Уважаемые коллеги, Я НАШЁЛ У СЕБЯ ОШИБКУ, поэтому красивый пример доказательства для
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
, будет выглядеть так теперь:
(я обобщил свой случай произвольного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
для случая
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
)
1. Запишем теорему для
![$n = 3$ $n = 3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/d/14d16c011d601ab1480487a911c760d082.png)
![$x^3+y^3=z^3$ $x^3+y^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a7894bcb34304fa5dde145d2a56776db82.png)
Где
![$z = m^{3} + p^{3}$ $z = m^{3} + p^{3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/2/c72e9e920a2a85f2f070eedeabb4c12482.png)
![$x= m^{3} - p^{3}$ $x= m^{3} - p^{3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/7/cc79a99015ddb0bcb66551e1bcca103682.png)
Следовательно,
![$m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$ $m=\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/d/65d916c2c9b865738a89e68950a6c88c82.png)
![$p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$ $p=\sqrt[3]{\frac{z-x}{2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/2/96226a6b531b47795117fd31ad353d1d82.png)
2. Сначала запишем разность из п.1
![$y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$ $y^3=z^3-x^3=(m^3+p^3)^3-(m^3-p^3)^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/6/7963b65c524bf8720a30b2c9d9cb255382.png)
3. Разложим первое и второе выражения правой части п.2 по стандартным формулам
![$(a+b)^3, (a-b)^3$ $(a+b)^3, (a-b)^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/a/e7a52d6f893e392160280b2695d6c5bd82.png)
![$(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$ $(m^3)^3+3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2+(p^3)^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/d/83de7757f7ca93e79e373c681b65e1bb82.png)
![$(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$ $(m^3)^3-3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+3\cdot m^3 \cdot (p^3)^2-(p^3)^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf894d8c91df7f2fd2d5deb8417512782.png)
4. Вычтем выражения из п.3 друг из друга (что-то сокращается, а что-то удваивается)
![$2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$ $2\cdot3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+2\cdot (p^3)^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/8/538db8ca11ecdbcb72685c15a0e4467182.png)
5. Следовательно, из п.4 получаем
![$y^3=2\cdot[3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+(p^3)^3]$ $y^3=2\cdot[3\cdot(m^3)^2\cdot p^3+(p^3)^3]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/3/8a33cd840f6d5aad5c017f0d14712a6882.png)
6. Преобразуем п.5
![$y^3=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$ $y^3=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f1f5be2e9f0f27eb2af5ac7d7fa640982.png)
7. Обозначим из п.6
![$l^3=\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$ $l^3=\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/4/5c403eef305931819afd2a12214ea67c82.png)
8. Следовательно, из п.6, п.7
![$y^3=2\cdot3\cdot l^3=6\cdot l^3$ $y^3=2\cdot3\cdot l^3=6\cdot l^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/5/1d50ff8142c0ed17dc1478843a3476c982.png)
9. С другой стороны, подставим в правую часть п.2
![$m=j \cdot p$ $m=j \cdot p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/a/f4ae3e97bbfce360de453dbf9de9213a82.png)
Таким образом, из правой части п.2 имеем
![$((jp)^3+p^3)^3-((jp)^3-p^3)^3$ $((jp)^3+p^3)^3-((jp)^3-p^3)^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/1/ae13a2cd3918845fbd05245578e1881b82.png)
10. Следовательно, из п.9
![$p^3\cdot ((j^3+1)^3-(j^3-1)^3)$ $p^3\cdot ((j^3+1)^3-(j^3-1)^3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/6/9b61ca302d6327ee410341ca35fe7cc482.png)
11. Разложим второй сомножитель п.10, и следовательно, получаем
![$6j^6+2$ $6j^6+2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c8faa8f4d01befc3f136c63f764543682.png)
12. Обозначим из п.11
![$q^3=6j^6+2$ $q^3=6j^6+2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/0/c607e18bcd14c4ef05f9bd5eb364dfef82.png)
13. Запишем теорему снова из п.2, учитывая всё вышесказанное
![$(p^3)^3\cdot(6j^6+2)=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$ $(p^3)^3\cdot(6j^6+2)=2\cdot3\cdot\left(m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/1/0011e0a8996489dd2db64db6c5ec86b782.png)
14. Следовательно, из п.7, п.12, п.13, имеем
15. Перепишем п.14
![$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$ $\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/4/fa4a4df24b9e3faf8fc963184923e68d82.png)
16. Перепишем п.15
![$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot (6j^6+2)}{m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$ $\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot (6j^6+2)}{m^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87c237f9fd5e74ab2310bbfca294cb2f82.png)
17. Раскроем п.16 и учтем
![$m=jp$ $m=jp$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/2/682e7e02fd4e94e662873098af769be882.png)
![$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{(jp)^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$ $\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{(jp)^6\cdot p^3+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/a/2ba3ab429ba13fcd0b439b56075aee2482.png)
18. Следовательно, последовательно упрощая п.17
![$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{j^6 p^9+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$ $\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{j^6 p^9+\frac{1}{3}\cdot p^9} =2\cdot 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/f/4ffb20993ff32fe7fdb8e02e18c423a482.png)
![$\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{p^9\left(j^6+\frac{1}{3}\right)} =2\cdot 3$ $\frac{p^9\cdot(6j^6+2)}{p^9\left(j^6+\frac{1}{3}\right)} =2\cdot 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/5/0454393deaf9ebf9194dbb0ea7b7803282.png)
![$\frac{6j^6+2}{j^6+\frac{1}{3}} =2\cdot 3$ $\frac{6j^6+2}{j^6+\frac{1}{3}} =2\cdot 3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/2/c7280dcff66f3ba8c8226358eecd527a82.png)
19. В конце концов, из п.18 имеем
![$\frac{3j^6+1}{j^6+\frac{1}{3}} =3$ $\frac{3j^6+1}{j^6+\frac{1}{3}} =3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e16e518db7babc62f01b87d2c1358ac82.png)
20. Мы пришли к выводу, что уравнение п.19 имеет бесконечное количество решений, то есть фактически мы получили тождество. Что нам делать? Как его решить? Вернемся к п. 15
![$\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$ $\frac{\left(p^{3}\right)^3 \cdot q^3}{l^3} =2\cdot 3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/4/fa4a4df24b9e3faf8fc963184923e68d82.png)
21. Учитывая выражения для
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
и
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
в уравнении п.15, п.20, у нас имеется бесконечное количество решений.
Следовательно, единственный возможный способ решить уравнение п.15, п.20 — это предположить,
наложив на него дополнительное ограничение,
что существует действительное число
![$o > 1$ $o > 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/b/f7b6c338cc01ebb8af68311df135422d82.png)
, удовлетворяющее условию:
![$o^{3} =2\cdot 3 $ $o^{3} =2\cdot 3 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/1/0617f925903846380e67a397283e560982.png)
где
![$o = \left(\frac{p^{3} \cdot q}{l} \right)$ $o = \left(\frac{p^{3} \cdot q}{l} \right)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/9298c81b73d35888167363bb782fc0d182.png)
22. В левой части уравнения п.21 у нас экспоненциальная зависимость, в то время как в правой она линейная.
Поэтому при
![$o > 2$ $o > 2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/b/afb09486f98d274d8a9afb54d6f1332582.png)
данное уравнение не имеет корней. Таким образом, это выражение может иметь решения
только при максимальном (для того, чтобы найти максимум решений) значении
![$o = 2$ $o = 2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/5/7753feb235f9be1f3458cc4864d5311f82.png)
, которое есть положительное целое число.
Следовательно, из п.21 имеем
![$2^{3} =2\cdot 3 $ $2^{3} =2\cdot 3 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/7/597a148bfabe7963b7dd38a1c62393d082.png)
23. Уравнение п.22 не имеет корней. Случай
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
доказан.