Может ли быть так для случая n=3?

[Grigory71]

Уважаемые коллеги, мне кажется, что я нашел красивый пример доказательства для $n=3$, пожалуйста, проверьте, нет ли в нём ошибок.
(я обобщил свой случай произвольного $n$ для случая $n=3$)

1. Запишем теорему для $n = 3$

$x^3+y^3=z^3$

Где

$z = m^{3} + p^{3}$
$x= m^{3} - p^{3}$

Следовательно,

$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$
$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$

2. Сначала запишем разность из п.1
$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$

3. Разложим первое и второе выражения правой части п.2 по стандартным формулам $(a+b)^3, (a-b)^3$
$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$
$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$

4. Вычтем выражения из п.3 друг из друга (что-то сокращается, а что-то удваивается)
$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$

5. Следовательно, из п.4 получаем
$y^3=2\cdot[3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+(p^3)^3]$

6. Преобразуем п.5
$y^3=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

7. Обозначим из п.6
$l^3=\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

8. Следовательно, из п.6, п.7
$y^3=2\cdot3\cdot l^3=6\cdot l^3$

9. С другой стороны, подставим в правую часть п.2 $m=j \cdot p$
Таким образом, из правой части п.2 имеем
$((jp)^3+p^3)^3-((jp)^3-p^3)^3$

10. Следовательно, из п.9
$p^3\cdot ((j^3+1)^3-(j^3-1)^3)$

11. Разложим второй сомножитель п.10, и следовательно, получаем
$6j^6+2$

12. Обозначим из п.11
$q^3=6j^6+2$

13. Запишем теорему снова из п.2, учитывая всё вышесказанное
$(p^3)^3\cdot(6j^6+2)=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

14. Следовательно, из п.7, п.12, п.13, имеем
$(p^3)^3\cdot q^3 = 2\cdot3\cdot l^3$

15. Перепишем п.14
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$

16. Перепишем п.15
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot (6j^6+2)}{m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$

17. Раскроем п.16 и учтем $m=jp$
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{(jp)^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$

18. Следовательно, последовательно упрощая п.17
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{j^6 p^9+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{p^9\left(j^6+\frac{1}{3}\right)} =2\cdot 3$
$\frac{6j^6+2}{j^6+\frac{1}{3}} =2\cdot 3$

19. В конце концов, из п.18 имеем
$\frac{3j^6+1}{j^6+\frac{1}{3}} =3$

20. Мы пришли к выводу, что уравнение п.19 имеет бесконечное количество решений. Что нам делать? Как его решить? Вернемся к п. 15
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$

21. Учитывая выражения для $q$ и $l$ в уравнении п.15, п.20, у нас имеется бесконечное количество решений.
Поэтому единственный возможный способ решить это уравнение – предположить,
накладывая дополнительное ограничение на него, основанное на самой формулировке теоремы,
что существует такое положительное целое число $o$, которое удовлетворяет условию:
$o^{3} =2\cdot 3 $
где
$o = \left(\frac{p^{3} \cdot q}{l} \right)$

22. На левой стороне уравнения п.21 у нас экспоненциальная зависимость, в то время как на правой – линейная.
Поэтому для $o > 2$ это уравнение не имеет корней.
Таким образом, это выражение может иметь решения только при $o = 2$, потому что $1^3 = 1$.
Следовательно, из п.21 имеем
$2^{3} =2\cdot 3 $

23. Уравнение п.22 не имеет корней. Случай $n=3$ доказан.

[waxtep]

Grigory71 в сообщении #1642138 писал(а):

1. Запишем теорему для $n = 3$

$x^3+y^3=z^3$

Где

$z = m^{3} + p^{3}$
$x= m^{3} - p^{3}$

Следовательно,

Если подставить выражения для $z,x$, получим $y^3=2p^3$, что заведомо безнадежно.

[Null]

Grigory71 в сообщении #1642138 писал(а):

Где

$z = m^{3} + p^{3}$
$x= m^{3} - p^{3}$

А если $x$ и $z$ не такие?

[waxtep]

waxtep в сообщении #1642140 писал(а):

Если подставить выражения для $z,x$, получим $y^3=2p^3$, что заведомо безнадежно.

Ерунду написал, пардон

[iifat]

Null в сообщении #1642145 писал(а):

А если $x$ и $z$ не такие?

Такие, такие. Тут ТС переходит к действительным $m$ и $p$.

[Grigory71]

Объясняю, почему я выбрал такие $x, z$
Я считаю, что общий случай теоремы Ферма, для произвольного $n$,
должен включать в себя все частные случаи, в том числе и случай для $n=2$ Пифагоровых троек

$x^2+y^2=z^2$

где:
$x= j \cdot (m^2-p^2)$
$y= j \cdot (2mp)$
$z= j \cdot (m^2+p^2)$

[Shadow]

Grigory71 в сообщении #1642138 писал(а):

6. Преобразуем п.5
$y^3=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

7. Обозначим из п.6
$l^3=\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

8. Следовательно, из п.6, п.7
$y^3=2\cdot3\cdot l^3=6\cdot l^3$

$y^3=6l^3$ далше ничего писать не надо.
Но и этого не надо было писать.
Ну и то раньше - тоже.

[Grigory71]

Уважаемые коллеги, Я НАШЁЛ У СЕБЯ ОШИБКУ, поэтому красивый пример доказательства для $n=3$, будет выглядеть так теперь:
(я обобщил свой случай произвольного $n$ для случая $n=3$)

1. Запишем теорему для $n = 3$

$x^3+y^3=z^3$

Где

$z = m^{3} + p^{3}$
$x= m^{3} - p^{3}$

Следовательно,

$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$
$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$

2. Сначала запишем разность из п.1
$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$

3. Разложим первое и второе выражения правой части п.2 по стандартным формулам $(a+b)^3, (a-b)^3$
$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$
$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$

4. Вычтем выражения из п.3 друг из друга (что-то сокращается, а что-то удваивается)
$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$

5. Следовательно, из п.4 получаем
$y^3=2\cdot[3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+(p^3)^3]$

6. Преобразуем п.5
$y^3=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

7. Обозначим из п.6
$l^3=\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

8. Следовательно, из п.6, п.7
$y^3=2\cdot3\cdot l^3=6\cdot l^3$

9. С другой стороны, подставим в правую часть п.2 $m=j \cdot p$
Таким образом, из правой части п.2 имеем
$((jp)^3+p^3)^3-((jp)^3-p^3)^3$

10. Следовательно, из п.9
$p^3\cdot ((j^3+1)^3-(j^3-1)^3)$

11. Разложим второй сомножитель п.10, и следовательно, получаем
$6j^6+2$

12. Обозначим из п.11
$q^3=6j^6+2$

13. Запишем теорему снова из п.2, учитывая всё вышесказанное
$(p^3)^3\cdot(6j^6+2)=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$

14. Следовательно, из п.7, п.12, п.13, имеем
$(p^3)^3\cdot q^3 = 2\cdot3\cdot l^3$

15. Перепишем п.14
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$

16. Перепишем п.15
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot (6j^6+2)}{m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$

17. Раскроем п.16 и учтем $m=jp$
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{(jp)^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$

18. Следовательно, последовательно упрощая п.17
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{j^6 p^9+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$
$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{p^9\left(j^6+\frac{1}{3}\right)} =2\cdot 3$
$\frac{6j^6+2}{j^6+\frac{1}{3}} =2\cdot 3$

19. В конце концов, из п.18 имеем
$\frac{3j^6+1}{j^6+\frac{1}{3}} =3$

20. Мы пришли к выводу, что уравнение п.19 имеет бесконечное количество решений, то есть фактически мы получили тождество. Что нам делать? Как его решить? Вернемся к п. 15
$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$

21. Учитывая выражения для $q$ и $l$ в уравнении п.15, п.20, у нас имеется бесконечное количество решений.

Следовательно, единственный возможный способ решить уравнение п.15, п.20 — это предположить,
наложив на него дополнительное ограничение,
что существует действительное число $o > 1$, удовлетворяющее условию:

$o^{3} =2\cdot 3 $

где
$o = \left(\frac{p^{3} \cdot q}{l} \right)$

22. В левой части уравнения п.21 у нас экспоненциальная зависимость, в то время как в правой она линейная.
Поэтому при $o > 2$ данное уравнение не имеет корней. Таким образом, это выражение может иметь решения
только при максимальном (для того, чтобы найти максимум решений) значении $o = 2$, которое есть положительное целое число.

Следовательно, из п.21 имеем
$2^{3} =2\cdot 3 $

23. Уравнение п.22 не имеет корней. Случай $n=3$ доказан.

[Grigory71]

Дорогие коллеги, если у вас нет возражений по моему случаю $n=3$,
то предлагаю Вашему вниманию случай произвольного $n$
Посмотрите пожалуйста, нет ли ошибок! Большое спасибо!

то вот английская версия №25 в LaTeX, файл - FrematProofRev25_LaTeX.pdf
https://www.researchgate.net/publication/374350359_The_Difficulties_in_Fermat's_Original_Discourse_on_the_Indecomposability_of_Powers_Greater_Than_a_Square_A_Retrospect

и вот русская версия №16 в MS Word, файл - FrematProofRev16ru_MSWord.pdf
https://www.researchgate.net/publication/381293382_OSTRYE_UGLY_V_RASSUZDENII_PERA_FERMA_O_NERAZLOZIMOSTI_STEPENI_VYSE_KVADRATA_OBZOR

[mihaild]

Grigory71 в сообщении #1642415 писал(а):

Следовательно, единственный возможный способ решить уравнение п.15, п.20 — это предположить,
наложив на него дополнительное ограничение,
что существует действительное число $o > 1$,

Простите, что это за схема рассуждений?
Попробуем решить уравнение $x = 0$. Из него легко следует уравнение $0 = 0$. Но у него бесконечно много решений, следовательно единственный способ его решить - это предположить, что существует число, удовлетворяющее условию $1 = 0$. Из этого легко выводится, что у исходного уравнения решений нет.

И вообще, подставьте $x = y = 1$, $z = \sqrt[3]{2}$ - т.к. Ваши "рассуждения" нигде не опираются на натуральность $x, y, z$, то оно сразу доказывает что и вещественных решений нет.

[Shadow]

Grigory71 в сообщении #1642415 писал(а):

предположить, что существует действительное число $o > 1$, удовлетворяющее условию:
$o^{3} =2\cdot 3 $

Пифагорейцы, кажется, над этим тоже ломали голову. Или похожем.

[Grigory71]

Корректная версия п.22 будет выглядеть так:

п.22 В уравнении (п.21) левая часть представляет экспоненциальную функцию, в то время как правая часть представляет линейную функцию.
Следовательно, при $o > 2$ это уравнение не имеет решений. Анализируя уравнение, мы приходим к выводу, что решения возможны только при
$o = 2$, которое является положительным целым числом.

Детально, эта часть для общего случая произвольного $n$ выглядит так:
https://cloud.mail.ru/public/YPsq/7WaqHhgCE

[mihaild]

Grigory71 в сообщении #1642663 писал(а):

решения возможны только при
$o = 2$

Не доказано.

[Grigory71]

mihaild в сообщении #1642664 писал(а):

Grigory71 в сообщении #1642663 писал(а):

решения возможны только при
$o = 2$

Не доказано.

Вы АБСОЛЮТНО правы!

Новая редакция:

п.22 В уравнении (п.21) левая часть представляет собой экспоненциальную функцию, в то время как правая часть представляет линейную функцию.
Поэтому для (o > 2) это уравнение не имеет решений. Исходя из этого условия и самой формы уравнения, мы замечаем,
что для того, чтобы найти максимально возможное количество его корней, мы должны принять (o = 2), которое является положительным целым числом.

[mihaild]

Grigory71 в сообщении #1642674 писал(а):

Исходя из этого условия и самой формы уравнения, мы замечаем,
что для того, чтобы найти максимальное количество его корней, мы должны принять (o = 2), которое является положительным целым числом.

Непонятно, что это вообще значит.
Что такое "принять $o = 2$", и какое отношение это имеет к уравнению, вообще не содержащему $o$?