Функция от чего-то (и возможно, кое-что еще) - и само это чего-то, не одно и то же. Интервал - скаляр. Метрика - тензор.
В этом месте существует омонимия. Метрика в метрическом пространстве - это функция расстояния на парах точек с некоторыми аксиоматическими свойствами расстояния. Ещё словом "метрика" называют метрический тензор на дифференцируемом многообразии, через который однозначно выражается метрика там в смысле расстояния. Говоря "метрика" я в этой теме имею в виду функцию расстояния, то есть, интервала, а не (псевдо)метрический тензор.
Функция, по определению, это множество пар точек из области определения и области значения, в котором каждая точка из области определения встречается ровно один раз. В случае метрики как расстояния, область определения метрики - это пары близких точек многообразия, область значения - интервал между ними. Это не совсем строго, предельные переходы к касательным пространствам опустим сейчас, тут раздел физики, а не математики, и все бесконечно малые - это просто "достаточно малые", но конечные величины.
Так вот, если интервал между близкими точками имеет определённую не зависящую ни от чего величину для любых пар близких точек, то тем самым и определена функция расстояния между близкими точками на всём многообразии, то есть, метрика. Это одно и то же, по определению. Один из способов определить эту функцию метрики - задать метрический тензор.
Метрика в смысле расстояния - это и не скаляр, и не тензор. Не скаляр, так как скаляры - это только значения функции метрики. Не тензор, потому что расстояние - функция нелинейная, и линейной она становится только вдоль заданного направления (при достаточно малых расстояниях).
-- 19.12.2024, 11:34 --В том смысле, в котором понятие "стандартных часов" употребляется в обсуждений СТО/ОТО - все стандартные часы насчет своей функции своей (измерения времени) - совершенно одинаковы.
Поэтому и не приходится уточнять про то как эти "стандартные часы" реализованы - о кварцевых, цезиевых часов или будильников идет речь - про их производственных допусков/отклонений от точности - про внешних условий применения в которых эта точность соблюдается для соответных реализаций (давление, магнитные поля, тряски, заржавели ли) и т.д.
Спасибо, я сам подразумевал нечто более сложное, но раз такое ваше определение - буду пользоваться им.
Я отвечаю по мере возможности, поэтому, возможно ответ будет всё ещё не полным.
Итак, у вас стандартные часы - это даже не какой-то динамический процесс, так как любой динамический процесс измерения обладает ограниченной точностью. Тот же цезиевый эталон имеет некоторую конечную точность уже в силу неопределённости энергии перехода при конечном времени измерения. Ваше утверждение про стандартные часы эквивалентно тому, что время - это физическая величина, у которой есть некоторый эталон её единицы измерения.
В чём разница между самой физической величиной и единицами измерения? Обычно предполагается, что физическая величина имеет определённое значение из некоторого множества значений, которое можно выразить численно, сравнив её с некоторым эталоном этой единицы измерения - определённым значением физической величины из её домена. При замене единиц измерения изменяется численное выражение величины, но не сама физическая величина. Принято считать, что расстояние от Петербурга до Москвы одно и то же, будучи выражено как в километрах, так и в милях. Наверное, это всё можно строго формализовать, не сейчас точно не нужно.
Так вот, несмотря на то, что численное значение физвеличины зависит от эталона единицы измерения, отношение двух значений физвеличины от единицы измерения не зависит (если нуль общий, что для интервалов выполняется). Эталон единицы измерения - это просто определённое выбранное значение физвеличины, на которое делят любое другое значение величины, чтобы получить её численное выражение.
Возвращаясь к метрике. Интервал между парой событий - это физвеличина, а ваши стандартные часы - это эталон секунды. В качестве эталона секунды может быть выбран интервал между некоторыми заданными событиями во Вселенной, не важно. Важно, что отношение любых двух интервалов во Вселенной не зависит от единиц измерения интервала, то есть, от ваших стандартных часов. Потому что метрика - это определённая функция расстояния, область значения которой - скаларный интервал как физвеличина. Но если вы выбрали единицу измерения времени, задав два события во Вселенной с определённым интервалом между ними, находящиеся на интервале будь то секунда или световой метр, вы можете любой интервал выразить численно в этих единицах измерения времени. Сказав, что вы запустили вдоль мировой линии ваши эталонные часы, и они показали вам определённое число.
Именно в этом смысле метрика и определяет ход любых часов.
чтоб учесть выбора единиц).
на их мировой, а не равны ею.