Элементарная топология

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602020 писал(а):

При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Точнее, не меньше. Поэтому $a=\frac12$ подойдет для любого $n>1$.

А что с обратным примером? Можете найти какую-нибудь формулу $a(n)$, чтобы $0\in(a(n)-\frac1n,a(n)+\frac1n)$?

[Vladimir Pliassov]

Новая версия.

Пусть каждая точка $a$ интервала $(0, 1)$ будет пределом последовательности вложенных отрезков

$$\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big] \;\; n=\overline {1, \infty}.$$

Для каждого $n$ возьмем объединение

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$

оно будет интервалом.

(Я думаю, что это интервал $(-1/n, 1+1/n)$, но для этого доказательства это не важно.)

Дальше выражусь не строго, потому что не знаю, как выразиться строго.

При стремлении $n$ к бесконечности каждый отрезок $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$ объединения $M_n$ стремится превратиться в точку $a$, а объединение $M_n$ -- в интервал $(0, 1)$ (поскольку переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$, и только их).

Таким образом, интервалы $M_n$ пересекаются в интервале $(0,1)$:

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$$

Получилось?

tolstopuz в сообщении #1602021 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1602020 писал(а):

При выбранном $n$ $a$ должно быть больше $1/n$. Тогда будет $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Точнее, не меньше. Поэтому $a=\frac12$ подойдет для любого $n>1$.

Да, правда.

tolstopuz в сообщении #1602021 писал(а):

А что с обратным примером? Можете найти какую-нибудь формулу $a(n)$, чтобы $0\in(a(n)-\frac1n,a(n)+\frac1n)$?

При $a<1/n$ имеем $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602135 писал(а):

Дальше выражусь не строго, потому что не знаю, как выразиться строго

Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Ваше рассуждение не годится, потому что если брать $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то оно скажет, что пересечение $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$, что неправда.
(ну а еще оно доказывает неверное утверждение, $\cap M_n \neq (0, 1)$)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1602136 писал(а):

Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Всем $M_n$ принадлежит каждая точка $(0, 1)$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602135 писал(а):

При $a<1/n$ имеем $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Можно даже для определенности записать, что при $a=\frac1{2n}$ выполняется $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Отлично, мы выяснили, что при $n>1$ существуют как $a$, при которых $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$, так и $a$, при которых $0\notin(a-\frac1n,a+\frac1n)$. Вернемся к вашему выражению для $M_n$:

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$

Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении? Подставьте $x=0$ справа от вертикальной черты и проверьте, верно ли записанное там утверждение.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$

Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении?

Это для меня не простой вопрос. Нечто подобное мне уже встречалось, но я не достаточно хорошо разобрался.

$M_n$ это множество, элементами которого являются такие $x$, которые входят в интервал $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$. При этом утверждается, что существует $a\in(0,1)$ ...

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):

Подставьте $x=0$ справа от вертикальной черты и проверьте, верно ли записанное там утверждение.

Вообще, $0$ может быть элементом $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ ... Не могу ответить без подсказок.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602157 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)=\Big\{x\Big|\exists a\in(0,1),x\in\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)\Big\}$$

Что это означает для нас с учетом квантора $\exists$, стоящего в этом выражении?

$M_n$ это множество, элементами которого являются такие $x$, которые входят в интервал $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$. При этом утверждается, что существует $a\in(0,1)$ ...

Не надо читать справа налево, читайте слева направо.

Это множество, элементами которого являются такие $x$, что при хотя бы одном $a\in(0,1)$ выполняется $x\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

tolstopuz в сообщении #1602147 писал(а):

Можно даже для определенности записать, что при $a=\frac1{2n}$ выполняется $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Существует ли такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Верно ли, что $\exists a\in(0,1),0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Читайте слева направо и сверху вниз, отвечайте на вопросы последовательно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1602136 писал(а):

Возьмите какую-нибудь точку прямой. Посмотрите, принадлежит ли она всем $M_n$. Сделайте из этого вывод, принадлежит ли она их пересечению.

Всем $M_n$ принадлежит каждая точка интервала $(0, 1)$.

mihaild в сообщении #1602136 писал(а):

Ваше рассуждение не годится, потому что если брать $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то оно скажет, что пересечение $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$, что неправда.

По-моему, смотря как определить $M_n$.

Если $M_n = \bigcup \limits_{a \in \mathbb Q \cap (0, 1)} \left [ a - 1/n, a + 1/n\right ]$, то есть если переменная $a$ пробегает только рациональные точки интервала $(0,1)$, то $\cap M_n$ есть $\mathbb Q \cap (0, 1)$,

но если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$

то есть если переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0,1)$, то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1).$$

Так что пока что Вы меня не убедили.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):

Существует ли такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):

Верно ли, что $\exists a\in(0,1),0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$?

Да, для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):

Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$$

(новая версия), то каждому $M_n$ принадлежит $0$, потому что для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in[a-\frac1n,a+\frac1n]$.

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

(старая версия), то то каждому $M_n$ также принадлежит $0$, потому что для любого $n$ существует такое $a\in(0,1)$, при котором $0\in(a-\frac1n,a+\frac1n)$.

Как в старой, так и в новой версии каждое объединение $M_n$ является интервалом, левая граница которого меньше нуля, а правая больше единицы.

Множество $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ в новой версии, то есть множество всех

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$

представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок $[0, 1]$. Поэтому как ноль, так и единица принадлежит каждому члену этой последовательности, то есть каждому $M_n$.

Я думаю, что то же самое можно сказать и о множестве $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ в новой версии, то есть о множестве всех

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$

но не уверен, что для старой версии $M_n$ можно доказать утверждение

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)$$

тем же путем, что и для новой версии. Дело в том, что я обнаружил, что

Цитата:

Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing. $$

Википедия.

Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Хотя, может быть, вложенные интервалы тоже могут сходиться к точке или к отрезку? Если вообще это возможно, то в чем особенность пересечения

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing?$$

Если же это никогда не возможно, то и я ошибаюсь, полагая, что множество $\{M_n\;\vert\; n=\overline {1, \infty}\}$ представляет собой последовательность вложенных друг в друга интервалов, пределом которой является отрезок $[0, 1]$. Но это было бы странно.

Может быть, особенность пересечения

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing$$

в том, что в этих вложенных интервалах движется только одна граница, а вторая стоит на месте?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1602158 писал(а):

Лежит ли точка $x=0$ во множестве $M_n$?

Если $M_n$ определяется как

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

(старая версия), то то каждому $M_n$ также принадлежит $0$,

но не уверен, что для старой версии $M_n$ можно доказать утверждение

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)$$

Откуда такая неуверенность? Мы общими усилиями доказали, что точка $0$ лежит в каждом $M_n$. Лежит ли она в их пересечении?

-- Вс июл 23, 2023 19:29:22 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):

Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Если не секрет, с какой целью вы это делаете? Начиналось ведь совсем с другого:

Anton_Peplov в сообщении #1601899 писал(а):

Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):

Откуда такая неуверенность?

Насколько я понимаю, Вы согласны с тем, что если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big],$$

то есть если переменная $a$ пробегает все точки интервала $(0,1)$, то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)?$$

А также и с тем, что если

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big),$$

то

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1)?$$

tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):

Мы общими усилиями доказали, что точка $0$ лежит в каждом $M_n$. Лежит ли она в их пересечении?

Точки $0$ и $1$ лежат в каждом $M_n$, Но ни точка $0$, ни точка $1$ не лежит в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n.$

tolstopuz в сообщении #1602214 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1602211 писал(а):

Поэтому я на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Если не секрет, с какой целью вы это делаете? Начиналось ведь совсем с другого:

Anton_Peplov в сообщении #1601899 писал(а):

Постройте бесконечную систему открытых в $\mathbb R$ множеств, пересечение которой есть $(0, 1)$. Подсказка: открытое множество есть объединение интервалов, но не обязательно интервал.

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

это и есть объединения интервалов, и сначала я взял их, но потом обнаружил, что

Цитата:

Отрезки в формулировке теоремы (или леммы? -- о вложенных отрезках) нельзя заменить на открытые интервалы. Например,

$$\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\varnothing. $$

Википедия.

Поэтому я усомнился в том, что вложенные интервалы $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ сходятся к точке и на всякий случай заменил старую версию $M_n$ (с интервалами $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$) на новую версию (с отрезками $\Big[a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big]$).

Но теперь думаю, что напрасно усомнился. Во всяком случае, как мне кажется, и для новой, и для старой версии $M_n$

$$\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=(0,1),$$

так что, полагаю, задание Anton_Peplov я выполнил?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602285 писал(а):

Точки $0$ и $1$ лежат в каждом $M_n$, Но ни точка $0$, ни точка $1$ не лежит в $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n.$

Дайте определение пересечения множеств. Кажется, Вы неправильно понимаете, что это такое.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1602286 писал(а):

Дайте определение пересечения множеств. Кажется, Вы неправильно понимаете, что это такое.

Пересечением множеств $A$ и $B$ является множество элементов, принадлежащих обоим множествам $A$ и $B$.

За $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n я принимал $\lim_{n\to \infty} M_n.$

$\lim_{n\to \infty} M_n=(0,1)$, а $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n=[0,1]$.

То есть Ваше задание так и не выполнено, буду еще думать.

Кстати, о Вашем примере:

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):

Если хотите счетное пересечение, то ...

А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):

За $\bigcap \limits _{n=1}^\infty M_n$ я принимал $\lim_{n\to \infty} M_n.$

Не очень понимаю смысл записи $\lim_{n\to \infty} M_n$. Чтобы последовательность множеств куда-то сходилась, нужно определить, что означает ее сходимость.

Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):

Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?

А как бы Вы ответили на этот вопрос и почему?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1602305 писал(а):

Здесь должно полагаться, что $\cap U=\varnothing$?

В формулировке

Anton_Peplov в сообщении #1601934 писал(а):

А если несчетное, то и того проще: пересечение всех множеств вида $U \cup (0, 1)$, где $U$ открыто.

имеются в виду вообще все открытые множества $U$ на прямой. Никакой дополнительной оговорки про них не требуется.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1602307 писал(а):

имеются в виду вообще все открытые множества $U$ на прямой. Никакой дополнительной оговорки про них не требуется.

Anton_Peplov в сообщении #1602306 писал(а):

А как бы Вы ответили на этот вопрос и почему?

В любом топологическом пространстве $\varnothing$ является открытым множеством (так как принадлежит топологии), поэтому пересечение всех открытых множеств пространства равно $\varnothing$.

Anton_Peplov в сообщении #1602306 писал(а):

Не очень понимаю смысл записи $\lim_{n\to \infty} M_n$. Чтобы последовательность множеств куда-то сходилась, нужно определить, что означает ее сходимость.

Вместо последовательности вложенных друг в друга интервалов (при $n\to \infty$)

$$M_n=\bigcup \limits _{a\in (0,1)} \Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$$

можно рассмотреть множество, элементами которого являются последовательности вложенных интервалов $\Big(a-\frac {1}{n}; a+\frac {1}{n}\Big)$ при том, что $a$ пробегает все точки интервала $(0, 1)$. Под пределом $\lim_{n\to \infty} M_n$ этого множества (которое я тоже обозначил $M_n$) я понимаю множество пределов всех этих последовательностей, то есть множество всех точек интервала $(0, 1)$. Так можно?