Ранее я заводил две темы:
Нехитрый способ решения несложных нестандартных школьных задач.
Обсуждение книги "Как решают нестандартные задачи".
Здесь я решил привести более общие способы решения нестандартных школьных (и возможно научных) задач, исходя из опыта решения подобных задач в сборниках и Задачнике Кванта.
Вот более "частные" "эвристики":
- Метод мат. индукции;
- Метод инвариантов;
- Промежуточное вспомогательное конструирование;
- Делать подстановки;
- Целые числа - делимость;
- Принцип Дирихле;
- Решать от конца, от того, что требуется;
- Доказательство от противного.
Более общие "эвристики":
- Исходить из смысла, условия задачи, ее операций;
- Привлечение других областей математики;
- Свойства объектов ("Заметим, что..."), порассуждать о свойствах, взаимосвязь с другими свойствами;
- Установление промежуточных фактов, гипотез и их проверка, исходя из цели;
- Неожиданные гипотезы и попытка их доказательства, их проверка;
- Провести некоторые преобразования;
- Многошаговое, поэтапное решение, поиск в глубину;
- Перебор;
- Изобретательность;
- Конструирование решения;
- Рассмотрение альтернативных вариантов, поиск в ширину.
Один способ "привлечение других областей математики" легко проиллюстрировать на примере
задачи из учебника Погорелова, которая была одной из вступительных задач в МФТИ:
Вписать в угол и точку B внутри угла окружность (т.е. окружность должна касаться сторон заданного угла и проходить через заданную точку).
Я долго мучился с решением этой задачи, пришлось обратиться к помощи форума. А решение довольно простое:
(Оффтоп)
Нужно использовать метод подобия фигур.
В принципе, можно еще обсудить разные способы решения научных задач, которые обычно стоят перед аспирантами и учеными.
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству 
.