Уравнение теплопроводности, обращенное во времени

[Alex Krylov]

Цитата:

на руках должно быть сверточное ядро, функция точечного источника оптической схемы

Собственно вот то, о чем я говорил:
https://en.wikipedia.org/wiki/Point_spread_function

Цитата:

Но присобачивание к задаче "восстановления резкости размытого изображения" именно обратного уравнения теплопроводности/диффузии выглядит несколько волюнтаристским.

Осталось соотнести функцию Грина уравнения теплопроводности с PSF

SergeyGubanov

Цитата:

Я однажды писал свой raw-converter в том числе с усилителем резкости методом этой самой деконволюции.

А вы именно обратное уравнение теплопроводности подключали к этой задаче или брали некую модельную PSF и делали деконволюцию непосредственно с ней?

[sergey zhukov]

Alex Krylov
Да понятно, что для задачи "фокусировки горячих точек" на однородной теплопроводной пластине нужно в качестве ядра для конволюции брать гауссиану. Это не то же самое, что в оптике. Но все равно аналогия очень близка.

Так же более-менее понятно, что происходит с обращением уравнения диффузии. Возьмем, например, убывающую экспоненту $f(t)=A^0 _n e^{-\omega_n t}$, где $A^0_n$ - начальная амплитуда $n$-ой гармоники при $t=0$, а $\omega_n$ частота $n$-ой гармоники. Это то, что происходит с амплитудой любой гармоники начальных условий со временем при решении уравнения теплопроводности. Производная есть $f(t)^\prime=-\omega _n A^0 _n e^{-\omega_n t}$.

С ростом $n$ амплитуда $A^0$ в поставленных начальных условиях падает (характер зависимости определяется поставленными начальными условиями), а частота $\omega$ растет.
Если при $n\to \infty$ получается так, что $\omega_n A^0_n \to \infty$ (амплитуды гармоник падают с исходных начальных условиях недостаточно быстро), то производная высших гармоник в точке $t=0$ стремится к $-\infty$ (при этом в точках $t>0$ она уже равна нулю). Поэтому при решении вправо по времени они мгновенно исчезают, а при попытке решения в обратную сторону - мгновенно возрастают до бесконечности.

Однако это все не слишком убедительно с точки зрения пояснения к второму закону. Ясно, что мы на практике всегда имеем дело с такими начальными условиями, которые обратимы, т.к. они не взяты из воздуха, а являются решением прямой задачи. Они никогда не содержат этих безумных гармоник.

[sergey zhukov]

Кстати, вот результат улучшения резкости "лучше оригинала":

Слева исходная не размытая картинка, справа она "восстановлена" (решение обратной диффузии продолжено в область "$t<0$"), а еще левее - снова размыта гауссом (применена обратная операция). Теоретически первая и третья картинка должны совпасть. Из-за обрезания краев области и других конечных вещей они не совсем совпадают.

Поскольку промежуточная картинка должна содержать "черное чернее черного" и "белое белее белого", исходная картинка взята в сжатом диапазоне яркости. А вот в непрерывном случае такое обратное решение, как на центральной картинке, в этом случае не сущствует.

[drzewo]

Что касается процессов детерминированных в одну сторону и не детерминированных в другую, то наиболее, как кажется ,банальный пример -- это системы с сухим трением. Единственность вперед есть, назад -- нет. Спичечный коробок лежит на столе. Мы не можем сказать, лежал ли он тут со вчерашнего дня или его толкнули в это положение из другой точки стола час назад. Поэтому в общей теории динамических систем люди стараются ,насколько это возможно, доказывать теоремы для полупотоков, а не для потоков.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

В получившейся сборной солянке не хватает только запахивания зубной пасты (а лучше клея) обратно в тюбик.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Alex Krylov в сообщении #1684410 писал(а):

А вы именно обратное уравнение теплопроводности подключали к этой задаче или брали некую модельную PSF и делали деконволюцию непосредственно с ней?

Полезным для того случая оказался оператор обратный оператору экспоненциального размытия $K(x, x', y, y') = A \exp \left( - \alpha \sqrt{ (x - x')^2 + (y - y')^2} \right)$. Подозреваю, что это размытие вносил анти-муарный/анти-алиасный фильтр в той камере.

-- 01.05.2025, 01:04 --

(Оффтоп)

sergey zhukov в сообщении #1684454 писал(а):

..."черное чернее черного" и "белое белее белого"...

На самом деле довольно быстро можно догадаться, что перед серьёзным редактированием цифровой фотографии полезно сначала нелинейным (логарифмическим) преобразованием растянуть конечный неаддитивный (нормированный на единицу) яркостный диапазон $(0; 1)$ в бесконечный аддитивный $(-\infty; +\infty)$, совершить там свои чернее-чёрного и белее-белого аддитивные делишки, а затем обратным нелинейным (экспоненциальным) преобразованием загнать результат обратно в диапазон $(0; 1)$.

[sergey zhukov]

drzewo
Да, сухое трение - хороший пример.
Вообще, когда говорят о необратимости диффузии, имеют ввиду, конечно, то же самое: любое начальное состояние "забывается". Т.е. проблема не в том, что обратного решения нет, а в том, что оно не однозначно.
Несуществование обратного решения диффузии для произвольных начальных условий - это другая, параллельная проблема.

[B@R5uk]

sergey zhukov в сообщении #1684269 писал(а):

Я несколько раз слышал, что с формулировкой второго закона термодинамики появилось представление о необратимых процессах, которые детерминированы только в одну сторону по времени, а не в обе, как это было для обратимых процессов. Такая полудетерминированность.

Я правильно понимаю, что, скажем, уравнение теплопроводности никто не запрещает однозначно решать как прямо во времени, так и обратно?..

Во-первых, детерминированность и обратимость — это два совершенно разных зверя. Обратимость физического (химического или какого-либо другого) процесса связана с сохранением энтропии в (замкнутой) системе. Детерминизм в физике означает, что по точно известным начальным условиям системы и зная все физические (и другие) законы в ней действующие, можно точно рассчитать её эволюцию на произвольное время в будущее. Практика показывает, что многие макроскопические процессы с высокой точностью являются детерминированными. Но не все. Некоторые динамические процессы имеют очень большую чувствительность к малейшим флуктуациям в начальных условиях (имеют неустойчивое решение в математическом смысле), а квантовые процессы эти самые флуктуации предоставляют в самом прямом смысле недетерминированно. Так что по большому счёту, в реальном мире ничего строго непредсказуемо, а вся наша жизнь — игра.

Во-вторых, термодинамическая обратимость или необратимость физических процессов представляет собой статистический результат для систем с очень большим числом базовых частиц. Для понимания, что происходит, вместо произнесения (с загадочным видом) волшебных слов "энтропия не уменьшается", лучше рассмотреть вот такой простой эксперимент. У вас есть колбочка (объёмом более 1 см³) с вакуумом внутри. Вы приносите её в комнату с нормальными атмосферными условиями и открываете крышку/пробку. Колбочка наполняется воздухом (очевидно), вакуум пропадает. Теперь внимание (!!!), теоретически существует ненулевая вероятность того, что если вы подождёте, то все молекулы воздуха внутри колбочки случайно ВДРУГ так удачно столкнутся, что вылетят из неё, а новые молекулы не залетят. Поймав этот момент (используя, например, находящихся внутри колбочки барометр) вы закрываете крышку, и, если барометр продолжит показывать значение давления вблизи нуля, то получится, что вы обратили процесс наполнения колбочки воздухом. Однако, вероятность этого на столько мала, что даже подождав до окончания жизни вселенной, вы, скорее всего, такого события не дождётесь. Причина: неимоверно огромное количество молекул в 1 см³ воздуха. Процесс наполнения колбочки статистически необратим.

Далее, вот вы пытаетесь решать уравнение теплопроводности в обратную сторону, чтобы узнать предысторию системы. Оставим пока за рамками вопрос, делаете ли вы это правильно (у меня есть сомнения: скорее всего вы забыли применить регуляризацию к некорректно поставленной задаче), и рассмотрим следующие соображения. Вот ваше решение приближается к дельта-образному виду, когда в некоторой очень малой зоне сосредоточена очень большая температура (читай: энергия). Пока даже забудем, что большая температура означает, что материал скорее всего претерпевает фазовые переходы (оставаясь твёрдым, плавясь или сразу переходя в плазму), потому что проблемы начнутся гораздо раньше. Само решение получено для уравнения теплопроводности (запишу его однородный вид для простоты)

$$u_t-a^2\Delta u=0$$

которое выведено в рамках весьма ограниченных условий. В частности, коэффициент температуропроводности в нём считается постоянным и выражается следующим образом:

$$a^2=\frac{\varkappa}{c\rho}$$

Математики любят от него избавляться перенормировкой аргументов искомой функции. Но и теплопроводность, и теплоёмкость, и плотность в правой части этой формулы можно считать постоянными только лишь в очень малом диапазоне температур. Когда мы из него выходим, то они начинают заметно меняться, и уравнение перестаёт быть линейным. Линейное уравнение уравнение теплопроводности — это модель с ограниченной областью применимости. Я удивляюсь, что за несколько дней существования этой темы никто из уважаемых участников не потрудился упомянуть такой важный момент. Так что, если разность температур в решении для разных точек системы становится слишком большой, то пора задуматься о корректности этого решения.

Следующее важное (на мой взгляд) замечание заключается в том, что применимость линейного уравнения теплопроводности (и, как следствия, его решений) пропадает не только при больших разностях температур в изучаемой системе, но и когда градиент температуры выходит за некоторые границы. Другими словами, когда масштаб температурных особенностей становится слишком мелким. Это связано с тем, что функция температуры как функция координат определена во всей области решения лишь в модели. В математическом смысле мы можем взять любую бесконечно малую подобласть и уравнение в ней останется тем же. Но это выдуманная модель, в реальном мире это не так. Если мы возьмём подобласть, в которой нет ни одного атома материала, то чему, спрашивается, назначается температура? Даже значительно большие области, чем размера порядка характерного расстояния между атомами, являются некорректными. Физики выводят уравнение теплопроводности вводя температуру как статистическую функцию для большого ансамбля частиц, усредняя энергию атомов по достаточно приличному объёму. Одному атому, конечно, тоже можно назначить некоторую температуру, но это будет совсем не та температура, которая стоит в уравнении теплопроводности. Так что, когда на температурном рисунке появляются на столько мелкие особенности, что их размер сравним с размером области усреднения при вводе функции температуры, то пора снова задуматься о корректности решения.

Ещё один момент, за который можно поругать стандартное уравнение теплопроводности выше заключается в том, что оно не учитывает конечную скорость распространения температуры в среде. Она ограничена скоростью звука (точнее, скоростью фононов различных частот). Вот мы записали решение в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора Лапласа для начального условия, где температура отлична от нуля лишь в малой ограниченной области, а во всей остальной области равна нулю. Если мы теперь посмотрим на решение в момент времени сразу после начала, то увидим, что решение отлично от нуля во всей рассматриваемой области, что нарушает требование конечности скорости распространения (тепловой) информации в среде. Не смотря на это, физикам обычно такое решение нравится, потому что оно описывает ситуацию в пределах желаемой погрешности. А если же наводить математическую строгость, то надо бы ограниченность скорости тоже как-то учесть.

Когда-то читал замечательную книжку из какой-то серии, где научно-популярно, но в то же время с формулами, рассказывается о природе теплоёмкости под углом рассмотрения, связанным с теорией твёрдого тела: фононы, зоны Бриллюэна, то, как фононы могут друг на друге, а так же на всём остальном рассеиваться. Очень увлекательное и познавательное чтиво, вот только я напрочь забыл название книги и авторов. И доступа к моим схронам в данный момент не имею. Если кто-то читал и вспомнит название, то напишите, пожалуйста. ТС очень советую её прочитать, если ответят, извиняюсь, что не помню названия.

[SergeyGubanov]

B@R5uk, про нефизичность уравнения теплопроводности можно было сказать короче: оно не выводится из принципа наименьшего действия.

Более того, оно выводится как градиентный спуск к минимуму функции энергии, то есть это уравнение наибыстрейшей идеальной диссипации при движении вперёд по времени и уравнение наибыстрейшей идеальной накачки энергии при движении вспять по времени.

$$ E = \frac{1}{2} \int \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \sqrt{\gamma} d_3 x $$

$$ \frac{dE}{dt} = \int \gamma^{i j} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right) \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \sqrt{\gamma} d_3 x = $$

$$ = - \int \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \frac{du}{dt} \sqrt{\gamma}d_3 x = $$

$$ = - \int \left[ \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \right]^2 \sqrt{\gamma}d_3 x \le 0. $$

Градиентный спуск (идеальная диссипация энергии):

$$ \frac{du}{dt} = \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right), \qquad \frac{dE}{dt} \le 0. $$

Градиентный подъём (идеальная накачка энергии):

$$ \frac{du}{dt} = - \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right), \qquad \frac{dE}{dt} \ge 0. $$

[drzewo]

Вот эти спекуляции все: принципа наименьшего действия нет, поэтому нефизично, возмущение мгновенно распространяется поэтому нефизично. Смешно это все. Вот тысячезвенный маятник висит в поле силы тяжести. Стукаем слегка по последнему звену. Все звенья приходят в движение сразу-- мгновенно распространяется возмущение. И принцип наименьшего действия есть. Дальше что? Ньютонову механику отменим?

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1684911 писал(а):

Вот эти спекуляции все: принципа наименьшего действия нет, поэтому нефизично, возмущение мгновенно распространяется поэтому нефизично

Школа танцев Соломона Пляра, примерно так писал(а):

Это нефизично, негигиенично,
И несимпатично, вам говорят.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1684911 писал(а):

Вот тысячезвенный маятник висит в поле силы тяжести. Стукаем слегка по последнему звену. Все звенья приходят в движение сразу-- мгновенно распространяется возмущение.

В математике - да, а в физике таки нет.

Иными словами, для ответа на вопрос про скорость распространения возмущения данная модель слишком груба.

-- 04.05.2025, 10:17 --

drzewo в сообщении #1684911 писал(а):

Дальше что? Ньютонову механику отменим?

Зачем? В физике каждая модель имеет свои области применимости. В пределах границ применимости модель достаточно точна, вне границ применимости недостаточна. В своей области применимости ньютоновская механика хороша. Но про границы применимости моделей и про их возможные погрешности каждый физик должен знать.

-- 04.05.2025, 10:21 --

B@R5uk,
очень хорошо написано про то, про что многие профессиональные математики видимо просто не догадываются.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1684926 писал(а):

про что многие профессиональные математики видимо просто не догадываются.

Цитата:

Пускай же говорят собаки:
«Ай, Моська! знать она сильна,
Что лает на Слона!»

[realeugene]

Red_Herring
При всём уважении должен заметить, что это нормально и естественно плохо разбираться в вопросах вне своей профессиональной области. Ни один человек не может знать всё. Плохо быть уверенным в том, что разбираешься, на самом деле путаясь в вопросах, наивных с точки зрения профессионалов в той области. Это мешает учиться новому.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1684930 писал(а):

должен заметить, что это нормально и естественно плохо разбираться в вопросах вне своей профессиональной области

Я не знаю, какая у вас профессиональная область, но это явно не математика. И мой совет: бросьте свои фантазии про математику и математиков.