2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 04:52 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602020 писал(а):
При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.
Точнее, не меньше. Поэтому $a=\frac12$ подойдет для любого $n>1$.

А что с обратным примером? Можете найти какую-нибудь формулу $a(n)$, чтобы $0\in(a(n)-\frac1n,a(n)+\frac1n)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 22:43 


21/04/19
1232
Новая версия.

Пусть каждая точка $a$ интервала $(0, 1)$ будет пределом последовательности вложенных отрезков

$$\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big] \;\; n=\overline {1, \infty}.$$
Для каждого $n$ возьмем объединение

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$
оно будет интервалом.

(Я думаю, что это интервал $(-1/n, 1+1/n)$, но для этого доказательства это не важно.)

Дальше выражусь не строго, потому что не знаю, как выразиться строго.

При стремлении $n$ к бесконечности каждый отрезок $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$ объединения $M_n$ стремится превратиться в точку $a$, а объединение $M_n$ -- в интервал $(0, 1)$ (поскольку переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$, и только их).

Таким образом, интервалы $M_n$ пересекаются в интервале $(0,1)$:

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$$

Получилось?

tolstopuz в сообщении #1602021 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1602020 писал(а):
При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.
Точнее, не меньше. Поэтому $a=\frac12$ подойдет для любого $n>1$.

Да, правда.

tolstopuz в сообщении #1602021 писал(а):
А что с обратным примером? Можете найти какую-нибудь формулу $a(n)$, чтобы $0\in(a(n)-\frac1n,a(n)+\frac1n)$?

При $a<1/n$ имеем $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9110
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1602135 писал(а):
Дальше выражусь не строго, потому что не знаю, как выразиться строго
Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Ваше рассуждение не годится, потому что если брать $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то оно скажет, что пересечение $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$, что неправда.
(ну а еще оно доказывает неверное утверждение, $\cap M_n \neq (0, 1)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение22.07.2023, 23:10 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1602136 писал(а):
Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Всем $M_n$ принадлежит каждая точка $(0, 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение23.07.2023, 00:25 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602135 писал(а):
При $a<1/n$ имеем $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.
Можно даже для определенности записать, что при $a=\frac1{2n}$ выполняется $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Отлично, мы выяснили, что при $n>1$ существуют как $a$, при которых $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$, так и $a$, при которых $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вернемся к вашему выражению для $M_n$:
$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении? Подставьте $x=0$ справа от вертикальной черты и проверьте, верно ли записанное там утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение23.07.2023, 02:20 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):
$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении?

Это для меня не простой вопрос. Нечто подобное мне уже встречалось, но я не достаточно хорошо разобрался.

$M_n$ это множество, элементами которого являются такие $x$, которые входят в интервал $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$. При этом утверждается, что существует $a\in(0,1)$ ...

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):
Подставьте $x=0$ справа от вертикальной черты и проверьте, верно ли записанное там утверждение.

Вообще, $0$ может быть элементом $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ ... Не могу ответить без подсказок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение23.07.2023, 02:29 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602157 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):
$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении?

$M_n$ это множество, элементами которого являются такие $x$, которые входят в интервал $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$. При этом утверждается, что существует $a\in(0,1)$ ...
Не надо читать справа налево, читайте слева направо.

Это множество, элементами которого являются такие $x$, что при хотя бы одном $a\in(0,1)$ выполняется $x\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):
Можно даже для определенности записать, что при $a=\frac1{2n}$ выполняется $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.


Существует ли такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Верно ли, что $\exists a\in(0,1),0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Читайте слева направо и сверху вниз, отвечайте на вопросы последовательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение23.07.2023, 18:41 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1602136 писал(а):
Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Всем $M_n$ принадлежит каждая точка интервала $(0, 1)$.

mihaild в сообщении #1602136 писал(а):
Ваше рассуждение не годится, потому что если брать $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то оно скажет, что пересечение $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$, что неправда.

По-моему, смотря как определить $M_n$.

Если $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то есть если переменная $a$ пробегает только рациональные точки интервала $(0,1)$, то $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$,

но если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$
то есть если переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0,1)$, то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$$
Так что пока что Вы меня не убедили.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):
Существует ли такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):
Верно ли, что $\exists a\in(0,1),0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Да, для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):
Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$$
(новая версия), то каждому $M_n$ принадлежит $0$, потому что для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in[a-\frac1n,a+\frac1n]$.

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
(старая версия), то то каждому $M_n$ также принадлежит $0$, потому что для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Как в старой, так и в новой версии каждое объединение $M_n$ является интервалом, левая граница которого меньше нуля, а правая больше единицы.

Множество $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ в новой версии, то есть множество всех

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$
представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок $[0, 1]$. Поэтому как ноль, так и единица принадлежит каждому члену этой последовательности, то есть каждому $M_n$.

Я думаю, что то же самое можно сказать и о множестве $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ в новой версии, то есть о множестве всех

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$
но не уверен, что для старой версии $M_n$ можно доказать утверждение

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)$$
тем же путем, что и для новой версии. Дело в том, что я обнаружил, что

Цитата:
Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing. $$ Википедия.

Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Хотя, может быть, вложенные интервалы тоже могут сходиться к точке или к отрезку? Если вообще это возможно, то в чем особенность пересечения

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing?$$
Если же это никогда не возможно, то и я ошибаюсь, полагая, что множество $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок $[0, 1]$. Но это было бы странно.

Может быть, особенность пересечения

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing$$
в том, что в этих вложенных интервалах движется только одна граница, а вторая стоит на месте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение23.07.2023, 19:24 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):
tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):
Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
(старая версия), то то каждому $M_n$ также принадлежит $0$,

но не уверен, что для старой версии $M_n$ можно доказать утверждение

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)$$
Откуда такая неуверенность? Мы общими усилиями доказали, что точка $0$ лежит в каждом $M_n$. Лежит ли она в их пересечении?

-- Вс июл 23, 2023 19:29:22 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):
Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).
Если не секрет, с какой целью вы это делаете? Начиналось ведь совсем с другого:
Anton_Peplov в сообщении #1601899 писал(а):
Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 16:13 


21/04/19
1232
tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):
Откуда такая неуверенность?

Насколько я понимаю, Вы согласны с тем, что если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$
то есть если переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0,1)$, то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)?$$
А также и с тем, что если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$
то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)?$$

tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):
Мы общими усилиями доказали, что точка $0$ лежит в каждом $M_n$. Лежит ли она в их пересечении?

Точки $0$ и $1$ лежат в каждом $M_n$, Но ни точка $0$, ни точка $1$ не лежит в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n.$

tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):
Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).
Если не секрет, с какой целью вы это делаете? Начиналось ведь совсем с другого:
Anton_Peplov в сообщении #1601899 писал(а):
Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.


$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
это и есть объединения интервалов, и сначала я взял их, но потом обнаружил, что

Цитата:
Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing. $$Википедия.


Поэтому я усомнился в том, что вложенные интервалы $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ сходятся к точке и на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Но теперь думаю, что напрасно усомнился. Во всяком случае, как мне кажется, и для новой, и для старой версии $M_n$

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1),$$
так что, полагаю, задание Anton_Peplov я выполнил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
Vladimir Pliassov в сообщении #1602285 писал(а):
Точки $0$ и $1$ лежат в каждом $M_n$, Но ни точка $0$, ни точка $1$ не лежит в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n.$
Дайте определение пересечения множеств. Кажется, Вы неправильно понимаете, что это такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 18:13 


21/04/19
1232
Anton_Peplov в сообщении #1602286 писал(а):
Дайте определение пересечения множеств. Кажется, Вы неправильно понимаете, что это такое.

Пересечением множеств $A$ и $B$ является множество элементов, принадлежащих обоим множествам $A$ и $B$.

За $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n я принимал $\lim_{n\to \infty} M_n.$

$\lim_{n\to \infty} M_n=(0,1)$, а $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=[0,1]$.

То есть Ваше задание так и не выполнено, буду еще думать.

Кстати, о Вашем примере:

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):
Если хотите счетное пересечение, то ...

А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8499
Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):
За $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n$ я принимал $\lim_{n\to \infty} M_n.$
Не очень понимаю смысл записи $\lim_{n\to \infty} M_n$. Чтобы последовательность множеств куда-то сходилась, нужно определить, что означает ее сходимость.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):
Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?
А как бы Вы ответили на этот вопрос и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):
Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?
В формулировке
Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):
А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.
имеются в виду вообще все открытые множества $U$ на прямой. Никакой дополнительной оговорки про них не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарная топология
Сообщение24.07.2023, 20:30 


21/04/19
1232
Mikhail_K в сообщении #1602307 писал(а):
имеются в виду вообще все открытые множества $U$ на прямой. Никакой дополнительной оговорки про них не требуется.

Anton_Peplov в сообщении #1602306 писал(а):
А как бы Вы ответили на этот вопрос и почему?

В любом топологическом пространстве $\varnothing$ является открытым множеством (так как принадлежит топологии), поэтому пересечение всех открытых множеств пространства равно $\varnothing$.

Anton_Peplov в сообщении #1602306 писал(а):
Не очень понимаю смысл записи $\lim_{n\to \infty} M_n$. Чтобы последовательность множеств куда-то сходилась, нужно определить, что означает ее сходимость.

Вместо последовательности вложенных друг в друга интервалов (при $n\to \infty$)

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$
можно рассмотреть множество, элементами которого являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ при том, что $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$. Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей, то есть множество всех точек интервала $(0, 1)$. Так можно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group