Правильное определение работы силы

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Так просуммируйте или проинтегрируйте? Или в физике это одно и то же?

Это и в математике одно и то же. "Интегрируемые функции" и "суммируемые функции" - это синонимы.

Более точно, интеграл - это предел интегральных сумм. Если разбить область интегрирования (например, траекторию) на достаточно мелкие участки и составить интегральную сумму, то она приближённо равна интегралу. Так как в физике нигде нет абсолютной точности, все равенства приближённые в той или иной степени (из-за погрешностей измерения величин или из-за ограниченной применимости используемой модели), то для физиков интеграл и интегральная сумма, соответствующая достаточно мелкому разбиению области интегрирования - в общем, одно и то же.

-- 12.11.2023, 17:55 --

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Первая моя мысль - определить работу силы над телом как двойной интеграл.

Это Вы сочиняете. Не надо никакого двойного интеграла.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1617564 писал(а):

Работа нулевая, а сила не нулевая. Разгоняет сила, а не работа.

Спасибо за комментарий! Однако сей момент был понятен задолго до открытие этой темы и в этой теме мной не поднимался и не обсуждался. А так вы всё очень правильно заметили.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Понятие не имеет смысл в принципе?

Нет

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Насчёт "каждого" учебника я не писал.

Писали. Тут:

мат-ламер в сообщении #1615876 писал(а):

В любом учебнике физики рассматривается работа не просто силы, а работа силы относительно чего-то.

Давайте не растекаться мыслью по древу. Приведите пример "любого учебника физики", в котором вводится понятие "работа силы относительно чего-то".

-- 12.11.2023, 18:40 --

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Первая моя мысль - определить работу силы над телом как двойной интеграл. Один интеграл по всем точкам тела. Второй интеграл - по всем кривым (своя кривая для каждой точки).

Да хоть четверной. Тройной интеграл по точкам тела, и четвёртый - по времени. Ну и скорости войдут в такой интеграл, конечно. Это будет полная работа внешних и внутренних сил над телом за какой-то промежуток времени.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1617528 писал(а):

И, кстати, рисунок как иллюстрация понятия "работа силы" мне категорически не нравится. На нём много разных сил, у каждой своя работа. Но это не очевидно

Там такая ситуация нарисована. Есть некоторое тело, которое в нашей СО, связанной с землей, как-то движется. По нему по определенной траектории (скажем, по рельсам, проложенным по телу) перемещается по какому-то закону (у нее свой привод) маленькая каретка (она сцеплена с рельсами так, что ее нельзя оторвать). К каретке привязана веревка, за которую тянут с переменной силой и с переменным направлением, пока каретка едет по телу, которое как-то само движется.

Вопрос - какова работы силы, приложенной от каретки к телу в СО земли? Зависит ли она прямо от перемещения каретки по телу? Очевидно, нет. Т.е. косвенно зависит в том смысле, что это перемещение каретки определяет, в какой точке тела и в какой момент времени будет находится каретка, т.е. какая сила с каким перемещением какой точки тела "встретится" (здесь скорость тележки не зависит от скорости тела, а поведение силы так же независимо, хотя в случае катящегося колеса, очевидно, эти скорости пропорциональны, а поведение силы простейшее из возможных (постоянна по величине и направлению)). Но прямо элементарная работа силы зависит только от элементарного перемещения точки тела (в которой в настоящий момент находится каретка) и силы натяжения веревки в этой точке. А от перемещения каретки по телу не зависит. Если каретка все время переносит силу в точку тела, которая не имеет мгновенной скорости, то работа силы ноль, хотя каретка имеет скорость и в СО тела, и в СО земли.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1617576 писал(а):

Давайте не растекаться мыслью по древу. Приведите пример "любого учебника физики", в котором вводится понятие "работа силы относительно чего-то".

Кратко ответил в параллельной теме, где вы задали тот же вопрос. Если что-то непонятно, в моём ответе там, задавайте вопросы сюда. Только я сильно не понимаю, какое это имеет отношение к обсуждаемому сейчас вопросу. Ваш вопрос уже досконально освещён в этой теме. Ответ на свои непонятки в нём я получил и полностью удовлетворён. Если вы хотите доказать мне, что я сильно неправ уже в самой постановке вопроса, то я с вами полностью согласен. У меня нет времени и сил на споры. И не любитель я этого дела. Очень попрошу споры по этому вопросу оставить.

-- Вс ноя 12, 2023 20:19:26 --

Mikhail_K в сообщении #1617567 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Так просуммируйте или проинтегрируйте? Или в физике это одно и то же?

Это и в математике одно и то же. "Интегрируемые функции" и "суммируемые функции" - это синонимы.

Спасибо за ответ! Только вот я думаю, если тут я на форуме кому-нибудь подскажу "а давайте просуммируем функцию $f(x)$ на интервале от $a$ до $b$" , то как-то я сомневаюсь, что меня всегда поймут. Во всяком случае, это будет выглядеть немного непривычно.

-- Вс ноя 12, 2023 20:21:33 --

realeugene в сообщении #1617576 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Понятие не имеет смысл в принципе?

Нет

А вы можете как-то свою мысль пояснить по подробнее. Иначе она останется для меня непонятной.

-- Вс ноя 12, 2023 20:26:47 --

Mikhail_K в сообщении #1617567 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Первая моя мысль - определить работу силы над телом как двойной интеграл.

Это Вы сочиняете. Не надо никакого двойного интеграла.

1. Меня этот вопрос волнует.
2. Мне подсказали, что именно надо брать интеграл по всем точкам.
3. И я должен всё-таки сделать какую-то попытку решения.
4. Если не надо интеграла, то что надо?
5. Тут рядом товарищ утверждает, что работа силы над телом невозможно определить в принципе. Вы согласны?

-- Вс ноя 12, 2023 20:28:51 --

realeugene в сообщении #1617576 писал(а):

Да хоть четверной. Тройной интеграл по точкам тела, и четвёртый - по времени. Ну и скорости войдут в такой интеграл, конечно. Это будет полная работа внешних и внутренних сил над телом за какой-то промежуток времени.

Тут рядом мне подсказывают, что время и скорости к определению понятия работы не относятся никак. У меня окончательного мнения по этому вопросу пока не сложилось.

-- Вс ноя 12, 2023 20:32:03 --

Утундрий в сообщении #1617564 писал(а):

Решение не читать Айзермана, в принципе, правильное. Раз уж он вызывает такие жёсткие галлюцинации, то и правда, ну его!

Насчёт галлюцинаций я не понял. Однако согласен с вами, что Айзерман мне тут не поможет. Ну, не твёрдое у нас тело.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1617590 писал(а):

Только вот я думаю, если тут я на форуме кому-нибудь подскажу "а давайте просуммируем функцию $f(x)$ на интервале от $a$ до $b$" , то как-то я сомневаюсь, что меня всегда поймут. Во всяком случае, это будет выглядеть немного непривычно.

А у вас образование и не математическое?

-- 12.11.2023, 20:23 --

мат-ламер в сообщении #1617590 писал(а):

А вы можете как-то свою мысль пояснить по подробнее. Иначе она останется для меня непонятной.

Я вас просил привести определение из учебников понятия работы относительно какого-то тела. Вы ушли от вопроса. Вы почему-то постоянно возвращаетесь к фразе "работа относительно..." игнорируя, когда вам пишут, что это понятие бессмысленно.

[Mikhail_K]

realeugene
Как я понял, когда мат-ламер говорит про работу силы относительно такого-то тела, он имеет в виду, что работа вычисляется в системе отсчёта, связанной с этим телом.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1617603 писал(а):

Как я понял, когда мат-ламер говорит про работу силы относительно такого-то тела, он имеет в виду, что работа вычисляется в системе отсчёта, связанной с этим телом.

Ни разу это не имел в виду. Вначале темы я извинился за свою корявую терминологию. Обещал исправить (но так и забыл). Во-первых, всегда имеется в виду неподвижная лабораторная СО. Во-вторых, имеют в ходу такие термины, как работа по перемещению ... , работа над ... , работа сил, приложенных к ... . Говоря "относительно", я имел в виду работу, связанную с движением конкретного материального объекта, а не работу саму по себе. Ещё раз извиняюсь за корявую терминологию. Подскажите, какой термин применить в нашем случае?

-- Вс ноя 12, 2023 21:53:11 --

Начал смотреть литературу чуть более пристально. Вот Четаев в пункте 73 (в конце страницы 72 - 1987 г., рисунок 64) намекает, что в принципе при определении работы, которую я рассматриваю, не всё корректно.

-- Вс ноя 12, 2023 22:05:16 --

Продолжаю смотреть литературу. Ну, допустим, тело у нас не твёрдое (разгоняющееся колесо). Но ведь определения, используемые для работы сил для твёрдого тела ведь мы можем использовать? Рано я списал в архив Айзермана. К нему вернёмся позже. А вот Маркеев в пункте 52 пишет, что твёрдое тело он рассматривает как систему из $N$ точек. Оно так конечно можно. Но это не совсем то, что я хотел.

-- Вс ноя 12, 2023 22:22:38 --

Предлагаю вместо слов "относительно тела" употреблять слова "на перемещение тела". Если это внесёт ясность в обсуждаемый вопрос, буду рад.

-- Вс ноя 12, 2023 22:31:28 --

В общем я понял, что в тех учебниках, что я смотрю, для начала рассматриваются элементарные работы. Тут непонятно, они конечные или бесконечно малые. Затем эти работы суммируются по траектории. Затем суммируются по точкам. Причём непонятно, используются конечные суммы или бесконечные. Знаком интеграла не пахнет нигде. После чего для твёрдого тела или для системы конечного числа точек устанавливаются некоторые теоремы. После чего вопрос о необходимости использования интегралов или сумм отпадает. Теоремы доказаны. Для вычисления результатов можно пользоваться результатами теорем. Работу внешних сил по перемещению катящегося по шероховатой плоскости цилиндра определить корректно нельзя в принципе (Четаев).

-- Вс ноя 12, 2023 22:40:54 --

Поскольку меня тут упрекали. что я неправильно использую в физических приложениях слово "путь", то вот в определении работы силы у Арнольда используется слово "путь". Книга Арнольда называется "Математические методы классической механики".

мат-ламер в сообщении #1616820 писал(а):

Работа силы $\vec{F}$ по пути $S$ определяется через криволинейный интеграл $A=\int \vec{F} \cdot d\vec{S}$ . Иногда с этим путём ассоциируют некоторую абстрактную точку, которая движется вдоль пути. Такой абстрактный подход реализован, в частности, в учебнике механики Арнольда (параграф 6).

[мат-ламер]

Всё же совет не смотреть Айзермана оказался правильный. Лично мне по духу ближе учебник Болотина. В пункте 3.2.5 (стр.110) он рассматривает катящийся равномерно по поверхности идеальный шар. В этом случае связь между шаром и поверхностью идеальная. Тут и так ясно, что внешняя сила работы над шаром не совершает. В принципе, тут и самой внешней силы нет. Однако, если мы усложним нашу систему и в ней будут присутствовать неидеальные связи, он намекает на возможность преобразования неидеальные связи в идеальные. Буду копать в эту сторону.

-- Вс ноя 12, 2023 22:56:47 --

realeugene в сообщении #1617598 писал(а):

А у вас образование и не математическое?

А что, из моего ника это не ясно? Ламер, он и есть ламер

-- Вс ноя 12, 2023 23:25:15 --

Ещё неплохая книга Вильке В.Г. "Механика систем материальных точек и твёрдых тел". Катящийся шар рассмотрен в пункте 4.12. Правда, про работу и энергию там ничего нет.

-- Вс ноя 12, 2023 23:54:03 --

На гениальную фразу от Арнольда совершенно случайно наткнулся:

Цитата:

Примеры учат не меньше, чем правила, а ошибки - больше, чем непонятные доказательства.

Из книги "Математическое понимание природы". Надо будет книгу качнуть.

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1617590 писал(а):

Спасибо за ответ! Только вот я думаю, если тут я на форуме кому-нибудь подскажу "а давайте просуммируем функцию $f(x)$ на интервале от $a$ до $b$" , то как-то я сомневаюсь, что меня всегда поймут. Во всяком случае, это будет выглядеть немного непривычно.

существуют разные меры... бывают и бесконечные...Конечное множество с дискретной топологией - тоже $\sigma$-алгебра... это если по понятиям... математическим

мат-ламер в сообщении #1617590 писал(а):

работа силы над телом

для начала определите что такое тело аксиоматически, ибо вам уже 100500 сказали что механика работает с материальными точками... как только это определите перейдем к следующей части марлезонского балета, определения силы действующей на тело, и траектории тела

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Говоря "относительно", я имел в виду работу, связанную с движением конкретного материального объекта, а не работу саму по себе.

какого...Твердого тела? . Оно состоит из 100500 кристаликов , атомов и/или молекул. Если от всего этого нахрен не нужного знания отвлечься (если вы не занимаетесь сопроматом) - то можно взять предел , что твердое тело состоит из кучи материальных точек, расстояния между которыми фиксированы, этого условия достаточно, что бы именно для этой и только для этой ситуации вывести формулу работы - я вам тоже ее написал и указал где искать (любой учебник по теормеху там все свыводом есть, и вы даже нашли но бросили читать)

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Вот Четаев в пункте 73 (в конце страницы 72 - 1987 г., рисунок 64) намекает, что в принципе при определении работы, которую я рассматриваю, не всё корректно.

уважаемы вы нам решили решили философско--лингвистический обзор здесь выкатить по понятию работы. Не надо это мартышкин труд - его никто не будет читать - здесь все уже давно закончили 7 класс... А все учебники коггеренто это понятие опсывают... Вы же вытаскиваете фразу, без контекста предыдыущих 70 страниц

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Ну, допустим, тело у нас не твёрдое (разгоняющееся колесо).

Для галактик формулы из айзермана для твердого тела работать не будут

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Оно так конечно можно. Но это не совсем то, что я хотел.

Забудьте о слове бесконечность навсегда...Как из вестно бексонечной бывает только человеческая гупость... Даже в математике нет бесконечностей - есть некие предельные переходы в цепочках логических высказываний...

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Тут непонятно, они конечные или бесконечно малые.

можете считать силу постоянной - как сила тяжести на земле и тогда работа будет конечной и с достаточно высокой точностью (для многих практических целей, кроме геодезии) одинаковой по всему шарику

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Знаком интеграла не пахнет нигде.

ну точно горе от ума - без инеграла мир не мил...А вызнаете что Архимед посчитал объемы пирамиды, а затем сферы без всякого интеграла (хотя метод подсчета лего потом в основу интегрального исчисления)... И площадь круга по отношению к полупериметру тоже без интегралов вычисляли узе 2500 лет назад

мат-ламер в сообщении #1617604 писал(а):

Работу внешних сил по перемещению катящегося по шероховатой плоскости цилиндра определить корректно нельзя в принципе

померьте изначально массу этого тела. Купите на алиэкспресс дальномер, и часы , и периодически засекайте время и расстояния до объекта,. Их этого считает скорость, а из скорости кинетическую энергию. Изменение кинетической энергии
и будет работой... Я вам уже это писал с вашими любимыми интегралами ... У меня один только вопрос - вы в советской школе учились... Там были уроки физики и на них проводились лабораторные работы... Это как я вижу прошло мимо

мат-ламер в сообщении #1617605 писал(а):

Однако, если мы усложним нашу систему и в ней будут присутствовать неидеальные связи, он намекает на возможность преобразования неидеальные связи в идеальные. Буду копать в эту сторону.

не надо усложнять задачу ... вам бы с 7 классом для начала разобраться.

[wrest]

pppppppo_98 в сообщении #1617610 писал(а):

померьте изначально массу этого тела. Купите на алиэкспресс дальномер, и часы , и

Дальномер и часы не нужны. Достаточно смартфона, в котором есть видеосъемка.

-- 13.11.2023, 00:35 --

pppppppo_98 в сообщении #1617610 писал(а):

Изменение кинетической энергии и будет работой...

Механической работой, но может увеличиться и внутренняя энергия (нагреется от трения). Вот лошадь тянет сани, лошадиная сила на оглоблях есть, перемещение оглоблей и саней есть, но сани едут равномерно-прямолинейно...

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Так, начали появляться какие-то фамилии.

каждый кулик свое болото хвалит... Могу дсовсем другие назвать с теми же результатами

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

А Арнольд и вовсе не физик, а матфизик.

вообще-то он математиком был, учеником Колмогорова... хотя наиболее всего известен своими работами в механике

realeugene в сообщении #1617540 писал(а):

работа силы - это функционал на бесконечно малом перемещении материальной точки, к которой приложена сила.

и тоже нет...Функцонал это отображение из функционального пространства в пространство действительных или комплексных чисел... Тут же нет такового пространства. Есть одна траетория и известны силы в каждой точке траектории...

realeugene в сообщении #1617553 писал(а):

Фактически, это чистая математика.

а терема эмми нетер, или Эйлера-Лагранжа вы бумаете что-то от физики прихватило - зы нам их даже не в курсе теорфиза , а теормехе еще читали (кафедра теормеха), и параллельно на курсе в диффуров и вариационным исчислением , которая читала совсем другая кафедра(математики) кстати, да и таже кафедра читала уравнения математической физики..

Утундрий в сообщении #1617564 писал(а):

Первая моя мысль - определить работу силы над телом как двойной интеграл. Один интеграл по всем точкам тела. Второй интеграл - по всем кривым (своя кривая для каждой точки).

определяйте так - нет преграды патриотам (с)

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

А у нас работа внешних сил (сил трения покоя) над нашим телом нулевая. Значит мы не должны нашу модель рассматривать как твёрдое тело. И пятая глава Айзермана нам не подходит.

а вы что где-то видели саморазгоняющееся колесо

мат-ламер в сообщении #1617558 писал(а):

Пока выложил мнение про Айзермана.

и как вы умудрились за 5 часов айзермана прочесть. Дивлюсь... У меня это заняло суток наверное трое (чистого времени чтения),или неделю с перерывами.. И уже даете оценочное суждение... Вы так все остальные буквари тоже прочитали?

-- Пн ноя 13, 2023 01:46:58 --

wrest в сообщении #1617613 писал(а):

но может увеличиться и внутренняя энергия (нагреется от трения).

не забивайте человеку голову. ему 7 класс осилить, а вы начинаете речи о тепловых явлениях

[Mihr]

pppppppo_98 в сообщении #1617616 писал(а):

Функцонал это отображение из функционального пространства в пространство действительных или комплексных чисел...

Нет. Функционал в обычном смысле - это отображение из произвольного множества в числовое (а в более широком смысле - из произвольного множества в некоторое кольцо).

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1617616 писал(а):

и тоже нет...Функцонал это отображение из функционального пространства в пространство действительных или комплексных чисел... Тут же нет такового пространства. Есть одна траетория и известны силы в каждой точке траектории...

Работа сил в общем случае - это функционал, заданный на возможных траекториях системы, а не функция её состояния.

[Утундрий]

pppppppo_98 в сообщении #1617616 писал(а):

Утундрий в сообщении #1617564 писал(а):

Первая моя мысль - определить работу силы над телом как двойной интеграл. Один интеграл по всем точкам тела. Второй интеграл - по всем кривым (своя кривая для каждой точки).

Ничего подобного я не говорил.