Уравнение теплопроводности, обращенное во времени

[Red_Herring]

B@R5uk в сообщении #1685015 писал(а):

самому бы хотелось увидеть, как выглядит вариант, учитывающий скорость звука.

Мне такой вариант никогда не попадался и в любом случае он весьма экзотичен. Но даже в простейшем нелинейном варианте $c\rho$ и $k$ разделены.

[Alex Krylov]

Если кого-то интересует именно деконволюция/обратные задачи/регуляризация, то можно еще упомянуть вот это:

https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution

и вот эту книжку

Richard C. Aster, Brian Borchers, and Clifford H. Thurber, Parameter Estimation and Inverse Problems, Elsevier, 2005
(обратите внимание на главу 11, там дается байесовская трактовка "регуляризации", в частности "тихоновского члена")

[SergeyGubanov]

Red_Herring в сообщении #1685030 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1685015 писал(а):

самому бы хотелось увидеть, как выглядит вариант, учитывающий скорость звука.

Мне такой вариант никогда не попадался и в любом случае он весьма экзотичен.

Следующая по "уровню физичности" модель устроена сильно сложнее. По меньшей мере придётся рассмотреть фононное поле в кристалле как-то худо-бедно взаимодействующее с электромагнитным полем. Возбуждения фононного поля (распространяющиеся со скоростью звука) приводят к излучению электромагнитных волн которые уносят энергию и кристалл остывает.

[Red_Herring]

SergeyGubanov в сообщении #1685052 писал(а):

Следующая по "уровню физичности" модель устроена сильно сложнее. По меньшей мере придётся рассмотреть фононное поле в кристалле как-то худо-бедно взаимодействующее с электромагнитным полем. Возбуждения фононного поля (распространяющиеся со скоростью звука) приводят к излучению электромагнитных волн которые уносят энергию и кристалл остывает.

Там много уровней: неоднородные среды, анизотропные среды, уравнения в потоках жидкости и газа и т.д. Причем все эти обобщения реально необходимы в реальных задачах. Кроме того, уравнение теплопроводности на простейшем уровне совпадает с уравнением диффузии, а вот дальше начинаются различия.

Я подозреваю, что предложенный вами "уровень физичности" нужен только для того, чтобы заменить изучение задачи рукомаханием и плясками с бубном. Это хорошо для книг из серии "современная физика для младших школьников", но не для монографий, не говоря уже об университетских учебниках.

[пианист]

B@R5uk в сообщении #1685015 писал(а):

как выглядит вариант, учитывающий скорость звука

Изучался вариант для случая больших значений градиента температуры, когда закон Фурье приводит к бессмысленно большому значению потока тепла (плазма).
Вместо закона Фурье использовали уточненное соотношение
$W + \tau W_t = - k\operatorname{grad} T$

[B@R5uk]

О! пианист, спасибо!

Я так понимаю, буквой W здесь обозначен вектор потока тепла? А дополнительное слагаемое с производной по времени и временной константой является неким "релаксационным членом"? Потому что при отсутствии градиента температуры (за счёт, например, выравнивания температуры тела с термостатом) любое начальное возмущение в потоке тепла будет экспоненциально затухать (релаксировать) с этой самой временной константой. Если я правильно понимаю, идея этой добавки — учесть инерционность (читай: наличие ненулевой массы) носителей тепла. То есть, тот факт, что они не могут разгоняться до скорости, требуемой градиентом температуры, мгновенно.

Я правильно понимаю, что это в некотором роде волюнтаристская добавка? То есть, с одной стороны хочется получить следующее по степени точности приближение решений к реальности, а с другой — не хочется платить за это трудоёмкими формулами. Добавление релаксационного члена решает обе эти проблемы: инерционность учитывается, а уравнение усложняется не на много. Оно остаётся линейным, поэтому мощнейший математический аппарат решения ДУ применим в полной мере, увеличивается лишь степень производной по времени с 1 до 2. В этом случае, правда, остаётся открытым вопрос об области его применимости.

Если я всё правильно понял, то это проливает для меня свет на ситуацию. Ещё раз спасибо.

drzewo в сообщении #1685025 писал(а):

Вы слишком многословны.

Ну дык это ж раздел "Помогите решить и разобраться"! Чётко и ясно выражая свои мысли, я не только помогаю следующему человеку, заинтересовавшемуся обсуждаемым вопросом, вникнуть в суть дела, но и предоставляю возможность более опытным участникам форума поправить меня в случае, если я не прав. Это навеяно в первую очередь эгоистическим желанием уменьшить мою безграмотность и увеличить уровень знаний. Как говорил наш лектор по матану, хочешь хорошо понять вопрос — попробуй объяснить его первому попавшемуся солдату.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1684911 писал(а):

Вот эти спекуляции все: принципа наименьшего действия нет, поэтому нефизично, возмущение мгновенно распространяется поэтому нефизично. Смешно это все. Вот тысячезвенный маятник висит в поле силы тяжести. Стукаем слегка по последнему звену.

drzewo в сообщении #1685025 писал(а):

Конечно, когда я говорю про мгновенную передачу возмущения речь идет о математической модели.

ОК

[Red_Herring]

B@R5uk в сообщении #1685067 писал(а):

Ну дык это ж раздел "Помогите решить и разобраться"! Чётко и ясно выражая свои мысли,

Это не называется "разобраться", это называется "заболтать". Человек, который реально хочет разобраться, скомбинировал бы модифицированный "закон Фурье" и закон сохранения энергии $E_t + \nabla \cdot W=0$, $E_t= c T_t$ и вывел бы (или хотя бы попробовал) УЧП, которое было второго порядка по всем переменным, убедился бы что при $\tau >0$ оно гиперболическое и нашел бы "световой конус" и скорость распространения возмущений. И только после этого начал бы задавать вопросы, если б они оставались.

[пианист]

B@R5uk в сообщении #1685067 писал(а):

Я правильно понимаю, что это в некотором роде волюнтаристская добавка?

Если я правильно понял вопрос, и насколько я помню, нет. Как и закон Фурье, соотношение с релаксацией можно получить из МКТ. Если интересно, посмотрите Коляно, Подстригач "Обобщенная термомеханика", в сети есть.

[SergeyGubanov]

Red_Herring в сообщении #1685055 писал(а):

Я подозреваю, что предложенный вами "уровень физичности" нужен только для того, чтобы заменить изучение задачи рукомаханием и плясками с бубном.

Нужен для того чтобы на задачу из области математической физики посмотреть с точки зрения задачи из области теоретической физики.

В задаче математической физики диссипация энергии описывается феноменологически. А в простейшей детсадовской задаче теоретической физики предлагается посмотреть на конкретную модель диссипации тепла как излучение электромагнитных волн.

Уравнения поля Максвелла и уравнения фононного поля выводятся из принципа наименьшего действия, то есть никакой диссипации феноменологически в них не заложено, диссипация тепла возникает как решение полевых уравнений при определённых начальных и граничных условиях.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Статистический характер второго закона мне понятен. Разные допущения, связанные с описанием задачи теплопроводности при помощи уравнения $u_t=u_{xx}$ тоже ясны. Я до конца не понял математические вещи.

Обратная задача является корректной, если решение:

1. Существует;
2. Единственно;
3. Устойчиво.

Ясно, что для обратной задачи диффузии решение не всегда существует (скажем, для начальных условий типа "ступенька"). Так же ясно, что решение не устойчиво (высокочастотные гармоники растут очень быстро). Но вот насчет единственности я так и не понял. Из того, что энтропия при диффузии возрастает, вроде бы следует, что обратное решение не единственно.

С одной стороны ясно, что, скажем, "горячая точка" (не дельта-функция, а просто точка с отличной температурой), добавленная в начальные условия, должна мгновенно и без следа исчезнуть в процессе диффузии, т.е. при обратном решении нет однозначности, т.к. в полученное решение всегда можно добавить сколько угодно "горячих и холодных точек".

С другой стороны, как-то трудно представить такие начальные условия, начиная с которых процесс диффузии достигает равновесного состояния за конечное время ("коробок останавливается из-за сухого трения за конечное время"). Если бы такие начальные условия были возможны, то обратная задача диффузии совершенно явно не имела бы однозначного решения, т.к. из равновесных условий могло бы в любой момент начаться "обратное движение коробка".

Такие начальные условия вроде бы не выглядят невозможными (математически, конечно. Если они и возможны, то какие-то "паталогические"). Это какой-то бесконечный набор бесконечно малых пространственных гармоник бесконечно высокой пространственной частоты, что-то такое. Например, какой-то меандр или треугольная волна, бесконечно сжатые по $x$.

Или все же обратная задача диффузии имеет однозначное решение?

[B@R5uk]

sergey zhukov в сообщении #1685112 писал(а):

как-то трудно представить такие начальные условия, начиная с которых процесс диффузии достигает равновесного состояния за конечное время ("коробок останавливается из-за сухого трения за конечное время").

Ну как раз за счёт экспоненциального затухания членов ряда Фурье равновесие достигается очень быстро. Это просто экспоненциальная релаксация. Если задаться точностью измерения температуры, мельче которой считаем, что изменения в рисунке температуры остановились, то время до этого "останова" как раз будет константой, пропорциональной логарифму точности и временному параметру под самой "медленной" экспонентой ряда.

sergey zhukov в сообщении #1685112 писал(а):

Но вот насчет единственности я так и не понял.

Единственность, на мой взгляд, тут завязана на устойчивость. Амплитуда всех членов ряда при решении в обратную сторону будет расти экспоненциально, причём тем быстрее, чем выше частота "гармоники" ряда. Каждый раз, когда вы пытаетесь на компьютере посчитать обратную задачу, вам придётся либо обрезать высокочастотные гармоники, либо как-то регуляризировать рост их амплитуды (исходя из некой априорной информации), либо останавливаться значительно раньше, чем хотелось бы при достижении неразумных амплитуд. Скорее всего, что и то, и другое, и третье. Отбрасывание высокочастотных гармоник и/или регуляризацию их амплитуд можно рассматривать как потерю информации, что означает, что восстановить исходное состояние во всех мелких деталях невозможно: обратное решение "неоднозначно". А по прошествии достаточного количества времени, в практическом смысле из рисунка исчезнет вся информация о начальном состоянии: рисунок будет определяться только граничными условиями и распределением источников и приёмников тепла.

Кроме того, амплитуды высокочастотных гармоник, будучи очень малыми в исходном температурном рисунке обратной задачи, будут содержать высокий шум округления, если вычисления делаются численно. Это будет ещё одной практической причиной потери полезной информации: начальное состояние будет известно с недостаточной практической точностью. Это как попытка увеличить яркость сжатой jpeg'ом фотографии, сделанной ночью: вместо интересующей картинки проявятся артефакты сжатия и шумы матрицы. Если же заранее известно, что данные точные (как с рисунком, что вы приводили ранее), то в таком случае, задача, как правило, будет некорректно поставленной.

[SergeyGubanov]

пианист в сообщении #1685093 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1685067 писал(а):

Я правильно понимаю, что это в некотором роде волюнтаристская добавка?

Если я правильно понял вопрос, и насколько я помню, нет. Как и закон Фурье, соотношение с релаксацией можно получить из МКТ. Если интересно, посмотрите Коляно, Подстригач "Обобщенная термомеханика", в сети есть.

Это по-прежнему всё та же самая модель идеальной диссипации -- всё тот же самый градиентный спуск к минимуму функции энергии, только теперь в функцию энергии добавлена вторая производная по времени.

$$ E = \frac{1}{2} \int \left( \left( \tau \frac{\partial u}{\partial t} \right)^2 + \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x $$

$$ \frac{dE}{dt} = \int \left( \tau^2 \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \gamma^{i j} \left( \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right) \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x = $$

$$ = \int \left( \tau^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \right) \frac{\partial u}{\partial t} \sqrt{\gamma}d_3 x = $$

$$ = - \kappa \int \left[ \tau^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \right]^2 \sqrt{\gamma}d_3 x \le 0. $$

Уравнение градиентного спуска к минимуму энергии (уравнение идеальной диссипации):

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \left( \tau^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \right), \qquad \frac{dE}{dt} \le 0. $$

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1684269 писал(а):

Я несколько раз слышал, что с формулировкой второго закона термодинамики появилось представление о необратимых процессах, которые детерминированы только в одну сторону по времени, а не в обе, как это было для обратимых процессов. Такая полудетерминированность.

Необратимость по времени - это довольно простая вещь, если рассмотреть её в дискретном времени. В таком случае, если в момент $t_i$ состояние системы $s(t_i)$, то прямая динамика определяется функцией $F:s(t_i) \mapsto s(t_{i+1})$. Если эта функция биективна, то существует обратная функция $F^{-1}:s(t_{i+1}) \mapsto s(t_i)$, которая определяет обратную по времени динамику. Если же не биективна, значит при попытке определить обратную по времени динамику найдутся состояния, для которых однозначно определить предшествующее не получится.

С уравнением теплопроводности всё так и есть.

[sergey zhukov]

epros
С дискретным временем и соответствующим преобразованием все с необратимостью понятно. Например, как в игре "Жизнь". А в непрерывном случае все как-то сложнее, менее очевидно.

Ну ладно. Я вроде понял, что в непрерывном случае тот же принцип, только его сложнее продемонстрировать. Придется какой-нибудь "$\varepsilon-\sigma$" язык использовать.