Уравнение теплопроводности, обращенное во времени

[B@R5uk]

Ну, если пошла такая пляска, то стохастический процесс распада радиоактивного элемента можно привести как вариант "обратного решения" для неподвижного спичечного коробка. Лежал-лежал, а потом поехал распался. Другими словами, неоднозначность компенсируется недетерминизмом.

[drzewo]

Если говорить с общих позиций, динамическая система -- это полугруппа $S^t:X\to X,\quad t\ge 0$. $X$ -- фазовое пространство.
Возможны следующие случаи
1) для каждого $t>0 $
$S^t$ -- инъекция, но не сюръекция -- случай уравнения теплопроводности
2) для некоторых (или для всех) $t>0$
$S^t$ -- не является инъекцией, склеивает точки -- единственность вперед есть, назад -- нет (системы с сухим трением)
3) $S^t$ -- биекция -- типично для конечномерных гладких динамических систем.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Почему бы и не рассматривать радиоактивный распад, как процесс, однозначный в обратном направлении, но не однозначный в прямом? Я так понимаю, что детерминизм отсутстует в том временном направлении, в котором у нас присутствует неоднозначность решения. Т.е. вполне могут быть системы, детерминированные в прошлое, но не детерминированные в будущее. И наоборот.

drzewo
Получается, что обратное сухое трение и обратная диффузия все же не аналогичны. Первое имеет много обратных решений, а второе не имеет ни одного (в общем случае).

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Кроме второй производной по времени в уравнение теплопроводности ещё можно поле скоростей добавить. Такое уравнение выводится как градиентный спуск для следующего функционала энергии:

$$ E = \frac{1}{2} \int \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 + \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x. $$

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

SergeyGubanov в сообщении #1685138 писал(а):

Кроме второй производной по времени в уравнение теплопроводности ещё можно поле скоростей добавить. Такое уравнение выводится как градиентный спуск для следующего функционала энергии:

$$ E = \frac{1}{2} \int \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 + \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma} d_3 x. $$

Отвечаю на немой вопрос как же это вывести .

Потребуется Гамильтониан.

$$ S = \int L \, d_3 x \, dt, \qquad L = \frac{1}{2} \left( \tau^2 \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right)^2 - \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right) \sqrt{\gamma}. $$

$$ p = \frac{\partial L}{\partial \frac{\partial u}{\partial t}} = \tau^2 \sqrt{\gamma} \left( \frac{\partial u}{\partial t} - V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \right). $$

$$ H = \int \left( p \frac{\partial u}{\partial t} - L \right) d_3 x = \int \left( \frac{p^2}{2\tau^2\sqrt{\gamma}} + p V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}} + \frac{1}{2} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{i}} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \sqrt{\gamma} \right) d_3 x. $$

$$ \sqrt{\gamma} \frac{\delta H}{\delta p} = \frac{p}{\tau^2 \sqrt{\gamma} } + V^i \frac{\partial u}{\partial x^{i}}, $$

$$ \sqrt{\gamma} \frac{\delta H}{\delta u} = - \frac{\partial }{\partial x^{i}} \left( p V^i \right) - \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left( \sqrt{\gamma} \gamma^{i j} \frac{\partial u}{\partial x^{j}} \right). $$

$$ \frac{d H}{dt} = \frac{\delta H}{\delta p} \frac{d p}{dt} + \frac{\delta H}{\delta u} \frac{d u}{dt}. $$

Согласно уравнениям Гамильтона было бы вот так:

$$ \frac{d p}{dt} = \frac{\delta H}{\delta u}, $$

$$ \frac{d u}{dt} = - \frac{\delta H}{\delta p}, $$

$$ \frac{d H}{dt} = 0. $$

Но у нас сейчас не Гамильтонова механика, а градиентный спуск, поэтому всё наоборот -- движемся против градиента Гамильтониана. Итого, уравнение градиентного спуска (идеальной диссипации):

$$ \frac{d p}{dt} = - \kappa_p \frac{\delta H}{\delta p}, $$

$$ \frac{d u}{dt} = - \kappa_u \frac{\delta H}{\delta u}, $$

$$ \frac{d H}{dt} = - \kappa_p \left( \frac{\delta H}{\delta p} \right)^2 - \kappa_u \left( \frac{\delta H}{\delta u} \right)^2 \le 0. $$

Хотя, лучше наверное сделать смесь Гамильтонового движения и диссипативного:

$$ \frac{d p}{dt} = \frac{\delta H}{\delta u} - \kappa_p \frac{\delta H}{\delta p}, $$

$$ \frac{d u}{dt} = - \frac{\delta H}{\delta p} - \kappa_u \frac{\delta H}{\delta u}. $$

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1685136 писал(а):

Почему бы и не рассматривать радиоактивный распад, как процесс, однозначный в обратном направлении, но не однозначный в прямом?

Проектирование необратимо.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Прошу прощения, я перепутал знаки, должно быть так:

$$\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\delta H}{\delta u} - \kappa_{p} \frac{\delta H}{\delta p}, $$

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\delta H}{\delta p} - \kappa_{u} \frac{\delta H}{\delta u}. $$

При этом, вариация Гамильтониана:

$$ \delta H = \int \left( \frac{\delta H}{\delta p} \delta p + \frac{\delta H}{\delta u} \delta u \right) d_3 x, \qquad \delta p = \frac{\partial p}{\partial t} \delta t, \quad \delta u = \frac{\partial u}{\partial t} \delta t, $$

$$ \delta H = - \int \left( \kappa_{p} \left( \frac{\delta H}{\delta p} \right)^2 + \kappa_{u} \left( \frac{\delta H}{\delta u} \right)^2 \right) \delta t \, d_3 x, $$

$$ \frac{\delta H}{\delta t} \le 0. $$