2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 16:20 
Аватара пользователя


26/05/12
1868
приходит весна?
Ну, если пошла такая пляска, то стохастический процесс распада радиоактивного элемента можно привести как вариант "обратного решения" для неподвижного спичечного коробка. Лежал-лежал, а потом поехал распался. Другими словами, неоднозначность компенсируется недетерминизмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 16:22 


21/12/16
1563
Если говорить с общих позиций, динамическая система -- это полугруппа $S^t:X\to X,\quad t\ge 0$. $X$ -- фазовое пространство.
Возможны следующие случаи
1) для каждого $t>0 $
$S^t$ -- инъекция, но не сюръекция -- случай уравнения теплопроводности
2) для некоторых (или для всех) $t>0$
$S^t$ -- не является инъекцией, склеивает точки -- единственность вперед есть, назад -- нет (системы с сухим трением)
3) $S^t$ -- биекция -- типично для конечномерных гладких динамических систем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 17:02 


17/10/16
5366
B@R5uk
Почему бы и не рассматривать радиоактивный распад, как процесс, однозначный в обратном направлении, но не однозначный в прямом? Я так понимаю, что детерминизм отсутстует в том временном направлении, в котором у нас присутствует неоднозначность решения. Т.е. вполне могут быть системы, детерминированные в прошлое, но не детерминированные в будущее. И наоборот.

drzewo
Получается, что обратное сухое трение и обратная диффузия все же не аналогичны. Первое имеет много обратных решений, а второе не имеет ни одного (в общем случае).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 17:15 
Аватара пользователя


14/11/12
1394
Россия, Нижний Новгород

(Оффтоп)

Кроме второй производной по времени в уравнение теплопроводности ещё можно поле скоростей добавить. Такое уравнение выводится как градиентный спуск для следующего функционала энергии:
$$
E = \frac{1}{2} \int \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 +  \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 19:52 
Аватара пользователя


14/11/12
1394
Россия, Нижний Новгород

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #1685138 писал(а):
Кроме второй производной по времени в уравнение теплопроводности ещё можно поле скоростей добавить. Такое уравнение выводится как градиентный спуск для следующего функционала энергии:
$$
E = \frac{1}{2} \int \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 +  \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x.
$$
Отвечаю на немой вопрос как же это вывести :D.

Потребуется Гамильтониан.
$$
S = \int L \, d_3 x \, dt,
\qquad
L = \frac{1}{2} \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 -  \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma}.
$$
$$
p = \frac{\partial L}{\partial \frac{\partial u}{\partial t}} = \tau^2 \sqrt{\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right).
$$
$$
H = \int \left( p \frac{\partial u}{\partial t} - L \right) d_3 x = 
\int \left(  \frac{p^2}{2\tau^2\sqrt{\gamma}}
+ p V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}}
+ \frac{1}{2} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \sqrt{\gamma} \right) d_3 x.
$$
$$
\sqrt{\gamma} \frac{\delta H}{\delta p} = \frac{p}{\tau^2 \sqrt{\gamma} } +  V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}},
$$
$$
\sqrt{\gamma} \frac{\delta H}{\delta u} = - \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( p V^i \right) -  \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right).
$$
$$
\frac{d H}{dt} = \frac{\delta H}{\delta p} \frac{d p}{dt} + \frac{\delta H}{\delta u} \frac{d u}{dt}.
$$
Согласно уравнениям Гамильтона было бы вот так:
$$
\frac{d p}{dt} = \frac{\delta H}{\delta u},
$$$$
\frac{d u}{dt} = - \frac{\delta H}{\delta p},
$$$$
\frac{d H}{dt} = 0.
$$
Но у нас сейчас не Гамильтонова механика, а градиентный спуск, поэтому всё наоборот -- движемся против градиента Гамильтониана. Итого, уравнение градиентного спуска (идеальной диссипации):
$$
\frac{d p}{dt} = - \kappa_p \frac{\delta H}{\delta p},
$$$$
\frac{d u}{dt} = - \kappa_u \frac{\delta H}{\delta u},
$$$$
\frac{d H}{dt} = - \kappa_p \left(  \frac{\delta H}{\delta p} \right)^2 - \kappa_u \left(  \frac{\delta H}{\delta u} \right)^2 \le 0.
$$
Хотя, лучше наверное сделать смесь Гамильтонового движения и диссипативного:
$$
\frac{d p}{dt} = \frac{\delta H}{\delta u} - \kappa_p \frac{\delta H}{\delta p},
$$$$
\frac{d u}{dt} = - \frac{\delta H}{\delta p} - \kappa_u \frac{\delta H}{\delta u}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение теплопроводности, обращенное во времени
Сообщение05.05.2025, 23:41 


27/08/16
11860
sergey zhukov в сообщении #1685136 писал(а):
Почему бы и не рассматривать радиоактивный распад, как процесс, однозначный в обратном направлении, но не однозначный в прямом?
Проектирование необратимо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group