Однородность параметров СК и ее непонятные последствия

[Alpha AXP]

Все существующие системы координат обладают некоторой степенью неоднородности. Это значит, что положение точки в пространстве определяется например углом и радиус-вектором - разнородными параметрами или проекциями на оси, которые сами по себе неоднородны т.к. имеют положительную и отрицательную части и координаты точки могут при переходе из одной СК в другую менять знак. Однородная система координат определяет положение точки минимальным количеством одинаковых (однородных) параметров и этот набор всегда сохраняется при переходе от одной к другой СК.

Расположим на прямой 2 точки на расстоянии 1 друг от друга, назовем их базисными. Положение точки однозначно задается двумя числами - расстояниями от базисных точек до нашей точки. Т.е. положение каждой точки определяется парой вещественных положительных чисел. Заметим, что если мы будем рассматривать только одно из этих чисел, т.е. только расстояние от одной базисной точки до рассматриваемой точки, то ее уже нельзя будет определить однозначно, а только двузначно. Также заметим, что не каждой паре чисел будет соответствовать точка, но каждой точке будет соответствовать пара чисел. Т.е. пар чисел гораздо больше чем точек.

И что с ними делать? Зачем они нужны? Вот ведь незадача. Вроде система координат однородная, никаких углов, знаков, все красиво, как хотелось, но пар чисел огромный избыток, надо же куда-то их приспосабливать!!! Не просто так же они возникли из поисков однородности и симметрии СК? И да, меньше чем 2-мя однородными координатами мы не сможем задать положение точки на прямой. Т.е. это уже минимум, а иначе придется вводить помимо чисел еще и знаки, а в двумерном случае знаки и/или углы, помимо расстояний и в двумерном случае положение точки задается уже 3-мя однородными координатами относительно базиса из 3-х точек, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной 1. И там тоже будет избыток троек чисел и далеко не каждая тройка будет задавать точку на плоскости. А двойка может задавать однозначно 2 точки.

Как с этим жить??? Ну вот мы задали двойкой чисел двузначную точку на плоскости, а третьим числом можем задавать какую-то характеристику этой пары точек. Например их цвет или массу. Положим когда тройка чисел определяет однозначно точку, то у нее и массы нет. А когда пара чисел определяет точку двузначно, то третье число наделяет эту двузначную точку массой. Т.е. если предположить. что мы живем в таком пространстве и находимся где-то далеко от базиса, то где-то в противоположной от базиса стороне пространства есть такой же самый я, стукающий по клавишам на таком же компьютере и такие же самые Вы, читающие мою писанину. Вроде заложили в систему координат однородность, а получили раздвоение личности. Интересно.
Стоит нам перейти к другому базису, который возле нас, как наш двойник мгновенно перенесется тоже на недалекое расстояние от нас. А если базис разместить внутри себя, то и двойник окажется внутри, только будет нашим зеркальным отражением.

А если серьезно, то если рассматривать не только тройки вещественных чисел, определяющие точки пространства, но все тройки, то это уже будет и не система координат, а какая-то геометрия в которой одновременно может присутствовать однозначность, двузначность и даже бесконечнозначность. И все это возникает лишь из требования однородности параметров СК. И к чему все это - непонятно. Может быть кто-нибудь увидит куда это можно приложить.

[tolstopuz]

А какое отношение знак имеет к однородности? Числовая прямая - очень даже однородная конструкция, ее группа симметрий включает переносы на любую величину.

-- Пн мар 18, 2024 20:37:45 --

Вот числовой луч - как раз структура неоднородная, в нем с одного конца есть тупик.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1633299 писал(а):

А какое отношение знак имеет к однородности? Числовая прямая - очень даже однородная конструкция, ее группа симметрий включает перереносы на любую величину.

Речь идет об однородности координат, а не однородности линий. Приведу пример записи координаты точки на плоскости в одной и другой СК. В декартовой [-3,6]или [-8,-13], или[8,9], с возрастанием размерности пространства аоличество вариаций будет также возрастать как $2^n$. И по сути мы будем разбивать пространство на квадранты, октанты и т.д. с разной сигнатурой. Ни о какой однородности нет двже речи. В одном октанте не будет о рицательных чисел в другом будут только отрицательные в остальных вариации.

В однородных координатах будет любая точка плоскости выражаться тройкой положительных чисел, в трехмернрм пространстве - четверкой и т.д. т.е. сигнатура будет иметь один вид для любой точки пространства: [+,+,+]. Вот в этом и заключается одноррдность. Никаких разбиений пространс ва на квадранты-октанты. Это более естественно для природных процессов.

tolstopuz в сообщении #1633299 писал(а):

Вот числовой луч - как раз структура неоднородная, в нем с одного конца есть тупик

Речь шла не об однородности --неоднородности линий, а об однородности-неоднородности средств их описания.
Если угодно- однородности сигнатуры и однородности природы которая стоит за числами. Угол и радиус-вектор имеют разную природу, значит СК, построенная на этих параметрах содержит неоднородность. Сигнатура, включающая числа со знаком более неоднородна чем сигнатура, содержащая только числа без знака. Сравните еще раз:
[+3-5, -11] и [3,5,11,7], какая запись более однородна по компонентам]?

[EUgeneUS]

tolstopuz в сообщении #1633299 писал(а):

Расположим на прямой 2 точки на расстоянии 1 друг от друга, назовем их базисными.

...

Alpha AXP в сообщении #1633285 писал(а):

Т.е. пар чисел гораздо больше чем точек.

Ровно столько же.

Остальное комментировать - только портить.

[Alpha AXP]

EUgeneUS в сообщении #1633308 писал(а):

Ровно столько же.

Остальное комментировать - только портить.

На прямой ровно столько же, а всего- гораздо больше. Для примера рассмотрим декартову систему координат на плоскости. Там количество возможных пар чисел без знака столько же, сколько точек в одном квадранте.
Координаты точек в описываемой здесь СК для прямой мы выражаем парами чисел. Число возможных пар гораздо больше чем точек. Идея в том, чтобы придать этим парам дополнительный смысл. Каждая такая пара выражает 2 двузначные точки или дуальные точки, которые располагаются симметрично относительно базисных точек. Т.е. наряду с однозначностями мы можем рассматривать и континиум двузначностей. Грубо гтаоря, если мы урезаем наш базис до одной точки, то у нас естественным образом возникают числа со знаком, возникает левое и правое, минус и плюс. Т.е. из абсолютной симметрии-однородности появляется ассиметрия в пространстве

[dgwuqtj]

Alpha AXP в сообщении #1633306 писал(а):

Речь идет об однородности координат, а не однородности линий. Приведу пример записи координаты точки на плоскости в одной и другой СК. В декартовой [-3,6]или [-8,-13], или[8,9], с возрастанием размерности пространства аоличество вариаций будет также возрастать как $2^n$. И по сути мы будем разбивать пространство на квадранты, октанты и т.д. с разной сигнатурой. Ни о какой однородности нет двже речи. В одном октанте не будет о рицательных чисел в другом будут только отрицательные в остальных вариации.

Если вам не нравится запись чисел со знаками, то есть позиционные системы счисления с отрицательными основаниями или цифрами, в них никакого минуса для обозначения отрицательных чисел не нужно.

[Alpha AXP]

dgwuqtj в сообщении #1633310 писал(а):

Если вам не нравится запись чисел со знаками, то есть позиционные системы счисления с отрицательными основаниями или цифрами, в них никакого минуса для обозначения отрицательных чисел не нужно.

Не понимаю, о чем Вы говорите, поясните пожалуйста. Здесь речь идет о геометрии. Я ничего не имею против геометрии с отрицательными числами, просто без нихгеометрия может быть другой.

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1633306 писал(а):

В декартовой [-3,6]или [-8,-13], или[8,9], с возрастанием размерности пространства аоличество вариаций будет также возрастать как $2^n$.

Это различие чисто типографское. Можно даже сказать, что нумерологическое. Если вы вычисляете любую имеющую геометрический смысл величину, например, длину отрезка или объем тела, вам совершенно все равно, лежат его координаты в $[-15, -6]$, $[-3, 6]$ или $[15, 24]$, все равно вы будете вычитать меньшую из большей с одним и тем же результатом.

Маленький ребенок тоже может делить город на квадранты и считать его неоднородным - детский сад в $300$ шагах влево от дома, в красном углу города, а магазин игрушек в $500$ шагах вправо, в синем углу. С возрастом и по мере понимания карты города этот эгоцентризм обычно проходит. Еще хорошо лечит переезд в другой район.

[svv]

Alpha AXP
Давайте ещё выбросим на свалку систему счисления, которой мы сейчас пользуемся. Она же совершенно неестественна. Вот Вы греете воду в чайнике. Температура воды плавно растёт... 49.97°, 49.98°, 49.99°, и вдруг — бабах! — 50.00°. Изменились сразу все цифры. А что такого особенного произошло с водой в этот момент?

[Alpha AXP]

В $\mathbb R_4$ координата в декартовой СК может выражатся $2^4=16$ типов сигнатур, а $\mathbb R_1000$ будет уже $2^{1000}$ типов сигнатур. В предлагаемой СК в любой размерности пространства 1 тип сигнатур. Их нужно где-то хранить эти минусы, различать их от чисел и и обрабатывать дополнительно. Также необходимо где-то хранить информацию о том как их обрабатывать. И как их переносить из записи в пространство. Плюсы восстанавливаются в одной стороне, минусы в другой, т.е. мы уже должны различать право и лево, чтобы понять куда восстановить точку. Как сделать проекцию и т.д.

В предлагаемой системе координат из базисных точек испускаются сферы заданного радиуса, там где они пересеклись- там и координата точки. Заметьте, электрические и гравитационные силы в природе центральносимметричные или могут во многих случаях быть сведены к таковым с помощью рассмотрения центров тяжести. Т.е. по сути эквипотенциальные поверхности - это чаще всего сферы. Вот положим есть в природе некая СК, с помощью которой будут осуществляться рассчеты взаимодействия частиц. Будут ли в ней оси координат, проекции точек на оси и т.д вводится для рассчетов.? Или скорее в ней будут использоваться уже естественно присутствующие эквипотенциальные сферы?

-- 18.03.2024, 23:21 --

svv в сообщении #1633316 писал(а):

Alpha AXP
Давайте ещё выбросим на свалку систему счисления, которой мы сейчас пользуемся. Она же совершенно неестественна. Вот Вы греете воду в чайнике. Температура воды плавно растёт... 49.97°, 49.98°, 49.99°, и вдруг — бабах! — 50.00°. Изменились сразу все цифры. А что такого особенного произошло с водой в этот момент?

Я не предлагал ничего выбрасывать на свалку- лишь рассмотреть случай без знака, отложив его в сторону. И не потому, что он какой- то лучший или худший, а потому, что он другой. Я понял Ваше предложения, но пока не вижу как можно отказаться от переполнения разрядов. Поэтому и не предлагаю этого сделать. А как от минуса отказаться-вижу. Вы раз предлагаете это сделать, то предлагайте и как это сделать. Или спрашивайте как это можно сделать, но в отдельной теме. Конечно я понимаю, что это был сарказм с Вашей стороны, но я отвечаю Вам без сарказма)

[tolstopuz]

Alpha AXP в сообщении #1633317 писал(а):

В $\mathbb R_4$ координата в декартовой СК может выражатся $2^4=16$ типов сигнатур

Один тип сингатуры - четверка действительных чисел.

Alpha AXP в сообщении #1633317 писал(а):

, а $\mathbb R_1000$ будет уже $2^{1000}$ типов сигнатур.

Один тип сигнатуры - $1000$-ка действительных чисел.

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1633317 писал(а):

Их нужно где-то хранить эти минусы, различать их от чисел и и обрабатывать дополнительно.

Вы знакомы с дополнительным кодом?
$n$ бит позволяют хранить $2^n$ различных беззнаковых целых чисел, либо столько же чисел со знаком. Во втором случае, хотя старший бит можно интерпретировать как содержащий знак, его наличие не изменяет общее количество различных чисел, которые кодируются этими битами.

Например, имея $n=8$ бит, Вы можете кодировать ими либо целые числа от $0$ до $255$ (беззнаковый формат), либо целые числа от $-128$ до $127$ (знаковый) — в обоих случаях это $256$ различных целых чисел.

Также в той статье говорится, что дополнительный код позволяет

Цитата:

сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, что упрощает архитектуру ЭВМ.

То есть сложения $15+36,$ $-15+36,$ $15+(-36)$ и $-15+(-36)$ выполняются по одним и тем же правилам.

[Alpha AXP]

tolstopuz в сообщении #1633318 писал(а):

Один тип сингатуры - четверка действительных чисел.

Сигнатура выражается знаками, а не числами для $\mathbb R_4$ будет 16 типов сигнатур. Каждая определяет свой седенидант.

-- 18.03.2024, 23:39 --

svv в сообщении #1633319 писал(а):

Вы знакомы с дополнительным кодом
?

Помню у нас на занятиях когда-то разбирали код, который назывался двоичнодополнительным.
Как Вы думаете, если вдруг природа использует как-то числа в организации взаимодействий, делит ли она их на слова?

[svv]

Alpha AXP в сообщении #1633321 писал(а):

разбирали код, который назывался двоичнодополнительным

Это он и есть. Освежите его в памяти. Это, на самом деле, великое изобретение. Там знак присутствует, так сказать, наименее выделяющимся образом — к чему Вы как раз и стремитесь.

Alpha AXP в сообщении #1633321 писал(а):

Как Вы думаете, если вдруг природа использует как-то числа в организации взаимодействий, делит ли она их на слова?

Посмотрите, только не воспринимайте слишком всерьёз.
И потом, к позиционной системе, используемой для записи неотрицательных чисел, у Вас претензий не было. А там тоже "слова".

[Dedekind]

Alpha AXP в сообщении #1633321 писал(а):

природа использует как-то числа

Что бы вообще это означало?