Элементарная топология

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):

В любом топологическом пространстве $\varnothing$ является открытым множеством (так как принадлежит топологии), поэтому пересечение всех открытых множеств пространства равно $\varnothing$.

Ну вот Вы и ответили на собственный вопрос.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):

Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей, то есть множество всех точек интервала $(0, 1)$. Так можно?

Наверное, можно, но это неочевидное обозначение. Во всяком случае, для меня. Увидев запись $\lim_{n\to \infty} M_n$, я ожидаю, что введено пространство, элементами которого являются множества $M$, и сходимость в этом пространстве (топологическая, по мере или еще какая-нибудь).

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1602318 писал(а):

Наверное, можно, но это неочевидное обозначение.

А как бы Вы обозначили?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602320 писал(а):

А как бы Вы обозначили?

Я бы скорее словами сказал, что множество пределов некоторых последовательностей заполняет интервал $(0, 1)$. Если, конечно, оно действительно его заполняет. Ваши выкладки я по-прежнему не проверял, ибо не понимаю, зачем нужна громоздкая конструкция, когда есть простая и очевидная.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602316 писал(а):

можно рассмотреть множество, элементами которого являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ при том, что $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$. Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей

Пределов последовательностей вложенных интервалов? А почему у вас в этих последовательностях $n$ меняется, а $a$ фиксировано? Вы же вначале писали наоборот - сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$. В этом и ошибка - нельзя бездумно менять порядок кванторов.

Если позволить $a$ зависеть от $n$, как вы писали изначально, то мы получаем в том числе и последовательность интервалов

$$(\frac12-1,\frac12+1)$$

$$(\frac14-\frac12,\frac14+\frac12)$$

$$(\frac16-\frac13,\frac16+\frac13)$$

$$\ldots$$

Есть ли у них общая точка и если есть, то какая?

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1602321 писал(а):

не понимаю, зачем нужна громоздкая конструкция, когда есть простая и очевидная.

Просто интересно.

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):

А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

$(0, 1)$ это тоже открытое множество, то есть оно тоже входит в множество $\mathcal U$ всех открытых множеств $U$.

Множество $\mathcal U$ делится на подмножество $\mathcal U'$, в каждый элемент которого входит $(0, 1)$, и подмножество $\mathcal U''$, ни в один элемент которого $(0, 1)$ не входит.

Объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U'$, мы получим то же множество $\mathcal U'$, объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U''$, мы получим опять же множество $\mathcal U'$ (потому что мы не можем получить ни одного множества, которого бы не было в $\mathcal U$, так как $\mathcal U$ это множество всех возможных открытых множеств).

Таким образом, объединив $(0, 1)$ с каждым множеством из $\mathcal U$, мы получим множество $\mathcal U'$, пересечение элементов которого равно $(0, 1)$.

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):

Пределов последовательностей вложенных интервалов? А почему у вас в этих последовательностях $n$ меняется, а $a$ фиксировано? Вы же вначале писали наоборот - сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$.

Совершенно верно, для

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

так и было: сначала объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$. Но эта конструкция не пошла, выяснилось, что если $0$ и $1$ входят в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n$ (как Вы мне вдалбливали), то это пересечение равно не интервалу $(0, 1)$, а отрезку $[0, 1]$ (кто бы мог подумать!)

Конструкция же с $\lim_{n\to \infty} M_n$ другая: в ней каждая точка интервала $(0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ -- сколько точек, столько последовательностей (для каждой последовательности переменная $a$ принимает значение соответствующей точки), и все эти последовательности-гармошки, так сказать, одновременно сжимаются, каждая в свою точку (если допустить актуальную бесконечность), и получается множество этих точек, то есть интервал $(0, 1)$.

Правда, это не то, что мне задали, так что задания я так и не выполнил.

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):

Если позволить $a$ зависеть от $n$, как вы писали изначально, то мы получаем в том числе и последовательность интервалов

$$(\frac12-1,\frac12+1)$$

$$(\frac14-\frac12,\frac14+\frac12)$$

$$(\frac16-\frac13,\frac16+\frac13)$$

$$\ldots$$

Есть ли у них общая точка и если есть, то какая?

Это я не очень хорошо понял, но в $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ $\;\;$ $a$ и $n$ зависят друг от друга: для любого $n$ найдется такое $a$, что будет $(a-\frac {1}{n})<0$, и для любого $a$ найдется такое $n$, что будет $(a-\frac {1}{n})>0$. Но тут, конечно, можно выбрать, что от чего зависит.

Хотя можно ведь и не выбирать, а задать функцию от двух аргументов: $P(a, n)=\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$, правда, тогда это что-то совсем другое.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602350 писал(а):

Конструкция же с $\lim_{n\to \infty} M_n$ другая: в ней каждая точка интервала $(0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ -- сколько точек, столько последовательностей (для каждой последовательности переменная $a$ принимает значение соответствующей точки), и все эти последовательности-гармошки, так сказать, одновременно сжимаются, каждая в свою точку (если допустить актуальную бесконечность), и получается множество этих точек, то есть интервал $(0, 1)$.

Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует. Можете растолковать?

(что такое "актуальная бесконечность", лучше не объясняйте, стар я стал для этого)

[мат-ламер]

tolstopuz в сообщении #1602410 писал(а):

Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует. Можете растолковать?

За темой не слежу. Извините, что вмешиваюсь. Просто хочу сказать, что в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.

[tolstopuz]

мат-ламер в сообщении #1602414 писал(а):

Просто хочу сказать, что в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.

Для последовательностей семейств множеств оба предела совпадают с пересечением. Но ТС явно нужно не это, он делает какую-то искусственную вымученную конструкцию специально для своего частного случая.

[Vladimir Pliassov]

мат-ламер в сообщении #1602414 писал(а):

в книгах встречаются такие термины, как "верхний (нижний) предел последовательности множеств". Верхний предел - множество точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств. Нижний предел - множество точек, которые принадлежат всем множествам последовательности множеств, начиная с некоторого номера. Предел множеств - это когда оба предела совпадают. Не знаю, об этом ли идёт речь в данной теме.

Нет, не об этом, здесь речь идет не о пределе последовательности множеств, а о пределе одного множества $M_n$, который является совокупностью пределов своих элементов-множеств.

tolstopuz в сообщении #1602410 писал(а):

Мне тоже непонятно, что такое "предел последовательности множеств", как он определяется и для всех ли последовательностей множеств он существует.

Элементами множества $M_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$, каждая из которых имеет своим пределом некоторую точку интервала $(0, 1)$, при этом каждая точка из $(0, 1)$ является пределом одной из этих последовательностей.

Под "пределом множества $M_n$" я имел в виду совокупность пределов всех этих последовательностей, то есть пределом множества $M_n$ является весь интервал $0, 1$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602469 писал(а):

Нет, не об этом, здесь речь идет не о пределе последовательности множеств, а о пределе одного множества $M_n$, который является совокупностью пределов своих элементов-множеств.

Вы вводите новое неведомое понятие - "предел одного множества". Кроме того, вы утверждаете, что элементами множества $M_n$ являются множества. Разве $M_n$ - не множество точек прямой? По-моему, вы совсем запутались в своих умопостроениях.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602470 писал(а):

Вы вводите новое неведомое понятие - "предел одного множества". Кроме того, вы утверждаете, что элементами множества $M_n$ являются множества. Разве $M_n$ - не множество точек прямой?

Нет, в этой, второй, конструкции элементами множества $M_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$. Неудачно, что я назвал это множество так же, как $M_n$ из первой конструкции, назовем его лучше $L_n$. Итак, заново:

элементами множества $L_n$ являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big) \;\; n=\overline {1, \infty}$. Каждая последовательность, то есть каждый элемент $L_n$, имеет предел, поэтому я говорю о пределе множества $L_n$, который является совокупностью пределов всех элементов $L_n$, то есть интервалом $(0, 1)$.

А элементами множества

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

являются точки прямой. Все $M_n$ пересекаются между собой:

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=[0, 1],$$

то есть, как Вы сами сказали:

tolstopuz в сообщении #1602344 писал(а):

объединение по всем $a$ при фиксированном $n$, а потом пересечение по всем $n$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602474 писал(а):

Каждая последовательность, то есть каждый элемент $L_n$, имеет предел, поэтому я говорю о пределе множества $L_n$, который является совокупностью пределов всех элементов $L_n$, то есть интервалом $(0, 1)$.

А зачем это все? Вы участвуете в конкурсе "кто наиболее запутанным путем получит интервал $(0,1)$"?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602475 писал(а):

А зачем это все? Вы участвуете в конкурсе "кто наиболее запутанным путем получит интервал $(0,1)$"?