Скорость во вращающейся системе отсчета.

[manul91]

peg59 в сообщении #1656584 писал(а):

Давайте для определенности говорить о скорости часов относительно наблюдателя и наблюдателя относительно часов, в момент, когда они напротив друг друга. Это одно и то же событие для двух СО.

sergey zhukov в сообщении #1656585 писал(а):

manul91
Я так понял, что часть вопроса состояла в том, почему в случае вращения скорость $A$ относительно $B$ не равна скорости $B$ относительно $A$, как это обычно бывает в СТО, когда рассматриваются две ИСО. Ответ в том, что даже и по Ньютону в случае произвольных неинерциальных СО скорость $A$ относительно $B$ не равна скорости $B$ относительно $A$.

Перечитывая, имхо заведомо вредно (и запутывающе для тех кто хочет разобраться) говорить про "скорости $A$ относительно $B$".
Такого понятия "скорости" "точки относительно точки" не существует (хотя фраза используется в обиходе) - скорость объекта нельзя измерить посредством/относительно какого-то другого точечного объекта.
Лучше всегда говорить про "скорости $A$ относительно систему отсчета $B$" (относительно СО $B$, в которой $B$ покоится).
Это сразу дает понять, что по определению скорости объекта - для ее измерения, нужно соглашение про распределенной системе (frame of reference) - а не просто какой-то точечный объект. Соответно понятие "скорости" без дополнительных уточнений становится неоднозначным - при разных процедурных определений что такое "система отсчета $B$" и как меряется "скорость" в ней, можно придти к разным "скоростям $A$ относно $B$".

[sergey zhukov]

manul91 в сообщении #1656684 писал(а):

Лучше всегда говорить про "скорости $A$ относительно систему отсчета $B$" (относительно СО $B$, в которой $B$ покоится).

Согласен. Скорость измеряется относительно распределенной СО в той точке СО, где находится объект, скорость которого измеряется.

[peg59]

manul91 в сообщении #1656675 писал(а):

Т.е. "численная одновременность" по координате $x^0$ не отвечает "реальной операционной" одновременностью для близких наблюдателей.

Ну и далее эта одновременность вычисляется через метрику.
Я и говорю, никакие синхронизованные часы не используются, всё считается через координаты и метрику. Зачем повторять мантры о "синхронизованных" часах?

Но это, видимо, вопрос не вам, а sergey zhukov'у.

[sergey zhukov]

peg59
Да я и не спорю. Метрика содержит все, что нужно. Вопрос о синхронизации часов - это к тому, как эту метрику получить.

[Батороев]

peg59 в сообщении #1656487 писал(а):

Я сижу на ободе с часами. Вокруг меня по окружности движется наблюдатель.

Наблюдаель движется не по окружности, а по циклоиде

[manul91]

peg59 в сообщении #1656739 писал(а):

Ну и далее эта одновременность вычисляется через метрику.
Я и говорю, никакие синхронизованные часы не используются, всё считается через координаты и метрику. Зачем повторять мантры о "синхронизованных" часах?

Я думал, вам не понятно почему в случае стационарной метрики нельзя делить $dl$ на $d\tau$ в виде, как $d\tau$ определено в 84.1 (т.е. почему нельзя поступить также, как и в статичной).
То, что там ЛЛ делят на $x^0 - \frac{g_{0\alpha}}{g_{00}}dx^\alpha$ а не на $dx^0$ (и потом умножают это на $\frac{\sqrt{g_00}}{c}$) - эквивалентно тому, что "физическая" скорость в СО наблюдателей определяется по взаимно-синхронизированном временем наблюдателей, через их стандартными часами.

Можете потренироваться на моем конкретном упрощенном примере.
Сначала непосредственно можно проверить, что координатно-неподвижные наблюдатели в "хорошей метрике" ИСО $ds^2 = c^2dt^2 - dx^2$ (т.е. в которых $dl=dx, d\tau=dt$), являются координатно-неподвижными также и в новых "испорченных" координат $X,T$.
Возьмите объект движущейся по мировую траекторию $dx=vdt$ в "хороших координат" в ИСО, т.е. с обычной скоростью $v=\frac{dx}{dt}$. Пересчитайте вид изначальной ИСО-шной метрики в новых "плохих координат" $X,T$ чтобы получить вид метрики в них (получится стационарная метрика, с ненулевым $g_{TX}$ т.е. с несинхронизированной - относно стандартной синхронизации для наблюдателей - времевой координатой $T$). И также получите как будет конкретно выглядеть та же траектория того же движущегося объекта в новых "испорченных координат" $X(T)$ (будет некая связь дифференциалов $dX, dT$ через $X,T$ и константу $v$).

Теперь наоборот: забываем что проделано и как мы к этому пришли: считаем что нам наперед дана с потолка стационарная метрика $X,T$ и объект движущейся в ней по мировую траекторию $X(T)$. Вопрос в том какова его "физическая скорость" относно неподвижных в $X,T$ наблюдателей? (она заведомо не будет $\frac{dX}{dT}$).
"По рецепту" из ЛЛ (88.10 - 88.12) выразите "физическую скорость" любого тела через "испорченных координат" $X,T$: как функцию из коеффициентов метрики $g_{TT}, g_{TX}, g_{XX}$ и дифференциалов координат $dX, dT$. Теперь подставляя связь $dX, dT$ из конкретной мировой траектории в "испорченных координат" $X(T)$ то вы получите для тела обратно просто $v$ - т.е. ту же "физическую скорость", которую измерили бы те же наблюдатели в изначальной "хорошей системе отсчета" ИСО с "хороших" координат, т.е. по их собственными синхронизированными часами и стандартными линейками.

В этом и смысл "мантр" про синхронизированных часов - объяснить, почему именно так вычисляется "физическая скорость" у ЛЛ при произвольной стационарной метрике.
Что метрика содержит все что нужно, и так понятно.

-- 30.09.2024, 16:59 --

peg59 в сообщении #1656569 писал(а):

Единственное, что я пока понимаю, что я не знаю, что такое скорость.
Раньше это была производная пространственных координат по времени.

Кстати, это неверно еще в классике.
Возьмите цилиндрические координаты; если заморозим движение по $z$ и $r$, то производная оставщейся пространственной координатой $\varphi$ по времени $\frac{d\varphi}{dt}$ скоростью не является (правильное выражение для скорости будет $r\frac{d\varphi}{dt}$).
(да, мы по привычке называем $\frac{d\varphi}{dt}$ "угловой скоростью" и координату $\varphi$ "угловую"; но понятно что в произвольных криволинейных пространственных координат такая классификация пространственных координат на "прямолинейных" и "угловых" бессмысленна; скорость не является просто "производной пространственных координат по времени").

[manul91]

Проделал вычисления по ЛЛ, для задачи топикстартера.
Если следовать буквально 88.10 - 88.12:
- Для контравариантной компонентe скорости по координате $\varphi$, после подстановки для 88.10 сразу получается (по смыслу задачи топикстартера, в знаменателе остальные компоненты кроме $g_{\varphi}d\varphi$ выпадают, т.к. при данном движении все $dx^{\alpha}$ нулевые кроме $dx^{\varphi}$ также очевидно что все остальные компоненты скорости нулевые):

$$v^{\varphi} = \frac{c\Omega}{\sqrt{g_{tt}}(1+ \frac{g_{t\varphi}\Omega}{g_{tt}} )}$$

- Далее для ковариантной компонентой скорости по координате $\varphi$ имеем (опять же по смыслу задачи топикстартера, все остальные компоненты выпадают)

$$v_{\varphi}=\gamma_{\varphi\varphi}v^{\varphi}$$

Чтобы найти модуль скорости, вычисляю ее квадрат как в 88.12 (подставляя $\gamma_{\varphi\varphi} = R^2 + \frac{g_{t\varphi}^2}{g_{tt}}$ из 84.7):

$$v^2 = v_{\varphi}v^{\varphi} = \gamma_{\varphi\varphi}(v^{\varphi})^2 = (R^2 + \frac{g_{t\varphi}^2}{g_{tt}})(v^{\varphi})^2$$

, и после подстановки выражения для $v^{\varphi}$ выше и несколько нудных преобразований, в итоге получаю абсурдный результат

$$v = \frac{v'}{1-\frac{2v'^2}{c^2}}$$

Результат "абсурдный" из-за наличия двойки.

Если считать, что знак в знаменателе 88.10 у ЛЛ должен быть положительным (либо что альтернативно, $g_{t\varphi}=\Omega R^2$, а не $g_{t\varphi}=-\Omega R^2$ как должно быть) - то уравнение для $v^{\varphi}$ (первое уравнение в данном сообщении) будет с обратным знаком в знаменателе

$$v^{\varphi} = \frac{c\Omega}{\sqrt{g_{tt}}(1 - \frac{g_{t\varphi}\Omega}{g_{tt}} )} = \frac{c\Omega\sqrt{g_{tt}}}{g_{tt} - g_{t\varphi}\Omega} = \frac{c\Omega\sqrt{g_{tt}}}{c^2 - \Omega^2R^2 + \Omega R^2 \Omega} = \frac{\Omega\sqrt{g_{tt}}}{c}$$

и тогда в итоге все сокращается и получается результат $v=v'$ (что выглядит разумным).

Кто нибудь может проверить? Что я делаю не как надо? Или этот знак - ошибка у ЛЛ?

[peg59]

Решаем снова.

Метрический тензор во вращающихся координатах:

$$ g_{ik} = \begin{pmatrix} c^2-\Omega^2r^2 & 0 & -\Omega r^2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -\Omega r^2 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Отсюда вычисляется пространственная метрика

$$ g_{\alpha \beta} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{1-\Omega^2 r^2/c^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Выражение для пространственной скорости:

$$ v^{\alpha} = \frac{c dx^{\alpha}}{\sqrt{g_{00}}(dt - g_{0\beta}dx^{\beta}/g_{00})}} \eqno (88,10) $$

Теперь наблюдатель вращается по окружности в обратную сторону, из координат у него изменяется только угол: $\varphi = -\Omega t, \; d\varphi = -\Omega dt$.
Поэтому из всех компонент скорости остается только угловая:

$$ v^{\varphi} = \frac{c}{\sqrt{g_{00}}}\frac{d\varphi}{(dt - \frac{-\Omega R^2}{g_{00}}d\varphi}} = \frac{c(c^2 - \Omega^2 R^2)d\varphi/dt}{\sqrt{c^2 - \Omega^2R^2}(c^2 - \Omega^2 R^2 + \Omega^2 R^2)} $$

$$ v^{\varphi} = \Omega \sqrt{1 - \Omega^2R^2/c^2 $$

Квадрат скорости считаем через пространственную метрику:

$$v^2 = g_{\alpha\beta}v^{\alpha}v^{\beta} = \frac{r^2\Omega^2 (1 - \Omega^2R^2/c^2)}{1-\Omega^2 R^2/c^2}=\Omega^2 R^2 $$

Скорость получилась та же самая, что и у часов на ободе.
Осталось понять, что же это за скорость такая.

[manul91]

peg59 в сообщении #1656871 писал(а):

Теперь наблюдатель вращается по окружности в обратную сторону, из координат у него изменяется только угол: $\varphi = -\Omega t, \; d\varphi = -\Omega dt$.

Ага, вот черт, peg59 спасибо! : )

peg59 в сообщении #1656871 писал(а):

Осталось понять, что же это за скорость такая.

А разве уже не понятно? : )
Вот теперь можно и порассуждать почему же "рассуждение со здравым смыслом"

peg59 в сообщении #1656487 писал(а):

Длину обода я измерил: $\;L' = \frac{2 \pi R}{\sqrt{1 -\Omega^2R^2 /c^2}}$ , период измерен моими часами: $\;T' = T \sqrt{1 - v^2/c^2}$ , где $T = 2 \pi /\Omega $. Делим путь на время и получаем тот же результат.

не "стыкуется" с "такой же скоростью" $v$..

[peg59]

manul91 в сообщении #1656778 писал(а):

скорость не является просто "производной пространственных координат по времени

Мне более близко определение скорости как касательного вектора к траектории.
Завтра еще подумаю.

[manul91]

Как должно такое выглядеть, с точки зрения наблюдателей в подобном гравитационном поле.
Наблюдатели находятся на какой-то поверхности.
У них 1000 одинаковых стандартных часов стандартной конструкции (часов нумеруют с 0 до 999, именуют их $P_k, 0 \le k \le 999$).
Они прикрепляют нулевых часов $P_0$ где-то неподвижно, в месте $O_0$.
Теперь "рисуют" замкнутую "трассу" на этой поверхности, проходящую через $O_0$. Неважно даже круговая трасса или нет, а только то что она замкнута.
Измеряют длину трассы (прикладывая стандартными линейками, или любым эквивалентным способом) - получают что ее длина равна $L$.
Теперь (стандартными линейками, или любым эквивалентным способом) делят трассу на 1000 отрезков одинаковой длины $\Delta L = \frac{L}{1000}$, начиная с исходной точке $O_0$.
В так найденных новых 999 точек $O_k$ на трассе, расставляют оставшихся 999 часов $P_1, .... P_{999}$ - для определенности пусть номера часов увеличиваются по часовой стрелке.
Итак, пока у них замкнутая трасса длиной $L$, разбитая на 1000 отрезков одинаковой длины $\Delta L = \frac{L}{1000}$, на стыке отрезков соответные часы на трассе.
Наблюдатели знают что они могут находиться в гравитационном поле, и от греха подальше, после разноса часов - снова синхронизируют их поцепочно, по методу Эйнштейна: $P_1$ синхронизируют с $P_0$, потом $P_2$ синхронизируют с $P_1$, потом ...., наконец $P_{999}$ синхронизируют с $P_{998}$.
На сцене появляется "бегун", и начинает бежать по трассе (по направлении увеличивания номеров часов).
На любом отрезке, этими часами меряется его скорость (длина отрезка $\Delta L$ поделенная на разницу показаний часов по его концам, по событий прибытия и отбытия бегуна от часов) - и она оказывается равной $v$, на каждом малом участке длины $\Delta L = O_n O_{n+1}$.
Что на самом деле это значит?
Без ограничений можем считать что бегун прошел мимо нулевых часов $P_0$ когда на их циферблате показания 0.
Далее когда бегун проходит мимо часов $P_1$ то оказалось что $P_1$ показывают время $\frac{\Delta L}{v}$, потом пробежавшись мимо $P_2$ оказывается что $P_2$ показывают $\frac{2\Delta L}{v}$, и так далее до $P_{999}$ которые показывают время $\frac{999\Delta L}{v}$ в момент когда бегун выровнялся с ними.
Поэтому наблюдатели и убеждены, что бегун двигался с постоянной скоростью $v$ - она одинакова на каждом малом участке длиной $\Delta L$, которого бегун "пробегает за одинаковое время" $\frac{\Delta L}{v}$.
Так бегун пробежал почти всю трассу: итого пробежал пока длину $\frac{999L}{1000}$ и находится возле часов $P_{999}$ которые логично, показывают время $\frac{999\Delta L}{v} = \frac{999}{1000}\frac{L}{v} $.
Наблюдатели - по здравым смыслом - ожидают, что пробежавши и последний участок и выровняясь снова с нулевыми часами $P_0$, на них должны автоматически оказаться показания $\frac{1000\Delta L}{v} = \frac{L}{v}$.
Но вот приходит бегун к $P_0$ - и на удивление всем! - часы $P_0$ показывают не $\frac{L}{v}$, а что-то совсем другое! (но конечно же, больше нуля; меньше или больше $\frac{L}{v}$ пока не важно).
Что пошло не так? Какова в конечном счете - "на самом деле", скорость бегуна? Что произошло со здравым смыслом?

[Батороев]

peg59 в сообщении #1656874 писал(а):

Мне более близко определение скорости как касательного вектора к траектории.

Но только траектория - не окружность.

Батороев в сообщении #1656744 писал(а):

peg59 в сообщении #1656487 писал(а):

Я сижу на ободе с часами. Вокруг меня по окружности движется наблюдатель.

Наблюдаель движется не по окружности, а по циклоиде

[manul91]

Батороев
Стержень_Витгенштейна выглядит поинтересней.

[peg59]

Батороев в сообщении #1656909 писал(а):

Но только траектория - не окружность.

Да с чего вы взяли? Окружность у нас по условию.

-- 01.10.2024, 08:23 --

manul91 в сообщении #1656885 писал(а):

Какова в конечном счете - "на самом деле", скорость бегуна?

А еще бегун может определять скорость по своим часам и километровым столбикам.
А еще по своим часам и радару. (И думаю, по радару самая физическая скорость.)

manul91 в сообщении #1656885 писал(а):

Но вот приходит бегун к $P_0$ - и на удивление всем! - часы $P_0$ показывают не $\frac{L}{v}$, а что-то совсем другое!

Вот я пока и не понимаю, что происходит. Математика несложная, а физика в голове не укладывается.
И непонятно, почему длина "окружности", деленная на время, за которое она пройдена, не скорость.

[Батороев]

manul91 в сообщении #1656914 писал(а):

Батороев
Стержень_Витгенштейна выглядит поинтересней.

Смотря какую задачу решаете... Меня сбило пилотное сообщение:

peg59 в сообщении #1656384 писал(а):

На ободе колеса радиуса $ R$,

Колесо я воспринимаю, как устройство, перемещаемое по плоскости, а если имелся в виду диск с неподвижной осью, "тоды ой!!!"

-- 01 окт 2024 12:32 --

peg59 в сообщении #1656921 писал(а):

Да с чего вы взяли? Окружность у нас по условию.

Прошу прощения!