2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение21.07.2023, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1601927 писал(а):
$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение21.07.2023, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
Vladimir Pliassov
Вашу конструкцию не проверял, но чего ж так усложнять-то.

Если хотите счетное пересечение, то вот:
$U_n = (0, 1) \cup (n + 1, n + 2)$

$(0, 1) = \bigcap \limits_{n=1}^\infty U_n$.


А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение21.07.2023, 22:22 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1601929 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1601927 писал(а):
$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$
Почему?


Каждая точка $a\in (0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$
так что для любой точки $b\in (0, 1)$ найдется такое $n_b$, при котором нижняя граница интервала

$$\Big(b-\frac {1}{n_b}; b+\frac {1}{n_b}\Big)$$
будет больше $0$, и для любой точки $c\in (0, 1)$ найдется такое $n_c$, при котором верхняя граница интервала

$$\Big(c-\frac {1}{n_c}; c+\frac {1}{n_c}\Big)$$
будет меньше $1$, таким образом, при $n\geqslant \max (n_b, n_c)$ для любой точки $a$ при $b\leqslant a\leqslant c$ интервал

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
не будет выходить за пределы $0, 1$. При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при надлежащем стремлении $n$ к $\infty$ нижняя граница

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$
будет стремиться сверху к $0$, а верхняя граница -- снизу к $1$, то есть пересечение всех $M_n$ не выходит за границы интервала $0, 1$.

С другой стороны, каждое $M_n$ содержит $(0, 1)$. Таким образом, интервал $(0, 1)$ является в точности пересечением всех $M_n$.

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):
Вашу конструкцию не проверял, но чего ж так усложнять-то.

Да, правда. Я и сам хотел спросить, нет ли конструкций попроще, чем моя. В самом деле, что может быть проще, чем сначала добавить что-то к каждому множеству, а потом обнаружить, что они пересекаются в том самом, что к ним добавили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение21.07.2023, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
Vladimir Pliassov
Ваша конструкция не работает.
Чтобы понять, что не так, просто найдите все эти $M_n$ (чему они равны), а затем найдите их пересечение. Увидите, что оно не равно $(0,1)$.

Что касается Вашего доказательства, найдите сами в нём недостаточно внятное предложение. В нём и ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 00:27 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$. Что же это за $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 01:48 


21/04/19
1232
Mikhail_K в сообщении #1601971 писал(а):
Что касается Вашего доказательства, найдите сами в нём недостаточно внятное предложение. В нём и ошибка.

Наверное, Вы имеете в виду предложение "При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при надлежащем стремлении $n$ к $\infty$ ..." -- но можно просто сказать: "При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при достаточно большом $n$ ..." -- и далее как есть: нижняя граница

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
будет стремиться сверху к $0$, а верхняя граница -- снизу к $1$. Разве это не так?

(Здесь $b$ и $c$ это значения, которые принимает $a$.)

При достаточно большом $n$ нижняя граница $M_n$ находится между $0$ и $b$, а верхняя граница -- между $c$ и $1$.

Mikhail_K в сообщении #1601971 писал(а):
Чтобы понять, что не так, просто найдите все эти $M_n$ (чему они равны), а затем найдите их пересечение. Увидите, что оно не равно $(0,1)$.

Самое первое $M_n$, то есть $M_1$ равно $(-1, 2)$, но при достаточно большом $n$ $M_n$ находится в пределах интервала $(0, 1)$, независимо от того, насколько близко от $0$ и $1$ берутся $a$.

tolstopuz в сообщении #1601988 писал(а):
Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$.

Именно так, потому что $a$ -- то есть предел последовательности вложенных друг в друга интервалов

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
-- больше нуля и меньше единицы, $a\in (0, 1)$.

$a$ это не фиксированная точка, $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$ ($a$ никогда не равно ни $0 $, ни $1$).

Или все-таки что-то не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 02:50 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1601998 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1601988 писал(а):
Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$.

Именно так
Назовите какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$, для которого $0\notin M_n$. Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

-- Сб июл 22, 2023 03:05:43 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1601998 писал(а):
при достаточно большом $n$ $M_n$ находится в пределах интервала $(0, 1)$, независимо от того, насколько близко от $0$ и $1$ берутся $a$.
Миллиард - достаточно большое $n$? Если нет, то какое $n$ будет достаточно большим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 03:24 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):
Назовите какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$, для которого $0\notin M_n$. Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

$n$ зависит от $a$, для любого $a\in (0, 1)$ найдется такое $n$, что $1/n$ будет меньше, чем расстояние от $a$ до ближайшего конца $(0, 1)$.

Чем ближе $a$ к ближайшему концу $(0, 1)$, тем больше должно быть $n$.

-- 22.07.2023, 03:27 --

tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):
Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

Такое $n$ существует для каждого $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 03:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1602011 писал(а):
$n$ зависит от $a$
Так Вас просили найти $a$ для $M_n$, которое уже ни от какого $a$ не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:03 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602011 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):
Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

Такое $n$ существует для каждого $a$.
Вы забываете, что в определении $M_n$ $a$ - связанная переменная и по ней стоит квантор. Давайте посмотрим на это место внимательнее. По определению объединения семейства множеств имеем
$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$Зафиксируем какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$ (пусть $n>1$, потому что $M_1$ вы уже посчитали) и будем пробовать разные $a\in(0,1)$. Для некоторых $a$ получится $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$, а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим? Если да, то можете назвать по одному примеру такого и сякого $a$ при заданном $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:22 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602014 писал(а):
а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим?

Это получится при $n\geqslant 3$, при $n=2$ не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:27 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602016 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1602014 писал(а):
а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим?
Это получится при $n\geqslant 3$, при $n=2$ не получится.
А если найду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:29 


21/04/19
1232
Я имел в виду: при $n\geqslant 3$ получится $0, 1\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:31 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602018 писал(а):
Я имел в виду: при $n\geqslant 3$ получится $0, 1\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.
Я ничего не спрашивал про единицу, мы обсуждаем только $0$. Хотя при $n=2$ и $a=\frac12$ единица тоже не попадает.

-- Сб июл 22, 2023 04:32:25 --

Но вы не отвлекайтесь, приведите примеры $a$ для заданного $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:38 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602019 писал(а):
Хотя при $n=2$ и $a=\frac12$ единица тоже не попадает.

Да, $(0, 1)$ это же интервал.
tolstopuz в сообщении #1602019 писал(а):
Но вы не отвлекайтесь, приведите примеры $a$ для заданного $n$.

А какое $n$ задано?

-- 22.07.2023, 04:47 --

При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group