Корректна ли формулировка задачи (на пределы функций).

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1612279 писал(а):

Причем тут "современные представления о математике" или "представления о современной математике", когда речь об учебной задаче?

Притом, что учебные курсы должны учить думать по-математически; думать так, как думают математики. Это гораздо важнее, чем какая-то частная способность "находить результаты".

Требования "находить ответ" в Вашем смысле (а точнее, оправдываться за способ его предъявления) этому мешают. В математике есть законы логики, допускающие строгое и ясное изложение, а по-математически внятных и строгих законов "нахождения" ответа (в Вашем смысле) нет и они никому не нужны.

Если кроме доказательства ученик должен ещё и "оправдаться" за своё решение, то это прямой путь к шаблонности решений, потому что способов такого "оправдания" (которые точно будут приняты) - почти наверняка, конечное число.

-- 03.10.2023, 22:34 --

EUgeneUS в сообщении #1612279 писал(а):

Подчеркну: находить (результаты), ибо в условии написано "найти", а не "угадать путём многократного повторения иисусовой молитвы".

В математике нет разницы между этими понятиями. И проведение такого различия математике вредит, потому что нагружает её чем-то мутным, нестрогим, внематематическим.

[EUgeneUS]

Mikhail_K в сообщении #1612283 писал(а):

Притом, что учебные курсы должны учить думать по-математически; думать так, как думают математики.

Именно.
Курсы должны учить думать и находить результаты.
Умение находить результаты - результат прохождения курса, и является предметом оценки.
Если умение находить результаты не демонстрируется, а демонстрируется угадывание с помощью мухоморов, а равно с помощью иисусовой молитвы, то оценка негативная, субъект ниасилил курс.

-- 03.10.2023, 22:38 --

Mikhail_K в сообщении #1612283 писал(а):

В математике нет разницы между этими понятиями. И проведение такого различия математике вредит, потому что нагружает её чем-то мутным, нестрогим, внематематическим.

Извините, но это уже какое-то пограничное состояние.

-- 03.10.2023, 22:39 --

Именно способность решать задачи без мухоморов и молитв - строго.
А решение задач с мухоморами и молитвами - это нестрого.

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1612284 писал(а):

Курсы должны учить думать и находить результаты.

Повторю - такие представления имеют право на существование, но к математике они не имеют отношения.

Представьте решение, в котором ученик в какой-то момент возводит левую и правую часть в квадрат. Почему он так решил сделать? Почему не в куб, почему не в степень $3.14$? Может быть, потому что там имеются квадратные корни. А если не имеются? - бывают и задачи без квадратных корней, где возведение в квадрат тоже полезно. А если можно возвести обе части в квадрат (а не в куб), то значит можно и подставить число $2$ (а не $3$).

На самом деле, в конечном итоге объяснение "откуда взялся ход решения" - только одно: я попробовал и получилось. Значительная часть изящества математики в том, что если получилось, то победителей не судят, оправдываться за решение не надо. Может быть, покопавшись в своих мыслях, и можно выудить оттуда, почему вообще появилась мысль возводить в квадрат, но ученик не обязан этого делать, не надо его нагружать этой внематематической хренью. Тем более что мысли, ведущие к верной идее, могут быть нестрогими или вообще неверными - никто не обязан за них оправдываться или вообще признаваться в них.

Конечно, объяснить это можно только тем, кто чувствует эту сторону математики. Поэтому ещё раз подчеркну - здесь не о чём спорить, это вопрос культуры.

[EUgeneUS]

Mikhail_K в сообщении #1612290 писал(а):

На самом деле, в конечном итоге объяснение "откуда взялся ход решения" - только одно: я попробовал и получилось.

Речь не откуда взялся ход решения. А о наличии хода решения как такового.

-- 03.10.2023, 22:49 --

Mikhail_K в сообщении #1612290 писал(а):

Конечно, объяснить это можно только тем, кто чувствует эту сторону математики. Поэтому ещё раз подчеркну - здесь не о чём спорить, это вопрос культуры.

Да, культура.
Возьмем с потолка число и подставим. Нуок.

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1612292 писал(а):

Речь не откуда взялся ход решения. А о наличии хода решения как такового.

Ход решения с угадыванием ответа и последующим доказательством - вполне корректный ход решения. Утверждать иное = не понимать смысл математических рассуждений. Из дискуссии выхожу, ибо бесполезно.

[EUgeneUS]

Mikhail_K в сообщении #1612294 писал(а):

Утверждать иное = не понимать смысл математических рассуждений. Из дискуссии выхожу, ибо бесполезно.

Тоже склоняюсь к этой мысли.
Ежели кто-то считает, что математическся культура заключается в понимании, что математмческие рассуждения есть угадывания (одного числа из континуума), то признаю - енто моему разуму недоступно и противно.

[Dedekind]

EUgeneUS в сообщении #1612277 писал(а):

В слове "только", что исключает мухоморные трипы, божьи откровенья, необоснованные желания и прочие томления духа.

А еще, видимо, исключает возможность пользоваться арифметическими действиями, ионами Калия и Натрия в мозге для думанья и чернилами в ручке для записи ответа. Ну а что, эти же объекты не помечены в условии как разрешенные:)

EUgeneUS в сообщении #1612284 писал(а):

А решение задач с мухоморами и молитвами - это нестрого.

Нет. Решение строгое - если оно математически обоснованное. Угадывание единицы из молитвы с последующим ее обоснованием через определение предела - строгое решение.

EUgeneUS в сообщении #1612292 писал(а):

Возьмем с потолка число и подставим. Нуок.

Тоже не вижу ничего "нематематичного" в таком подходе. Интуиция всегда была одной из существенных движущих сил в математике. Победителей действительно не судят. Подставил и получилось - молодец. Не получилось - думай дальше: или подставляй еще, или меняй подход.

[EUgeneUS]

Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):

Угадывание единицы из молитвы с последующим ее обоснованием через определение предела - строгое решение.

Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):

Тоже не вижу ничего "нематематичного" в таком подходе.

Открытый вопрос: найти число, с которого начинается цепочка последовательных натуральных чисел длиной $15$, все из которых имеют ровно $36$ делителей.
Тут нужно "угадать" всего лишь любое число из бесконечного подмножества натуральных чисел. А не одно единственное из $\mathbb{R}$
Угадывайте "культурно" и "математично".

-- 03.10.2023, 23:12 --

UPD: можете помолиться. Мухорморный трип не могу рекомендовать - местные законы запрещают.

[Dedekind]

EUgeneUS
А кто сказал, что это подход работает для всех математических задач?:) Поэтому я и сказал:

Dedekind в сообщении #1612305 писал(а):

Подставил и получилось - молодец. Не получилось - думай дальше: или подставляй еще, или меняй подход.

[EUgeneUS]

Dedekind
Угадывать - это
а) не подход
б) не работает ни для каких задач.

Есть, кстати, типичный пример с "угадыванием" - поиск корней полинома, когда корень ищется ("угадывается") как делитель свободного члена.
Так вот. Даже тут никакого угадывания нет. А есть конечный перебор, который приводит к таким вариантам:
1. ищем корень в целых числах.
а) Нашли. Прекрасно.
б) Не нашли. Целочисленных корней нет.

2. Не нашли в целых числах. Попробуем также угадать среди действительных. Угадывайте

-- 03.10.2023, 23:39 --

Dedekind
И ещё повторю.
1. Угадать одно единственное число из $\mathbb{R}$ - невозможно. Так как у Вас жизни хватит на проверку только конечного множества.
2. Поэтому все эти разговоры про "я угадал, что предел (наверное, скорее всего) равен $1$" - это разговоры в пользу бедных собачек. Которые понимают, что НЕ угадали, а выразить словами и символами свои мысли не могут.

И не нужно, пожалуйста, объяснять, что такие "собачки" - это современный тренд, мейнстрим в математике, и вообще, "культура".

[Dedekind]

EUgeneUS в сообщении #1612317 писал(а):

Угадывать - это
а) не подход
б) не работает ни для каких задач.

Как это не работает, если вот только что была продемонстрирована задача, для которой работает? Причем, в этой задаче для угадывания даже не нужно было формулировать свойства предела в явном виде, достаточно просто попробовать самые очевидные числа, на которые намекает сам вид последовательности.

И это ничем не отличается от задачи про корни полинома. Там перебор среди конечного числа делителей, и тут перебор среди конечного числа разумных вариантов, которые сразу приходят в голову. И точно так же: нашли быстро - прекрасно, не нашли быстро - пробуем что-то другое. Никто же не говорит, что нужно часами сидеть и перебирать тысячи натуральных чисел:)

[EUgeneUS]

Dedekind в сообщении #1612318 писал(а):

Причем, в этой задаче для угадывания даже не нужно было формулировать свойства предела в явном виде, достаточно просто попробовать самые очевидные числа, на которые намекает сам вид последовательности.

Какой вид последовательности, и что значит "намекает"?
Как относится "намекает" к математической культуре?

Очередной раз повторяю, все эти "намеки" и "виды" - это неосознанное применение свойств пределов. А ежели оно так и остаётся неосознанным и не может быть подтверждено выводами из определения - то, "садись, два". Материал не усвоен. (есть вариант, как-то по-другому извернуться, тут были варианты, но все они предполагают не угадывание).

Dedekind в сообщении #1612318 писал(а):

И это ничем не отличается от задачи про корни полинома. Там перебор среди конечного числа делителей, и тут перебор среди конечного числа разумных вариантов, которые сразу приходят в голову.

Конечное число делителей не зависит от головы, что в неё приходит, и даже от некой "разумности".
И может быть перебрано за конечное время.

[mihaild]

Так, ну давайте я поподробнее запишу начало решение.
1. $\frac{4}{\sqrt n} + 1 - 1 = \frac{4}{\sqrt n}$ (из свойств вещественных чисел, предлагаю всё же их тоже считать известными)
2. $\left | \frac{4}{\sqrt n} \right | = \frac{4}{\sqrt n}$ (тоже из свойств вещественных чисел)
3. $|\frac{4}{\sqrt n} + 1 - 1| = \frac{4}{\sqrt n}$ (транзитивность равенства)
Дальше вроде всё понятно и разногласий нет. И какому пункту противоречит такое решение?
Вопрос "почему в качестве первого утверждения взято такое" смысла не имеет, какое-то утверждение должно быть первым, почему бы и не такое. Может я вообще все доказательства с этого утверждения начинаю, имею право.

[Dedekind]

EUgeneUS в сообщении #1612320 писал(а):

Какой вид последовательности, и что значит "намекает"?
Как относится "намекает" к математической культуре?

Например, единица присутствует в общем члене последовательности в виде отдельного слагаемого. Уже повод ее проверить. Да напрямую относится. Когда решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами начинается со слов: "Будем искать решение в виде суммы экспонент и т.д." Вы же не говорите, что это угадывание из бесконечного множества функций, и потому "нематематично"? Или когда доказательство теоремы начинается с введения вспомогательной функции очень специального вида, единственное обоснование для которого: "если так сделать, то дальше все сойдётся"?

EUgeneUS в сообщении #1612320 писал(а):

Конечное число делителей не зависит от головы, что в неё приходит, и даже от некой "разумности".

Ну там не зависит, а тут зависит. И что, это как-то отменяет конечность вариантов и возможность перебрать их за конечное время?

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):

из свойств вещественных чисел, предлагаю всё же их тоже считать известными

Согласен. В определении предела используются действительные числа, а значит их свойства следует считать известными. Иначе это определение "подвисает" и теряет смысл.

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):

Дальше вроде всё понятно и разногласий нет.

У меня нет в этом уверенности
Но если это так, то:

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):

И какому пункту противоречит такое решение?

Никакому. Вы сделали три утверждения (видимо, собираетесь ими пользоваться дальше), эти утверждения можно считать доказанными (см. выше), а уж обоснованными - точно.

mihaild в сообщении #1612323 писал(а):

Вопрос "почему в качестве первого утверждения взято такое" смысла не имеет, какое-то утверждение должно быть первым, почему бы и не такое. Может я вообще все доказательства с этого утверждения начинаю, имею право.

Мы по разному понимаем вопрос "почему". Требуются уточнения.
1. Конечно, к факту "mihaild написал три утверждения" можно задать кучу вопросов "почему" - почему написал, почему mihaild, почему написал в латехе, почему не на листе с печатью (который выдан на экзамене для черновиков ), почему в таком углу листа, а не в другом, почему в таком порядке, а не в ином, и т.д. и т.п.
Все эти вопросы смысл-то имеют (какой-то свой), но к решению задачи и вообще к математике отношения не имеют никакого.
2. Поэтому речь о вопросах "почему", имеющих отношение к решению и-или его ходу. Тогда вопросы "почему" сводятся к "почему Вы считаете это утверждение верным и доказанным?". Так на эти вопросы к этим трем утверждениям Вы ответы дали, в скобочках.

-- 04.10.2023, 09:00 --

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):

Например, единица присутствует в общем члене последовательности в виде отдельного слагаемого.

1. Формулу для членов этой последовательности можно записать, вообще не испульзуя символа "1". И как угадывать будете.
2. А уж коли Вы упомянули "в виде отдельного слагаемого", так это Вы свойства пределов используете. Только не хотите в этом признаться почему-то. Как-будто что-то стыдное

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):

Когда решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами начинается со слов: "Будем искать решение в виде суммы экспонент и т.д." Вы же не говорите, что это угадывание из бесконечного множества функций, и потому "нематематично"?

Конечно, не говорю так. Так как никакого угадывания тут нет. А есть попытка использовать конкретное свойство экспоненты: $f'(x) = f(x)$.

Dedekind в сообщении #1612324 писал(а):

Или когда доказательство теоремы начинается с введения вспомогательной функции очень специального вида, единственное обоснование для которого: "если так сделать, то дальше все сойдётся"?

Тут сложно что-то комментировать без конкретики. Однако, уверен, что и в этих примерах никакого угадывания не будет. Так как функция строится вполне конкретная и исходя из каких-то соображений. Эти соображения могут, конечно, собственно в доказательстве теоремы не озвучиваться, чтобы не загромождать текст. Но это не значит, что их не было и нет.