Вопрос о возможности Вселенной в виде эллипсоида.

[sergey zhukov]

Есть, кстати, простая программка Curved Spaces. Правда, там нужно немного понимать, что за пространство моделируется и какова топология.

[MGM]

Dmitriy40 в сообщении #1631595 писал(а):

Ну а про отсутствие и первого фокуса (точки начала расширения) твердят уже из каждого нормального утюга, но всё равно доходит не до всех.

Вы о разном. Если рассматривать сферу или эллипсоид в 4D - то да, никакой точки нет собственно в этом 3D (x,y,z) расширяющемся пространстве. А в условном 4D: 3D + it, такая точка имеется. В начале бытия.
Другое дело, что никаких волн в этом условном 4D пространстве быть не может.
PS Другое дело, что никаких волн в этом условном 4D пространстве быть не может.
Хотя, если отойти от классики и включить прошлое в общее пространство, и создать аналитическое продолжение не только для пространсва, но и для физических законов, то можно мредставить себе реальный мир в данный момент времени, как суперпозицию суперволн.

[diletto]

tolstopuz в сообщении #1631759 писал(а):

Окружность можно, например, вложить в пространство, завязав узлом.

А почему такой объект следует называть окружностью?

sergey zhukov в сообщении #1631767 писал(а):

непонимание есть как-раз результат наглядных картинок. Если исходить из них, то внутренняя кривизна без дополнительного измерения кажется невозможной. На самом же деле искривленная поверхность - это всего-лишь наглядный образ, позволяющий визуализировать внутреннюю кривизну, и использующий дополнительное измерение в целях визуализации. Только для наглядности. Не нужно проецировать ограничения этого образа в обратную сторону: внутреняя кривизна не связана с дополнительным измерением и не нуждается в нем. Только наглядная визуализация в этом нуждается.

Я не склонен соглашаться с этим, пока мне не предъявят уравнение, задающее двумерную поверхность глобуса без использования третьей координаты...

Dmitriy40 в сообщении #1631778 писал(а):

Никакого третьего измерения для этого не нужно, и выбраться в него они не могут, оно может даже физически отсутствовать, однако искривление двухмерного мира останется. Но представить себе это весьма сложно.

Мне, скорее, не это сложно представить, а сложно понять разницу между "нет третьего измерения" и "есть третье измерение". Мы в этих рассуждениях находимся на какой-то очень туманной границе физики и математики, так мне кажется. Вот у нас четырёхмерье в СТО/ОТО, и время вроде бы рассматривается как вещь скорее физическая, оно "есть", не так ли? Тем не менее, мы НЕ обладаем полной свободой в выборе своей мировой линии. Просто потому, что так всё устроено (но никак не доказано, что это устройство/ограничение непременно связано с "псевдостью" метрики). Так и муравьи-плоскатики на ихней двумерной сфере, вполне себе вложенной в объемлющее трёхмерье, могут быть неспособны к выходу в третье измерение. Они суслика не видят, а он есть. При полностью положительной сигнатуре.

[Dmitriy40]

diletto в сообщении #1631849 писал(а):

Мне, скорее, сложно не представить, а понять разницу между "нет третьего измерения" и "есть третье измерение".

Пример с тетраэдром Вам понятен? Что измеряя лишь углы в своём родном трехмерном пространстве мы можем обнаружить странную аномалию. И если она не абы какая, а строго определённая, то можно говорить об определённом искривлении трехмерного пространства. Не в 4-м (или 10-м) измерении, оно тут не является необходимым, его может и не существовать, просто аномалия трёхмерного пространства. В формулах везде так и останутся лишь по три координаты, никакой 4-й вводить не придётся.
Гравитация в ОТО делает нечто подобное, искривляет прямые (геодезические) так что в трёхмерии они превращаются в эллипсы орбит (а в 4-х мерии в винтовые линии вдоль оси времени). Представить искривление четырёхмерия ещё сложнее трехмерия конечно (и приставка псевдо тут особой роли не играет). Так что не стоит трогать искривление псевдориманова пространства ОТО без нужды.

[diletto]

Dmitriy40 в сообщении #1631852 писал(а):

Пример с тетраэдром Вам понятен?

Абсолютно.

Dmitriy40 в сообщении #1631852 писал(а):

измеряя лишь углы в своём родном трехмерном пространстве мы можем обнаружить странную аномалию. И если она не абы какая, а строго определённая, то можно говорить об определённом искривлении трехмерного пространства. Не в 4-м (или 10-м) измерении, оно тут не является необходимым, его может и не существовать, просто аномалия трёхмерного пространства.

Окей, а в каком случае мы скажем, что объемлющее пространство таки существует?

Dmitriy40 в сообщении #1631852 писал(а):

В формулах везде так и останутся лишь по три координаты, никакой 4-й вводить не придётся.

Вот этого я не понимаю - наверное, за нехваткой подготовки. Понизим размерность рассмотрения на единичку. Как описать неплоскую двумерную поверхность, оперируя только двумя переменными?

[tolstopuz]

diletto в сообщении #1631849 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1631759 писал(а):

Окружность можно, например, вложить в пространство, завязав узлом.

А почему такой объект следует называть окружностью?

Потому что в контексте обсуждения объекты рассматриваются с точностью до гомеоморфизма. На первой странице обсуждалась проблема Пуанкаре, у которой гомеоморфизм есть в формулировке.

Спросите у любого тополога, где находится центр окружности (одномерной сферы) $S^1$ и чему равен ее радиус, и он рассмеется вам в лицо.

Для алгебраического тополога, например, окружность - это одномерная клетка (открытый интервал), к которой по границе (двоеточию) приклеена нульмерная клетка (точка).

[Dmitriy40]

diletto в сообщении #1631854 писал(а):

Окей, а в каком случае мы скажем, что объемлющее пространство таки существует?

Когда для описания происходящего нам понадобится 4-я ось координат. Если про физику - то нужен эксперимент, не объяснимый в трёхмерии. Например аномально быстрое убывание напряженности поля (вообще говоря любого), чтобы в знаменателе пришлось поставить не $r^2$, а $r^3$ (или ещё выше степень). Именно так и искали и ищут высшие измерения - проверяют скорость убывания гравитации (с ЭМ это невозможно чисто технически из-за уравнений Максвелла, высшие степени туда не лезут, насколько я понимаю), $r^3$ она или всё же $r^2$. И пока что везде (от миллиардов световых лет до долей миллиметра) видим $r^2$. Убывание $r^3$ никаким разумным искривлением трёхмерия не объяснить, это совсем другой эффект.
Да, чтобы не было недопонимания: для этого выходить в четырёхмерие или создавать 4-мерные приборы не нужно, достаточно просто измерять силу тяжести на разных расстояниях от притягивающего центра и сравнивать во сколько раз она стала слабее, в $7^2=49$ раз или в $7^3=343$ раза (для различающихся в 7 раз расстояний). Просто грубо говоря величина сжатия пружины. Обычные трёхмерные измерения самыми обычными приборами.

diletto в сообщении #1631854 писал(а):

Как описать неплоскую двумерную поверхность, оперируя только двумя переменными?

Как непрерывное поле коэффициентов при обеих координатах в каждой точке пространства. Т.е. каждой точке пространства присваиваем пару коэффициентов, на которые домножаем координаты чтобы получить метрику (формулу расстояний). Если коэффициенты оба единичные - это плоское (евклидово) пространство, если хотя бы один не равен 1, это кривое пространство. Но координат всё равно 2. Кривое пространство отличается не наличием лишней координаты, а усложнённым способом расчёта расстояний. Вместо $s_{1,2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ формула становится $s_{1,0}(x_0,y_0)=\sqrt{(f(x_0,y_0)(x_1-x_0))^2+(g(x_0,y_0)(y_1-y_0))^2}$, причём обе функции $f(),g()$ зависят от координат. Правда я тут похоже вру, там вместо простой суммы надо брать интеграл по пути между точками, раз уж коэффициенты меняются от точки к точке, но на уровне идеи (или в малой окрестности точки) примерно так. Как можете убедиться никаких координат $z$ или любых других кроме $x,y$ тут нет, так что пространство двухмерное.
В частных случаях, например постоянной кривизны, обе функции $f(),g()$ становятся достаточно простыми и тогда формулы получается упростить (например интеграл заменить на некие функции от разности координат).

-- 05.03.2024, 00:00 --

Некоей аналогией кривого двухмерного пространства можно считать плоское стекло с переменным по площади (разным в каждой точке) показателем преломления. Кратчайшим расстоянием в нём будет вовсе не геометрическая прямая, а некая кривая (геодезическая), по которой и пойдёт свет если его пустить абсолютно тонким лучом. Т.е. стекло плоское, а свет идёт по кривому. И можно подобрать такое распределение показателя преломления от координат, что такой плоский лист стекла станет эквивалентным изогнутому листу стекла с постоянным показателем преломления. Но в обоих случаях для перечисления всех точек листа достаточно двух координат и потому он таки двухмерный, и первый, и второй.

-- 05.03.2024, 00:26 --

Обратите внимание на аналогию со стеклом: хотя лист стекла плоский, но прямые пути (т.е. геодезические, кратчайшие) в нём искривлены! И при некоем подборе распределения коэффициента преломления по поверхности искривлены именно так, как будто лист прозрачный (однородный), но искривлён. Именно поэтому вместо разных свойств стекла (вакуума) в разных местах такого листа предпочитают говорить об его кривизне, кривизна более понятна чем разные свойства пространства в разных точках.
И кстати эта аналогия вроде бы даже математически корректна.

[sergey zhukov]

diletto в сообщении #1631854 писал(а):

Вот этого я не понимаю - наверное, за нехваткой подготовки. Понизим размерность рассмотрения на единичку. Как описать неплоскую двумерную поверхность, оперируя только двумя переменными?

Dmitriy40 уже сказал, но я еще раз напишу:

1. Наносим на искривленную поверхность множество маленьких окружностей единичного радиуса (представляем, что они малы и поверхность может считаться локально плоской в месте нанесения каждого кружка);

2. Наносим на поверхность какую-нибудь двумерную сетку кооординат. Она на искривленной поверхности всегда получается криволинейной, а локально - косоугольной, неортонормированной (в каждой точке косоугольность у нее будет разной);

3. Для каждого локального единичного кружка пишем его уравнение в локальных косоугольных координатах, считая, что он расположен в нуле этих координат, и все локально плоское;

4. Это будет в общем случае уравнение второго порядка для эллипса, содержащее два квадрата координат и одно их смешанное произведение. При каждом члене - какой-то коэффициент, всего же таких коэффициентов три.

5. Таким образом, задав сетку координат на поверхности, мы получили три функции (для трех коэффициентов) от двух координат. Эти три функции появляются в любых криволинейных координатах, ведь тоже самое можно сделать и для плоскости, задав на ней криволинейные координаты. Они называютя компонентами метрики в данных координатах (компоненты метрического тензора). Эти коэффициенты играют роль "третьей координаты". Зная их, можно восстановить форму поверхности;

6. И заметьте: этот способ описания "поверхности" даже более общий, чем трехмерная искривленная поверхность. Потому, что этим способом можно описать все искривленные трехмерные поверхности, а так же множество таких искривленных двумерных пространств, которые даже нельзя нарисовать при помощи трехмерных искривленных поверхностей.

Т.е. описание искривленного пространства просто требует задания некоторой функции (метрики), которая и содержит в себе информацию о форме искривленного пространства. Можно называть эту функцию так же масштабом, который говорит нам, как от безразмерных координат на сетке перейти к размерному расстоянию на поверхности. Скажем, на карте мира в углу написан масштаб. На самом же деле масштаб на карте мира в каждой точке и по каждому направлению разный. Эта функция масштаба и содержит форму поверхности. По ней мы можем узнать, что поверхность сферическая.

Изначально метрика появляется для описания криволинейных координат на плоскости, если нам захочется такие нарисовать (точнее, наоборот - для описания плоскости в криволинейных координатах). Она (метрика) показывает, как правильно вычислять расстояния, если сетка координат не прямоугольная, а более сложная. Функция метрики следовала из вида криволинейных координат на плоскости, которые мы выбрали. Но потом было замечено, что функцию метрики можно же задавать произвольно, причем такой, которая не соответствует никаким криволинейным координатам на плоскости. И стало ясно, что некоторые из таких произвольных функций описывают криволинейные координаты на искривленной поверхности. А некоторые - такие искривленные двумерные пространства, которые нельзя даже нарисовать. Так что теперь искривленное пространство - это выбранная сетка координат + функция метрики в них.

Не то, чтобы это какой-то суррогат третьей координаты. Наоборот нужно понимать: это третья координата - суррогат этого описания. Размерность пространства - это число координат, необходимых для однозначного выбора любой его точки. Таких координат (лежащих на искривленной поверхности) у нас две. Следующее же - расстояние между точками - не связано с размерностью пространства. Пространства бывают не метрические, т.е. точки "поименованы" (координаты есть), а расстояния не заданы (метрики нет). Все равно это "двумерное многообразие". Если добавить метрику, оно не перестает быть двумерным, хотя теперь можно говорить о его "форме" и кривизне (после добавления метрики).

[Dmitriy40]

О, кроме интеграла я ещё и про перекрёстный член забыл. Впрочем на уровне идеи не принципиально, а точную формулу (в геометрии Римана или Лобачевского) всё равно не знаю.

[stalvoron]

Dmitriy40 и sergey zhukov, спасибо за подробное разъяснение, но возникает вопрос. Вы в своём описании (даже затрудняюсь в определении) "внешности" искривленного пространства, рассматриваете задачу определения расстояний в 2-х мерном криволинейном пространстве. И очень логично и понятно объяснили, почему и как эти расстояния на криволинейном двумерном пространстве вычисляются. А именно, как вычисление с использованием системы 2-х мерной криволинейной координатной сетки. Но объясните, чем это лучше, метода с использованием 3-ей координаты. применительно к нашей вселенной. Почему не вычислять расстояния межд А и Б как расстояния диагонали ортогонального параллелепипеда, если заключить этот "кусок" 2-х мерной поверхности в ортогональное 3-х мерное пространство? Предполагаю что Вы скажете, что и параллелепипед не будет ортогональным в искривленном пространстве нашей вселенной, но из чего, собственно. следует предположение об искривленности нашего "родного" пространства ? Может мой вопрос наивный, но хотелось бы разобраться, откуда вообще идёт утверждение о криволинейности нашего пространства. Это гипотеза или подтверждённый факт? У меня есть предположение, что основанием служат наблюдения астрономов за распространением света в космосе и данными по замерам расстояний межд космическими объектами. Это так? Ваше разъяснение даётся применительно к модели с изначально выбранным 2-х мерным криволинейным пространством. Догадываюсь, что выбор сделан не просто так, но почему?

[Dmitriy40]

stalvoron в сообщении #1631918 писал(а):

А именно, как вычисление с использованием системы 2-х мерной криволинейной координатной сетки. Но объясните, чем это лучше, метода с использованием 3-ей координаты. применительно к нашей вселенной. Почему не вычислять расстояния межд А и Б как расстояния диагонали ортогонального параллелепипеда, если заключить этот "кусок" 2-х мерной поверхности в ортогональное 3-х мерное пространство?

Ну например потому что криволинейную сетку мы нарисовать можем, вот прямо в имеющемся пространстве, а выйти (хотя бы приборами) в обрамляющее пространство чтобы уже там измерить разности координат у нас возможности нет. Технически нет. Если бы вдруг была - это и было бы доказательством физичности высших размерностей, что-то, что не укладывается в рамки трёхмерия.
Ну и просто концептуально неправильно, если достаточно двух координат, то зачем вводить нефизичную третью, принцип разумного минимализма против (лишняя координатная ось очень сильно хуже усложнения формул). Физика вообще очень сильно против принципиально ненаблюдаемых сущностей, каковой оказывается такая лишняя координата.
Хотя и в теории Калуцы-Клейна, и в теориях суперструн, таки вводят лишние измерения (иначе формулы не записываются, требуется больше координатных осей), но сразу возникает вопрос об их ненаблюдаемости и с этим там везде сложности, те или иные.

stalvoron в сообщении #1631918 писал(а):

хотелось бы разобраться, откуда вообще идёт утверждение о криволинейности нашего пространства. Это гипотеза или подтверждённый факт?

Тут вопрос о какой криволинейности говорите. Глобально вселенная плоская (евклидова), никакой криволинейности нет (с точностью наших измерений, порядка 1%). Это кстати одна из проблем космологии, почему именно плоская, решаемая (но пока без доказательств) теорией инфляции (которая до большого взрыва раздула Вселенную просто безумно и этим всё так растянула, что всё само собой разровнялось).
Локально же, там где гравитация (т.е. требуется ОТО), там просто экспериментальный факт, что вон те коэффициенты в формулах не единичны (тетраэдр с кривыми углами или "прямые" (кратчайшие, геодезические) вовсе не прямые в обычном смысле), вот и всё, это и есть признак криволинейности. В отсутствии гравитации, как например в СТО, пространство плоское (евклидово, а пространство-время псевдоевклидово, но это уже из-за особенности оси времени) и никакой криволинейности нет (или её можно глобально исключить выбором СК, по крайней мере в одной любой ИСО).

-- 05.03.2024, 20:49 --

Dmitriy40 в сообщении #1631924 писал(а):

Физика вообще очень сильно против принципиально ненаблюдаемых сущностей, каковой оказывается такая лишняя координата.

Честно говоря это слабый аргумент. Т.е. физики конечно против, но иногда прибегают. В физике встречаются случаи переформулировки одних теорий в другие, в том числе и с другим количеством измерений. И это имеет право на жизнь. И тогда уже нельзя сказать "как на самом деле", может быть и так и так. Например голографический принцип позволяет понизить размерность (количество измерений) задачи на 1 (вместо вычислений по объёму проводить вычисления по ограничивающей поверхности) и иногда задача при этом упрощается настолько что становится решаемой. Правда придётся ещё доказывать математическую корректность такой переформулировки, но кажется иногда это удаётся. А в теориях струн ситуация ровно обратная: формулы для многомерного объёма проще (в некотором смысле, не обязательно в обыденном) чем для трёхмерной поверхности/сечения (нашего трёхмерия).
Сразу прошу прощения за неформальность объяснения, уж как сам понял.

[stalvoron]

Dmitriy40, спасибо.

[diletto]

sergey zhukov
Dmitriy40
Прекрасные разъяснения. Весьма благодарен.
Получается, что методологически правильнее было бы называть пространство не искривлённым, а напряжённым или хотя бы неравноплотным... (Последнее, конечно, слишком скалярно звучит)

[sergey zhukov]

stalvoron
Дело в том, что "трехмерные расстояния" для двумерного пространства, про которое мы знаем только его внутреннюю кривизну, не имеют никакого смысла.

Я думаю, все видели это классическое объяснение "Как попасть из точки А в точку В максимально коротким путем?". Главный герой рисует две точки на листе бумаги и задает этот вопрос. Все пытаются соединить точки прямой линией на этом листе, но главный герой ухмыляется и складывает лист, прикладывая одну точку к другой. Мол, мыслить нужно в четвертом измерении, там же все рядом.

Выше уже было сказано, что все, что мы можем измерить и с чем имеем дело - это внутренняя кривизна. И было сказано, что внутреннюю кривизну листа бумаги невозможно изменить никакими сгибаниями. Он так и останется внутренне плоским. Но, как демонстрирует этот пример выше, трехмерные расстояния между точками листа можно менять в самых широких пределах, меняя его внешнюю кривизну, (сгибая его так и эдак) когда он вложен в трехмерное пространство. То же самое можно делать и с искривленным листом: соответствующая форма в трехмерном пространстве не определена однозначно заданием одной только ее внутренней кривизны.

Вывод: имея данные только о внутренней кривизне поверхности (то, что мы имеем), мы не можем однозначно вычислить "трехмерные расстояния", которые зависят от внешней кривизны. Это не значит, что мы тут доказали отсутствие высших измерений. Это значит, что их наличие совершенно ниоткуда не следует, а все, с чем мы имеем дело, объясняется в рамках данных нам измерений.

И, самое главное, что нужно помнить:

sergey zhukov в сообщении #1631875 писал(а):

И заметьте: этот способ описания "поверхности" даже более общий, чем трехмерная искривленная поверхность. Потому, что этим способом можно описать все искривленные трехмерные поверхности, а так же множество таких искривленных двумерных пространств, которые даже нельзя нарисовать при помощи трехмерных искривленных поверхностей.

.

Способ "погружения" искривленной двумерной поверхности в трехмерное плоское пространство ограничен. Во первых, он не однозначен. Во вторых, не универсален.

Выше было сказано, например, что для описания искривленной поверхности в самом общем виде нужно задать координаты и метрику. Метрика - это три независимые функции двух переменных. Казалось бы: а чем отличается такое представление: сетка координат на плоскости и функция от двух координат - "высота поверхности", т.е. функция $Z=f(X,Y)$. Т.е. как раз добавление третьего измерения. Но совершенно очевидно, что этот способ не универсальный: ведь тут одна функция от двух координат, а в метрике - три таких функции. Именно поэтому метрика описывает гораздо более широкий класс искривленных двумерных пространств, чем просто искривленная поверхность в трехмерном пространстве.

-- 05.03.2024, 23:27 --

diletto в сообщении #1631932 писал(а):

правильнее было бы называть пространство не искривлённым, а напряжённым

Ну, изначально все это пошло, разумеется, с исследования криволинейных поверхностей, где кривизна была наглядной. Из их исследования развился метод описания искривленных поверхностей при помощи метрики. Потом при обобщении уже понятия метрики выяснилось, что искривленные поверхности - это частный случай, а произвольно заданная метрика позволяет описывать гораздо больше. При этом термин "кривизна" сохранился. А при обобщении этих понятий на произвольные измерения представить что-либо наглядно уже вообще невозможно. Поэтому в книжках по дифференциальной геометрии нет ни одного рисунка.

Но важно помнить, что имея дело только с внутренней кривизной, мы все время остаемся внутри поверхности. Не следует считать, что "мы не в состоянии увидеть высшие измерения и можем только ползать по нашей поверхности". Это неправильное представление. Ведь если пространство плоское, нам это в голову почему-то не приходит. Но если оно внутренне искривленное, то неизбежно почему-то должны вдруг возникнуть новые измерения. Неверно.

Внутренняя кривизна находится внутри все тех же измерений. Ее наличие не делает высшие измерения ни необходимыми, ни более вероятными, ни невозможными. Внутреняя кривизна просто вообще никак не пересекается с высшими измерениями.

[Утундрий]

(Оффтоп)

То что я тут наблюдаю, конечно, печально, но некий прогресс всё же есть. Вот раньше люди не знали какова форма Земли, а теперь они уже не знают какова форма Вселенной. А в будущем они ещё чего-то (слабо сейчас представимого) знать не будут. Если выживут, конечно.