Вступительная задача в МФТИ по геометрии

[Rasool]

Вписать в угол CAD и точку B внутри угла окружность.

Писали, что такая задача предлагалась на вступительном экзамене в МФТИ где-то в 1979-м году.
Ясно, что в общем случае есть два варианта построения окружности.
Я рассмотрел вырожденный случай, когда точка находится на стороне угла. Тогда окружность строится единственным образом. Центр окружности определяется тривиально - из точки на стороне проводится прямая перпендикулярно стороне и берется точка пересечения ее с биссектрисой угла.
В общем случае, после попытки выполнения некоторых неудачных построений, в голову пришла только мысль решить "в лоб".
Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленное от прямой AD и точки B - это парабола, проходящая через точку P (|BP| = |PD|) (на рисунке не показана). Можно выписать систему уравнений из уравнения этой параболы и уравнения биссектрисы AO и найти точку O их пересечения, которая будет центром искомой окружности.
Цель - найти аналитическое выражение для радиуса R = |OB| искомой окружности, исходя из известных параметров - точки B (например, ее координат), параметров прямой - биссектрисы AO. По этому аналитическому выражению можно теоретически построить отрезок длиной R (например, провести окружность с центром в точке B и радиусом R). Но, наверное, это слишком громоздко?

(Оффтоп)

[zykov]

Rasool в сообщении #1593893 писал(а):

Вписать в угол и точку внутри угла окружность.

С помощью циркуля и линейки? Или вообще хоть как-то?

-- 14.05.2023, 17:26 --

Если из $B$ на биссектрису опустить перпендикуляр в точку $W$ и обозначить $BW=h$ и $OW=x$, то будет $r^2=h^2+x^2$ и $r=(AW-x)\sin\frac{\alpha}{2}$.
Будет квадратное уравнение для $x$.

[Sinoid]

Rasool в сообщении #1593893 писал(а):

Вписать в угол и точку внутри угла окружность

Я правильно понимаю, что нужно построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку, расположенную внутри данного угла?

[Rasool]

zykov в сообщении #1593896 писал(а):

Rasool в сообщении #1593893 писал(а):

Вписать в угол и точку внутри угла окружность.

С помощью циркуля и линейки? Или вообще хоть как-то?

С помощью циркуля и линейки.

Sinoid в сообщении #1593898 писал(а):

Rasool в сообщении #1593893 писал(а):

Вписать в угол и точку внутри угла окружность

Я правильно понимаю, что нужно построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку, расположенную внутри данного угла?

Да.

[zykov]

Думаю, надо построить любую вписанную в угол окружность, взять точки её пересечения с лучом $AB$ и построить точку $O$ (две таких точки) из подобных треугольников (через $B$ провести прямые параллельные прямым через те точки пересечения и центр той окружности).

[wrest]

zykov в сообщении #1593906 писал(а):

Думаю, надо построить любую вписанную в угол окружность,

Гениально! Решений, кстати, два. Но по первому легко строится второе.

[Rasool]

zykov в сообщении #1593906 писал(а):

Думаю, надо построить любую вписанную в угол окружность, взять точки её пересечения с лучом $AB$ и построить точку $O$ (две таких точки) из подобных треугольников (через $B$ провести прямые параллельные прямым через те точки пересечения и центр той окружности).

Большое спасибо. Про подобие я и не подумал. В общем, логика тут ясна: раз идет речь о вписывании в угол, то напрашиваются идеи насчет масштабирования, подобия и т.д.

[Sinoid]

Rasool в сообщении #1593903 писал(а):

Да.

Не успел ответить. Это задача из многострадальной геометрии Погорелова. Задача из параграфа Подобие фигур. Задача номер 8, со звездочкой, хотя у меня ее решение заняло минут 15, при том, что я не олимпиадник. У Погорелова вообще много задач со звездочками являются на самом деле среднестатистическими задачами.

[Rasool]

Sinoid в сообщении #1593920 писал(а):

Не успел ответить. Это задача из многострадальной геометрии Погорелова. Задача из параграфа Подобие фигур. Задача номер 8, со звездочкой, хотя у меня ее решение заняло минут 15, при том, что я не олимпиадник. У Погорелова вообще много задач со звездочками являются на самом деле среднестатистическими задачами.

Не, ну если есть прямое указание решать задачу с помощью подобия фигур, то она быстро решается.

[Sinoid]

Rasool в сообщении #1594270 писал(а):

Не, ну если есть прямое указание решать задачу с помощью подобия фигур

Для меня тогда прямым указанием послужило название параграфа, к которому эта задача давалась Раньше ведь этого параграфа она не давалась.

[Rasool]

Sinoid в сообщении #1594281 писал(а):

Для меня тогда прямым указанием послужило название параграфа, к которому эта задача давалась Раньше ведь этого параграфа она не давалась.

То есть еще один вариант решения школьных геометрических задач повышенной сложности: перебирать и пробовать применять методы из разных разделов геометрии/разных разделов учебника.

[Sinoid]

Зачем из разных? Из одного Из того, к которому эта задача дана. В принципе, стандартная практика решения задач к теме, которую изучаешь. А потом это все остается в голове. Неплохое подспорье в дальнейшем.

[Rasool]

На решение задач вступительного экзамена в МФТИ давалось 5 часов. Если предположить, что на решение дается 5 задач, то на решение каждой задачи полагается примерно час. То есть за час абитуриент должен найти способ решения задачи (разумеется, не очень трудоемкий) и решить задачу.