Onoochin, Кстати я только один дискриминант проверила. Сейчас я в шоке, похоже, второй дискриминант положительный ... Надо внимательно пересчитать...
Невозможность существования точки
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
...
Ну,, то есть получается что если
![$a+b$ $a+b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/b/f6b7e0cb55b5449abf64c8aa5f82b5d782.png)
- целое число ,
![$a^3+b^3$ $a^3+b^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/7/a679c64f0b58d21d96af4fb129a6a3ea82.png)
целое число,
![$a^2+b^2$ $a^2+b^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a6bdcc4e9126fa1fc065d7a934a3c9482.png)
целое число,
Невозможность существования точки
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
доказывает, что в этом случае один из корней уравнения не действительное число (поскольку график пересекает ось
![$OX$ $OX$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/3/9f3d75b8ba9e0e89cce5bd92a28d04c682.png)
в точках
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, и
![$0<b<a<c$ $0<b<a<c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/3/75307cb58bec654bad077e51d3d194bb82.png)
?
В общем, получается я проверила все варианты: Если хотя бы один из дискриминантов отрицательный, это противоречит существованию точки
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
Если они положительные то второй вариант. Только надо изменить концовку.
Ферма утверждал, что уравнение
![$x^3+x'^3=z^3$ $x^3+x'^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/6/ee691c904adfdfcb711e46f9c111249d82.png)
не имеет решений в рациональных числах.
предположим, что такое решение существует
при
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$x'=b$ $x'=b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7c4a5087547dc02d5d0b0f5d0c7180782.png)
,
![$z=c$ $z=c$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/9/2a9dccb6147cd523560190374eb552cc82.png)
, где
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- целые положительные взаимно простые числа и
![$a>b$ $a>b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd151dbe5c4ba5e2a467178c71d49e8a82.png)
, то есть
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
.
1.1.
![$a+b-c=d$ $a+b-c=d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/821e63c3b9db232c01b604722a13325a82.png)
, где
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- целое положительное число
![$a^2+b^2=c^2+p$ $a^2+b^2=c^2+p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/9/8698bb7d3057457b875b20e3b1103eba82.png)
, где
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
- целое положительное число.
1.2.
![$a+b-c=d$ $a+b-c=d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/1/821e63c3b9db232c01b604722a13325a82.png)
,
![$a^2+b^2-c^2=p$ $a^2+b^2-c^2=p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/6/cd61c84f774623a1f7ff75b539d5341382.png)
Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$ $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/4/4d42ec8617e5513ce7ce60f2ae9510b682.png)
,
1.3.
![$a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$ $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/1/4816923beb2cdc0f51a84b114b60754782.png)
,
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$ $c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1324bcd25fa06a6825974d0dadf6e782.png)
, следовательно,
![$(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ $(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/c/c4c529706e6c6738dd05544746ca8e4e82.png)
.
2.1.1 функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/d/5bda219e640840beab454ad81354bc1082.png)
в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, следовательно, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
существует точка ( назовем ее
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
, значение функции в которой равно
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
.
2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
![$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$ $(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/c/9ecd627a66e796719993d0fcddac71b582.png)
.
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
или
![$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$ $(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/5/f553c5da4ef20f47b55992975134f6dc82.png)
![$D={c^{2}d}^2-4(cd-p)c^2p$ $D={c^{2}d}^2-4(cd-p)c^2p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/0/4e09a23fc3bdb3cf85a117368154e63182.png)
, отсюда
![$x=с$ $x=с$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/6/d764f24d9d0bca1b3d3df692bb7dd08082.png)
или
![$x=\frac{cp}{cd-p}$ $x=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/3/a031d4b0afeaeb6835e8114bd105e98b82.png)
.
Поскольку
![$a<c$ $a<c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/f/b2fbbdc42d100675501b7f0e6619ab3c82.png)
,
![$b>0$ $b>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22dca7a3838034445d5ed9038d9963182.png)
,
![$h=\frac{cp}{cd-p}$ $h=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25f9ab349a3219332fad3bc510bddf8e82.png)
.
3.1.1 поскольку
функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/d/5bda219e640840beab454ad81354bc1082.png)
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
и
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
и
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
).
![Изображение](https://i.postimg.cc/QFVHL3pQ/theorema1.jpg)
4.1.1Рассмотрим движение графика функции
![$f(x)=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ $f(x)=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/8/c28c1c04917951d46dded1e78d379ed682.png)
.
![$f_1(x)=f(x)-2f(k)$ $f_1(x)=f(x)-2f(k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/9/099a4aa07bef2f5b3339771f47ed6f4382.png)
, где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- точка перегиба функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
![$f_2(x)=f(x-(k-h))$ $f_2(x)=f(x-(k-h))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/554a595cf04ddc0d6647f1baca38891b82.png)
,
![$f_3(x)=f_1(x+2(k-h))$ $f_3(x)=f_1(x+2(k-h))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/0/2c0d990c5ef901434f01e5d5b3ae7c1582.png)
![$\frac{k+(k-h)+(k-h)}{2}=\frac{c}{2}=\frac{(c-h)+h}{2}$ $\frac{k+(k-h)+(k-h)}{2}=\frac{c}{2}=\frac{(c-h)+h}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/2/0c26e4ffcd5148634e694349512a047182.png)
4.1.2
![$f_2(b_2')=f(b_2)=f(b_1)=f_3(b_1')$ $f_2(b_2')=f(b_2)=f(b_1)=f_3(b_1')$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/f/7ef12620190a62033077cd253058a76082.png)
![$f_3(a_2')=f(a_2)=-f(b_1)$ $f_3(a_2')=f(a_2)=-f(b_1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/f/abfee56a0961a4d043cf5ef57f8c44a782.png)
![$f_2(b_2')=f(b_2)=-f(a_1)=-f_2(a_1')$ $f_2(b_2')=f(b_2)=-f(a_1)=-f_2(a_1')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cbc16285d372c68e76ef39b9065024d82.png)
![$b_1+a_2=2h-(a_2'-a_2)$ $b_1+a_2=2h-(a_2'-a_2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/d/06d1cb30b7bb79145072c6877724058c82.png)
,
![$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$ $b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/e/6ae93ca61a95d7f513fab01cfd2b98bc82.png)
;
![$a+b=c+(a-a')=c+d$ $a+b=c+(a-a')=c+d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/3/c03b13adc941b2f4bcb53d5c3f395e1782.png)
![$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$ $(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/d/e0d8502063f9a33c249a918a99580f2382.png)
![$b_2'-b_1'=b_2-b_1$ $b_2'-b_1'=b_2-b_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c2b34449882a14cd446941767e6d1c82.png)
,
![$b_2'-b_2=b_1'-b_1=a_2'-a_2$ $b_2'-b_2=b_1'-b_1=a_2'-a_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/e/bdee7b7460fa9baa962b20a65ae0cf7682.png)
,
![$b_2'-b_2=a_2'-a_2=\frac{d}{2}$ $b_2'-b_2=a_2'-a_2=\frac{d}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/9/7c948a5a0a86ec12a61f1503991b52e282.png)
, Следовательно
4.1.3
![$b_2+a_1=c-\frac{d}{2}$ $b_2+a_1=c-\frac{d}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/2/6b23fd9f8fb3abe67e601fcadec1581f82.png)
- целое число
![$b_a+a_2=2h-\frac{d}{2}$ $b_a+a_2=2h-\frac{d}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/e/3ee4f08a54e4056544e8b8b1d979151282.png)
;
![$a+b=c+d$ $a+b=c+d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/9/5d9a26ea8661ee745c8e215c7bc6f53d82.png)
5.1.1
отсюда
![$(a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p=0$ $(a^2+aa_1+a_1^2)(cd-p)-c^2d(a+a_1)+c^2p=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/b/85bf73cff1c20dba0432789445a09fc182.png)
.
5.1.2.Решая квадратное уравнение
![$(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p))=0$ $(cd-p)x^2-(c^2d-a(cd-p))x+(c^2p+a^2(cd-p))=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/5/9e56babe79ddbbc70aed6228381c6ed582.png)
, получаем
![$x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p))}}{2(cd-p)}$ $x=\frac{c^2d-a(cd-p)\mp\sqrt{(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p))}}{2(cd-p)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/b/d5b3f41403eb1b66932ea52d38ff7f7282.png)
, где
![$(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p))=D$ $(c^2d-a(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+a^2(cd-p))=D$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/7/d57f0aec341894d4b5df749acc332ec082.png)
аналогично
![$(b^2+bb_2+b_2^2)(cd-p)-c^2d(b+b_2)+c^2p=0$ $(b^2+bb_2+b_2^2)(cd-p)-c^2d(b+b_2)+c^2p=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/5/b45e5636a1763cdf9b87834cf5b47a2082.png)
.
Решая квадратное уравнение
![$(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p))=0$ $(cd-p)x^2-(c^2d-b(cd-p))x+(c^2p+b^2(cd-p))=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/8/728d70d51422473aa9e993d8cf78f70582.png)
, получаем
![$x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))}}{2(cd-p)}$ $x=\frac{c^2d-b(cd-p)\mp\sqrt{(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))}}{2(cd-p)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/8/45825995fffb7e22e5f7301699cb9ce382.png)
, где
![$(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))=D_1$ $(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))=D_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/b/0fb77a0f4b7864124b4332d401aec24582.png)
.
5.2.1 Если хотя бы один из дискриминантов отрицательный, это противоречит существованию точки
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
, поскольку
![$f(x)=0$ $f(x)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6fc63aa1efb41cce557cf8cb517441f82.png)
в точках
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
,
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
6.1.1 Рассмотрим вариант с положительными дискриминантами
![$a_1+b_2$ $a_1+b_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/9/919ac7d0cd9bea84b2a268650c34a4ec82.png)
- рациональное число (4.1.3)
![$a_1+a_2$ $a_1+a_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/4/054306b6661c95556c0f8811af76d12082.png)
- рациональное число (4.1.3)
![$(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$ $(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d44872869fe1c3e365eb58423c86850582.png)
![$(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$ $(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/3/4330a316940411f22a54e7648a7e851782.png)
,
![$2c^2d$ $2c^2d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca1d629e5a632c33ed9edddd54e12fd82.png)
не равно
![$3(c-\frac{d}{2})(cd-p)$ $3(c-\frac{d}{2})(cd-p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/d/cadeff30ef29e87096f25a8062fb6cb182.png)
, поскольку
![$\frac{2c^2d}{cd-p}$ $\frac{2c^2d}{cd-p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbe0be34d86d504fb2764294a4114e8682.png)
не может быть целым числом,
следовательно
6.1.2.
![$a_1b_2$ $a_1b_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/8/1a8a6e642d048f5b87bb4812a42aabb482.png)
- рациональное число.
аналогично
![$a_2b_1$ $a_2b_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/5/885eed627700a028b0224dc1c1f8176f82.png)
- рациональное число.
но у нас
![$a_1a_2$ $a_1a_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/a/5fabb0d81355af5f961470bc08c87d3582.png)
- рациональное число.
![$a_1(b_2-a_2)$ $a_1(b_2-a_2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/7/b876bb78ea7d954d6153b8b4832ad46082.png)
- рациональное число,
![$a_1(b_2-(\frac{c^2d}{cd-p}-a-a_1))$ $a_1(b_2-(\frac{c^2d}{cd-p}-a-a_1))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b136eac80841311d778594b2f1e7916482.png)
,
![$a_1((b_2+a_1)+a-\frac{c^2d}{cd-p})$ $a_1((b_2+a_1)+a-\frac{c^2d}{cd-p})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/7/17760cc18d40c80d4d1f5928861e427782.png)
.- рациональное число, следовательно,
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
-рациональное число, следовательно,
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
,
![$b_1$ $b_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d0e0605a6acafe642d0b54226ac65082.png)
,
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
- рациональные числа.
7,1,1
![$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$ $a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/e/97ec5ab8990829b9fbd2db0645a17f0e82.png)
(4.1.3)
![$(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$ $(a_1+b_2)((a_1+b_2)^2-3a_1b_2)(cd-p)-c^2d(a_1+b_2)^2+2c^2da_1b_2+c^2p(a_1+b_2)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/3/4330a316940411f22a54e7648a7e851782.png)
(6,1,1),
![$a_1+b_2=\frac{3c-a-b}{2}$ $a_1+b_2=\frac{3c-a-b}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/2/4d22dbdd7cf8d62349242dd477fd5d9282.png)
, следовательно,
![$\frac{\frac{3c-a-b}{2}(\frac{(3c-a-b)^2}{4}-3a_1b_2)(cd-p)}{c^2}$ $\frac{\frac{3c-a-b}{2}(\frac{(3c-a-b)^2}{4}-3a_1b_2)(cd-p)}{c^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/5/4b5bd3235384fcd0adde77bb5c1c8d7782.png)
-целое число, следовательно
![$a_1b_1$ $a_1b_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/2/ff21026238e6d7afd83b05c2d3ac298c82.png)
должно иметь общий делитель с
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, отличный от
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. То есть, либо
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
, либо
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
( либо, и
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
, и
![$b_2$ $b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8050505667919156622832a0c9b5671c82.png)
должны иметь общий делитель с
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, отличный от
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
.
Но это невозможно, поскольку
![$a_1^3(cd-p)-a_1^2c^2d+a_1c^2p=a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p$ $a_1^3(cd-p)-a_1^2c^2d+a_1c^2p=a^3(cd-p)-a^2c^2d+ac^2p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/4/914d2f397b890d854c713653acf2d1e082.png)
,
![$b_2^3(cd-p)-b_2^2c^2d+b_2c^2p=b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p$ $b_2^3(cd-p)-b_2^2c^2d+b_2c^2p=b^3(cd-p)-b^2c^2d+bc^2p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/7/ee74ee7d3c1a00f6fc3fc3af2a0c1c7582.png)
,
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- взаимно простые числа.