Правильное определение работы силы

[мат-ламер]

Вижу, что очень много мне тут написали. Буду обдумывать всё. Пока лишь зафиксирую, о чём вообще идёт речь и какие тараканы в голове меня мучают. Мы рассматриваем модель разгоняющегося колеса, которую я описал на третьей странице темы:

мат-ламер в сообщении #1617033 писал(а):

Теперь рассмотрим третью модель. Это будет модель разгоняющегося автомобиля. Для этого в нашей второй модели разгоняющегося колеса добавим ещё одну материальную точку где-то сбоку от колеса. Она будет двигаться с той же скоростью, что и центр колеса (то есть её положение относительно колеса фиксировано). В этой модели будут действовать внутренние силы. Будем считать, что эти силы действуют между добавленной точкой и точками колеса.

Моя модель состоит из двух частей. Первая часть - собственно колесо. Под колесом мы будем понимать континуум материальных точек, расположенных по окружности колеса. Вторая часть - одна материальная точка, расположенная где-то сбоку от колеса. Это точка неподвижна относительно центра колеса. Понятно, что эта модель не является твёрдым телом. Рассмотрение просто колеса как твёрдого тела без дополнительной точки меня не устраивает. На колесо действует внешняя сила - сила трения покоя. Эта сила не производит работу по перемещению колеса (точек колеса, если это будет точнее). Поэтому непонятно, откуда у разгоняющегося колеса берётся кинетическая энергия.

Если наше тело не является твёрдым, то это отнюдь не означает, что его нельзя изучать методами принятыми в механике. Раздел механики, который занимается подобными вещами, называется динамикой систем. Этого раздела к сожалению в простых книгах по механике, которые есть у меня на компьютере (Айзерман, Болотин, Маркеев, Голубев, Арнольд, ЛЛ-1, Голдстейн), я не нашёл.

Для начала хотелось бы получить чёткое определение работы внешних сил, которые действуют на нашу систему. Внешние силы у нас действуют сугубо на точки колеса. Та часть нашей системы, которая является колесом, является твёрдым телом. Поэтому разумно воспользоваться определениями, взятыми из простых книг и которые относятся сугубо к твёрдому телу.

Все эти книги определяют работу внешних сил как сумму работ внешних сил по перемещению каждой точки. И тут мне становится стрёмно. У нас точек континуум. Как мы можем суммировать по континууму? Понятно, что работа по перемещению каждой точки равна нулю. Из этого совсем неочевидно, что суммируя континуум нулей мы получим нуль. Мы получаем неопределённость типа $0 \cdot \infty$ .

Переход к пределу, рассматривая для начала нашу систему как систему, состоящую из конечного числа точек, меня не устраивает. Я не вижу в нём строгости. Хотя интуитивно тут всё понятно. Дело в том, что если у нас есть континуум точек, а сила действует только на одну точку, то эта ситуация сильно напоминает. что эта сила схожа с дельта-функцией Дирака. И чтобы как-то с этим работать, мы либо должны нашу обобщённую функцию как-то размыть на некоторые соседние точки. Либо просто брать интеграл от обобщённой функции, который отнюдь неочевидно, что он будет нулевой. Хотя это действительно будет так в нашем случае.

Все рассматриваемые подходы могут привести к цели. Но они мне кажутся довольно замысловатыми. Поэтому я захотел увидеть чёткое определение работы по перемещению континуума точек не через сумму, а через двойной интеграл. Это было бы сильно проще для моего понимания. Аргументы, что в математике интеграл есть предельный переход от конечных сумм, меня не устраивает. Ибо таким образом корректно определить, что есть интеграл от обобщённой функции невозможно. Поскольку ни рассматривать обобщённые функции, ни вообще спорить на эту тему, как-то сильно не хочется, то хотелось сразу рассмотреть определение через интеграл. А потом уже, глядя на этот интеграл, рассматривать. а что там и к чему стремится. И ни в одной из перечисленных книг я такого определения не нашёл. Из чего я пока делаю вывод, что это сильно неспроста. Это делается не только из педагогических соображений. Там реально возникают достаточно серьёзные нюансы.

[peg59]

Это вы еще вертолет не рассматривали.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1617620 писал(а):

Работа сил в общем случае - это функционал, заданный на возможных траекториях системы, а не функция её состояния.

траектория одна - вот в чем ньюанес

-- Пн ноя 13, 2023 11:39:07 --

Утундрий в сообщении #1617624 писал(а):

Ничего подобного я не говорил.

(Оффтоп)

по видимому не правильно процитировал... к вам претензий нет

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1617651 писал(а):

траектория одна - вот в чем ньюанес

Неа. Это уже в ответе она одна. Но слово "виртуальный" физики начали употреблять задолго до появления интернета.

-- 13.11.2023, 13:08 --

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

меня не устраивает

Всех устраивает, а вас не устраивает. Ну, удачи в построении собственного мира с собственной физикой, чо.

[peg59]

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Понятно, что работа по перемещению каждой точки равна нулю. Из этого совсем неочевидно, что суммируя континуум нулей мы получим нуль. Мы получаем неопределённость типа $0 \cdot \infty$ .

Не получаем. Сумма нулей всегда нуль.

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

если у нас есть континуум точек, а сила действует только на одну точку, то эта ситуация сильно напоминает. что эта сила схожа с дельта-функцией Дирака.

Не напоминает. Вообще.

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Понятно, что эта модель не является твёрдым телом

ка-то странно что колесная пара на рельсе не является твердым телом... железнодорожники в трансе

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

На колесо действует внешняя сила - сила трения покоя.

сила трения покоя - это для тел с относительно широкой поверхностью соприкосновения (впрочем может быть и деформированное колесо), когда тело тянут, но вытянуть не могут , ибо тянущая сила (сдвиговые напряжения) ниже предельной силы молекУлярного сцепления. И действительно не произволит работу. Как только тянущее усилие превзойдет некоторый предел - так тут же тело начнет перемещаться и сила трения начнет производить работы...

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Поэтому непонятно, откуда у разгоняющегося колеса берётся кинетическая энергия.

внешняя сила, действующая на ось наверное разгоняет колесо...Не?

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Если наше тело не является твёрдым, то это отнюдь не означает, что его нельзя изучать методами принятыми в механике.

и то верно... сопромат никто не отменял... но вам пока рано в ту строну смотреть... 7 класс нужно для началя закончить, прежде чем вузовские предметы осваивать

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

У нас точек континуум. Как мы можем суммировать по континууму?

у вас горе от ума... континуума в физике(той которая математическая) не бывает - бывают разной степени обоснованности предельные переходы... даже количество атомов в колесе что-то около 10^23-10^28 ...Это очень большое но конечное число... а чтобы к механкке перейти нужно еще на 3-6 ( а то и 9) порядков сократить это число с тем что бы рассматривать термодинамические подсистемы с относительно однородные

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Я не вижу в нём строгости.

три месяца поиска строгости в трех соснах....ыыыы... не вам бы о строгости говорить...

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

то эта ситуация сильно напоминает. что эта сила схожа с дельта-функцией Дирака.

свят-свят... спаси и сохрани...Оади бога не святотатствуйте - хотя бы функцию дирака не трогайте... 7 классники ее точно не ведают

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Поэтому я захотел увидеть чёткое определение работы по перемещению континуума точек не через сумму, а через двойной интеграл.

Нет помехе патриотам(с)...Но за три месяца увас пока кроме лозунгов, не одной математической формулы не вышло...И чото мне кажется все будет в том же стиле...Вы кстати случаем не заняты ли тренингом нейросети - ужо больно похож диалог с чатгпт

мат-ламер в сообщении #1617636 писал(а):

Это было бы сильно проще для моего понимания. Аргументы, что в математике интеграл есть предельный переход от конечных сумм, меня не устраивает.

я вам по секрету скажу что мера лебега тоже предельный переход (пополнение) меры жордана, а мера жордана - это предел конечных сумм... Переживете л вы это известие - не знаю

-- Пн ноя 13, 2023 17:08:54 --

realeugene в сообщении #1617672 писал(а):

Всех устраивает, а вас не устраивает. Ну, удачи в построении собственного мира с собственной физикой, чо.

Не ну а чо... Пусть пытается... Насколько мне известно и поныне механика не аксиоматизирована... глядишь может че и выйдет... правда что-то я строгости не вижу математической - ну то такое , оценочное суждение

[EUgeneUS]

pppppppo_98 в сообщении #1617709 писал(а):

сила трения покоя - это для тел с относительно широкой поверхностью соприкосновения (впрочем может быть и деформированное колесо), когда тело тянут, но вытянуть не могут , ибо тянущая сила (сдвиговые напряжения) ниже предельной силы молекУлярного сцепления. И действительно не произволит работу. Как только тянущее усилие превзойдет некоторый предел - так тут же тело начнет перемещаться и сила трения начнет производить работы...

Вы, похоже, поставили цель - окончательно запутать ТС

Представим колесо на дороге, которое потянули за ось со всё возрастающей силой..
1. В первый момент времени колесо покоится, так как момент силы меньше момента трения качения.
2. Потом момент силы превысил момент силы трения качения, и колесо покатилось без проскальзывания.
3. Ещё дальше, сила стала настолько большой, что колесо не может крутиться без проскальзывания.

Так вот, принято, как минимум в школьных учебниках и на уровне ТС, говорить, что в пункте два в точке соприкосновения колеса и дороги действует сила трения покоя.

[pppppppo_98]

EUgeneUS в сообщении #1617731 писал(а):

2. Потом момент силы превысил момент силы трения качения, и колесо покатилось без проскальзывания.

EUgeneUS в сообщении #1617731 писал(а):

1. В первый момент времени колесо покоится, так как момент силы меньше момента трения качения.

Таки все таки не трения покоя - а трения качения

EUgeneUS в сообщении #1617731 писал(а):

что в пункте два в точке соприкосновения колеса и дороги действует сила трения покоя.

а трения покоя - это когда на доргое лежит чемодан без ручки , который выкинуть жалко , а нести тяжело - вот и приходится пинать... дык вот трения покоя это минмальная сила удара при которой он таки сдвинется с места

[EUgeneUS]

pppppppo_98 в сообщении #1617741 писал(а):

Таки все таки не трения покоя - а трения качения

Таки нет.
Трение качения, конечно, никуда не денется. Но с ростом силы, действующей на ось колеса, оно станет пренебрежимо малым (например, для пары сталь по стали).
И условие непроскальзывания будет записано, в точности, как для силы трения покоя: $F < \mu mg$

Для трения качения даже коэффициент не безразмерный.
Вот для стали по стали: $g = 0.5$ миллиметров. Можете сами оценить величину силы трения качения для колесной пары вагона. И понять, это эта сила не имеет значения для раскручивания колеса, которое потянули за ось.

-- 13.11.2023, 18:22 --

UPD: в случае колеса, силу трения покоя ещё иногда называют "силой сцепления", но, опять же, она к трению качения не имеет никакого отношения.

-- 13.11.2023, 18:26 --

UPD2: более того, для колеса, которое тянут за ось, момент силы трения качения и момент силы трения покоя даже действуют разнонаправлено: момент трения качения тормозит колесо, а момент силы трения покоя - раскручивает.

[мат-ламер]

Маленькое замечание по поводу моих трудностей с освоением физической терминологии. Вот открываю лекции Алешкевича по общей физике (т.1). Лично у меня мнение, что в своих лекциях он даёт достаточно строгое и понятное изложение предмета. Вот лекция 5. Перед формулой (5.2) я вижу такой текст: "найдём работу силы на всём пути". И тут у меня вопросы. Следует ли эту фразу и последующую формулу рассматривать как определение? Если да, то я отношу это определение к третьему типу определений - "хитрых определений" (см. первый пост темы). В самом определении присутствует только сила и только путь, на котором действует эта сила. Однако, если мы рассмотрим контекст, то мы увидим, что вначале параграфа он рассматривает материальную точку, которая движется по некоторой траектории. И у читателя возникают законные вопросы. Эта материальная точка присутствует тут сугубо для иллюстрации, о чём идёт речь? Или она неотъемлемая часть определения? Далее, у Алешкевича в определении присутствует слово "путь". Я тут приводил своё понимание этого слова. Спрашивал помогающих, как это слово обычно понимается в физике. Мне ответили, как это слово понимается в школьной физике. Но я то спрашивал не про школьную физику. Я спрашивал про физику. Точнее про тот раздел физики, про который идёт разговор в данной теме. Посмотрел начало параграфа. Вроде Алешкевич понимает слово "путь" как синоним слова "траектория".

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1617816 писал(а):

Вот открываю лекции Алешкевича по общей физике (т.1

Вы вообще чем занимаетесь? Пытаетесь разобраться со своими непонятками или рецензируете 100500 томов литературы по общей физике?
Возьмите школьный учебник для продвинутых классов и учите по нему. Когда освоитесь с пониманием по нему, вот только тогда можно брать что-то другое.

[Mihr]

мат-ламер, многие слова в русском языке, как и в других языках, контекстно-зависимы. Наверняка Вам это известно. В предложении

мат-ламер в сообщении #1617816 писал(а):

найдём работу силы на всём пути

слово "путь", разумеется, не является физическим термином (не выступает в значении "длина траектории"), а понимается так, как принято в повседневной речи. Можете считать, что в данном контексте это синоним самой траектории, а не её длины. Подобное употребление слов сложилось давным-давно и с непониманием оного, я, правда, никогда доныне не сталкивался. Мне кажется, что Вы - первый человек, которому удалось споткнуться на столь крохотном "препятствии".

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1617817 писал(а):

Вы вообще чем занимаетесь? Пытаетесь разобраться со своими непонятками

Да. Это вы верно подметили. У меня сейчас в голове возникли некоторые интересные гипотезы, которые позволяют мне думать, что я на верном пути избавления от своих непоняток. Об этом я напишу подробно сегодня чуть позже. Но пока я пришёл к выводу, что мой путь избавления от своих непоняток лежит в том, чтобы правильно понимать основные термины "траектория", "путь", "кривая", "работа силы". Поэтому мне столь важно разобраться в значении этих понятий в физике как можно лучше. Давайте пока об этом спорить не будем. Смысл сказанного мной прояснится позже, когда я выложу идеи, которые проясняют мои непонятки.

-- Вт ноя 14, 2023 13:11:15 --

Mihr в сообщении #1617820 писал(а):

Наверняка Вам это известно.

Давайте слово "наверняка" по отношению ко мне не употреблять. Я лишь высказываю предположения.

-- Вт ноя 14, 2023 13:15:30 --

Mihr в сообщении #1617820 писал(а):

В предложении
мат-ламер в сообщении #1617816

писал(а):
найдём работу силы на всём пути

---------------------------------------------------------

слово "путь", разумеется, не является физическим термином (не выступает в значении "длина траектории"), а понимается так, как принято в повседневной речи.

Я понял это так, что слово путь является физическим термином. Как понимается слово "путь" в повседневной речи и в школе, я не знаю. Мне гораздо более интересно, как понимается слово "путь" в курсах общей физики и механики. Если вам эта тема интересна, то готов с вами её обсудить.

-- Вт ноя 14, 2023 13:19:34 --

Mihr в сообщении #1617820 писал(а):

Можете считать, что в данном контексте это синоним самой траектории,

Так, а я о чём! Я же писал:

мат-ламер в сообщении #1617816 писал(а):

Вроде Алешкевич понимает слово "путь" как синоним слова "траектория".

Mihr в сообщении #1617820 писал(а):

Мне кажется, что Вы - первый человек, которому удалось споткнуться на столь крохотном "препятствии".

Удалось, не удалось, будем посмотреть.

-- Вт ноя 14, 2023 13:23:55 --

мат-ламер в сообщении #1617827 писал(а):

будем посмотреть.

Прошу не придираться, если иногда я неправильно выражаю свои мысли. Дело в том, что я живу не в России. И иногда не в ладах с грамматикой и выражаю свои мысли, как это принято в окружающем меня русскоязычном пространстве.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1617672 писал(а):

Всех устраивает, а вас не устраивает. Ну, удачи в построении собственного мира с собственной физикой, чо.

Ну, и куда привели тут мои размышления? Пусть работу силы на перемещение тела мы представим в виде двойного интеграла. Первый интеграл - по рассматриваемым точкам. Второй интеграл - по кривым (пока употребляю это слово), которые проходят эти точки. Интеграл берём от рассматриваемой силы, которая задана на нашем пространстве. В нашем случае - это сила трения. Она отлична от нуля на некотором отрезке, который лежит на дороге, по которой катится колесо. И она равна нулю вне его. Теперь стоит вопрос, а как его вычислить? Если его сводить к повторному, сначала считая интеграл по каждой точке колеса, то мы приходим к неопределённости типа $0 \cdot \infty$ . Для случая трения покоя эта неопределённость сводится к нулю. А если колесо начнёт проскальзывать, то эта неопределённость получается отнюдь ненулевая. Хорошо, не будем этот интеграл сводить к повторному. У нас подынтегральная функция отлична от нуля сугубо на некотором отрезке. И тут двойной интеграл у нас вроде свёлся к одномерному. Но, считая этот одномерный интеграл, мы получаем, что для случая трения покоя этот интеграл отличен от нуля. Значит что-то не так с нашими определениями. Первый выход - считать наши силы как обобщённые функции. Ведь приложение силы к конкретной точке - это математическая абстракция. Сила на самом деле распределена на некотором отрезке её приложения. И надо говорить о плотности силы на этом отрезке. Но мне пока сильно не хочется идти по пути использования обобщённых функций. Выход второй. Мы не будем использовать понятие работы силы вдоль кривой. Мы будем использовать понятие работы силы по перемещению материальной точки. А материальная точка движется в каждый момент времени с определённой скоростью. И тогда естественно говорить о мощности силы по перемещению этой точки в конкретный момент времени. Теперь для конкретного момента времени мы можем просуммировать эти все мощности по всем точкам и получить мощность силы для всего тела. Теперь осталось вычислить интеграл от мощности по времени и получить правильный ответ.

И тут стоит вопрос, а почему не проходит у нас интегрирование по кривой? Дело в том, что если рассматривать силу, заданную на этой кривой, то она не будет непрерывна в нашем случае. И применять теорему о том, что все интегралы будут равны для любой параметризации данной кривой, будет неправомерно. Отсюда можно сделать вывод. что понятие работы силы вдоль кривой иногда может привести к абсурду.

[realeugene]

(Оффтоп)

Попытался прочесть текст про двойные интегралы - и ничего не понял