Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем
. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.
Всем
принадлежит каждая точка интервала
.
Ваше рассуждение не годится, потому что если брать
, то оно скажет, что пересечение
есть
, что неправда.
По-моему, смотря как определить
.
Если
, то есть если переменная
пробегает только рациональные точки интервала
, то
есть
,
но если
то есть если переменная
пробегает все точки интервала
, то
Так что пока что Вы меня не убедили.
Существует ли такое
, при котором
?
Для любого
существует такое
.
Верно ли, что
?
Да, для любого
существует такое
, при котором
.
Лежит ли точка
во множестве
?
Если
определяется как
(новая версия), то каждому
принадлежит
, потому что для любого
существует такое
, при котором
.
Если
определяется как
(старая версия), то то каждому
также принадлежит
, потому что для любого
существует такое
, при котором
.
Как в старой, так и в новой версии каждое объединение
является интервалом, левая граница которого меньше нуля, а правая больше единицы.
Множество
в новой версии, то есть множество всех
представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок
. Поэтому как ноль, так и единица принадлежит каждому члену этой последовательности, то есть каждому
.
Я думаю, что то же самое можно сказать и о множестве
в новой версии, то есть о множестве всех
но не уверен, что для старой версии
можно доказать утверждение
тем же путем, что и для новой версии. Дело в том, что я обнаружил, что
Цитата:
Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,
Википедия.
Поэтому я на всякий случай заменил старую версию
(с интервалами
) на новую версию (с отрезками
).
Хотя, может быть, вложенные интервалы тоже могут сходиться к точке или к отрезку? Если вообще это возможно, то в чем особенность пересечения
Если же это никогда не возможно, то и я ошибаюсь, полагая, что множество
представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок
. Но это было бы странно.
Может быть, особенность пересечения
в том, что в этих вложенных интервалах движется только одна граница, а вторая стоит на месте?