задачи у вас на руках должно быть сверточное ядро, с которым осуществляется свертка реконструируемого (в общем случае многомерного) сигнала. Это может быть функция точечного источника оптической схемы, ипульсная характеристика канала связи. Далее в целях регуляризации вы делаете некие предположения относительно структуры и свойств реконструируемого сигнала. Предположение о спектральной ограниченности - одно из таких условий. Конечная цель - свести все к задаче МНК (с ограничениями в явном или неявном виде).

[SergeyGubanov]

sergey zhukov в сообщении #1684364 писал(а):

Эти алгоритмы без проблем позволяют увеличивать резкость изображения даже сверх той, что была изначально, т.е. спокойно могут сделать изображение "резче оригинала", продлить решение за пределы начальных условий прямой задачи.

Я однажды писал свой raw-converter в том числе с усилителем резкости методом этой самой деконволюции. Резкость получалась неимоверно хорошей, но её никак нельзя было усилить еще чуть-чуть выше некоторого предела, так как в этом случе неизбежно получался адски страшный фарш из пикселей.