Элементарная топология

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601927 писал(а):

$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$

Почему?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov
Вашу конструкцию не проверял, но чего ж так усложнять-то.

Если хотите счетное пересечение, то вот:
$U_n = (0, 1) \cup (n + 1, n + 2)$

$(0, 1) = \bigcap \limits_{n=1}^\infty U_n$.


А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1601929 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1601927 писал(а):

$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$

Почему?

Каждая точка $a\in (0, 1)$ является пределом последовательности вложенных интервалов

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$

так что для любой точки $b\in (0, 1)$ найдется такое $n_b$, при котором нижняя граница интервала

$$\Big(b-\frac {1}{n_b}; b+\frac {1}{n_b}\Big)$$

будет больше $0$, и для любой точки $c\in (0, 1)$ найдется такое $n_c$, при котором верхняя граница интервала

$$\Big(c-\frac {1}{n_c}; c+\frac {1}{n_c}\Big)$$

будет меньше $1$, таким образом, при $n\geqslant \max (n_b, n_c)$ для любой точки $a$ при $b\leqslant a\leqslant c$ интервал

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

не будет выходить за пределы $0, 1$. При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при надлежащем стремлении $n$ к $\infty$ нижняя граница

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$

будет стремиться сверху к $0$, а верхняя граница -- снизу к $1$, то есть пересечение всех $M_n$ не выходит за границы интервала $0, 1$.

С другой стороны, каждое $M_n$ содержит $(0, 1)$. Таким образом, интервал $(0, 1)$ является в точности пересечением всех $M_n$.

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):

Вашу конструкцию не проверял, но чего ж так усложнять-то.

Да, правда. Я и сам хотел спросить, нет ли конструкций попроще, чем моя. В самом деле, что может быть проще, чем сначала добавить что-то к каждому множеству, а потом обнаружить, что они пересекаются в том самом, что к ним добавили?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Ваша конструкция не работает.
Чтобы понять, что не так, просто найдите все эти $M_n$ (чему они равны), а затем найдите их пересечение. Увидите, что оно не равно $(0,1)$.

Что касается Вашего доказательства, найдите сами в нём недостаточно внятное предложение. В нём и ошибка.

[tolstopuz]

Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$. Что же это за $n$?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1601971 писал(а):

Что касается Вашего доказательства, найдите сами в нём недостаточно внятное предложение. В нём и ошибка.

Наверное, Вы имеете в виду предложение "При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при надлежащем стремлении $n$ к $\infty$ ..." -- но можно просто сказать: "При стремлении $b$ к $0$, $c$ к $1$ и при достаточно большом $n$ ..." -- и далее как есть: нижняя граница

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

будет стремиться сверху к $0$, а верхняя граница -- снизу к $1$. Разве это не так?

(Здесь $b$ и $c$ это значения, которые принимает $a$.)

При достаточно большом $n$ нижняя граница $M_n$ находится между $0$ и $b$, а верхняя граница -- между $c$ и $1$.

Mikhail_K в сообщении #1601971 писал(а):

Чтобы понять, что не так, просто найдите все эти $M_n$ (чему они равны), а затем найдите их пересечение. Увидите, что оно не равно $(0,1)$.

Самое первое $M_n$, то есть $M_1$ равно $(-1, 2)$, но при достаточно большом $n$ $M_n$ находится в пределах интервала $(0, 1)$, независимо от того, насколько близко от $0$ и $1$ берутся $a$.

tolstopuz в сообщении #1601988 писал(а):

Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$.

Именно так, потому что $a$ -- то есть предел последовательности вложенных друг в друга интервалов

$$\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

-- больше нуля и меньше единицы, $a\in (0, 1)$.

$a$ это не фиксированная точка, $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$ ($a$ никогда не равно ни $0 $, ни $1$).

Или все-таки что-то не так?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1601998 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1601988 писал(а):

Подскажу еще прозрачнее: вы считаете, что $0\notin \cap_{n=1}^{\infty}M_n$. По определению это означает, что существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $0\notin M_n$.

Именно так

Назовите какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$, для которого $0\notin M_n$. Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

-- Сб июл 22, 2023 03:05:43 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1601998 писал(а):

при достаточно большом $n$ $M_n$ находится в пределах интервала $(0, 1)$, независимо от того, насколько близко от $0$ и $1$ берутся $a$.

Миллиард - достаточно большое $n$? Если нет, то какое $n$ будет достаточно большим?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):

Назовите какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$, для которого $0\notin M_n$. Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

$n$ зависит от $a$, для любого $a\in (0, 1)$ найдется такое $n$, что $1/n$ будет меньше, чем расстояние от $a$ до ближайшего конца $(0, 1)$.

Чем ближе $a$ к ближайшему концу $(0, 1)$, тем больше должно быть $n$.

-- 22.07.2023, 03:27 --

tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):

Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

Такое $n$ существует для каждого $a$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602011 писал(а):

$n$ зависит от $a$

Так Вас просили найти $a$ для $M_n$, которое уже ни от какого $a$ не зависит.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602011 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1602004 писал(а):

Если такого $n$ не существует, то придется прийти к выводу, что $0\in\cap_{n=1}^{\infty}M_n$.

Такое $n$ существует для каждого $a$.

Вы забываете, что в определении $M_n$ $a$ - связанная переменная и по ней стоит квантор. Давайте посмотрим на это место внимательнее. По определению объединения семейства множеств имеем

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$

Зафиксируем какое-нибудь $n\in\mathbb{N}$ (пусть $n>1$, потому что $M_1$ вы уже посчитали) и будем пробовать разные $a\in(0,1)$. Для некоторых $a$ получится $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$, а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим? Если да, то можете назвать по одному примеру такого и сякого $a$ при заданном $n$?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602014 писал(а):

а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим?

Это получится при $n\geqslant 3$, при $n=2$ не получится.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602016 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1602014 писал(а):

а для некоторых $a$ получится $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вы согласны с этим?

Это получится при $n\geqslant 3$, при $n=2$ не получится.

А если найду?

[Vladimir Pliassov]

Я имел в виду: при $n\geqslant 3$ получится $0, 1\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602018 писал(а):

Я имел в виду: при $n\geqslant 3$ получится $0, 1\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Я ничего не спрашивал про единицу, мы обсуждаем только $0$. Хотя при $n=2$ и $a=\frac12$ единица тоже не попадает.

-- Сб июл 22, 2023 04:32:25 --

Но вы не отвлекайтесь, приведите примеры $a$ для заданного $n$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602019 писал(а):

Хотя при $n=2$ и $a=\frac12$ единица тоже не попадает.

Да, $(0, 1)$ это же интервал.

tolstopuz в сообщении #1602019 писал(а):

Но вы не отвлекайтесь, приведите примеры $a$ для заданного $n$.

А какое $n$ задано?

-- 22.07.2023, 04:47 --

При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.