2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 18:01 
Заслуженный участник


23/05/19
1154
amon в сообщении #1590558 писал(а):
$$
\begin{align}
\frac{v^2}{2}+\gamma\frac{2m}{r}=\operatorname{const}
\end{align}
$$

Тут минус только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
Dedekind в сообщении #1590564 писал(а):
Тут минус только.
Спасибо, уже поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 21:48 


04/08/21
307
amon

Спасибо за объяснения!

amon в сообщении #1590558 писал(а):
обозначим $r=x_1-x_2,$ получим
$$\ddot r=-\gamma\frac{2m}{r^2}.$$

Простите, а разве не должно быть либо
$$r=x_2-x_1; \text{ } \ddot r=-\gamma\frac{2m}{r^2}$$
либо
$$r=x_1-x_2; \text{ } \ddot r=\gamma\frac{2m}{r^2}$$
Это, конечно, не принципиально, просто немного сбивает с толку.

amon в сообщении #1590558 писал(а):
Сообразим, что ($v=\dot r$)

Это скорость относительно центра масс или относительно другого шара? Похоже на второе, просто хотел уточнить.

amon в сообщении #1590558 писал(а):
$$
\begin{align}
\ddot r&=\frac{d}{dt}v=\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}=v'v=\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)\\
\frac{d}{dr}&\left(\frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}\right)=0\Rightarrow \frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}=\operatorname{const}
\end{align}
$$

Вот с этого момента для меня началась какая-то магия, и я перестал что-либо понимать. :) Почему здесь получается
$$\frac{d}{dt}v=\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)$$
Что вообще означает эта запись и как с этим работать? Моих скудных обрывков знаний не хватает, чтобы это понять. Где можно об этом почитать?

Я могу только предположить, что если в левой части этого уравнения производная от $v$ по времени $t$, то в правой части, вероятно, производная от $\dfrac{v^2}{2}$ по... расстоянию $r$? Не знал, что такое бывает. (Догадывался, что раз существует производная по времени, то должны быть и производные по чему-нибудь другому, но как-то не сталкивался.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
558
so dna
need_to_learn в сообщении #1590602 писал(а):
Где можно об этом почитать?
Производная сложной функции.
На всякий случай лучше явно указывайте по какой переменной дифференцируем: $v'_t=v'_rv$ (чтоб не путаться).

Более подробно:
Сначала имеем скорость как некоторую функцию от времени: $v=f(t)$
Потом мы хотим найти ее как функцию от расстояния: $v=g(r)$
Но расстояние — это тоже некоторая функция от времени: $r=h(t)$, причем $h'_t=r'_t=v$

Таким образом имеем: $v'_t=\left(g(h(t))\right)'_t=g'_{h(t)}\cdot h'_t=v'_rv=\left(\frac{v^2}{2}\right)'_r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 22:40 


04/08/21
307
Rak so dna в сообщении #1590607 писал(а):
Производная сложной функции.

А-а, так вот что это такое! Как-то не узнал в гриме. Кажется, теперь ситуация начинает проясняться, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение21.04.2023, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
need_to_learn в сообщении #1590602 писал(а):
Простите, а разве не должно быть либо
Должно. Дело в том, что обычно все это пишут в сферических координатах, где $r>0.$ Здесь $r$ может быть как положительным, так и отрицательным, и надо следить за знаками. Я слегка не уследил.
need_to_learn в сообщении #1590602 писал(а):
Это скорость относительно центра масс или относительно другого шара?
Это скорость сближения шаров (со знаком).
need_to_learn в сообщении #1590602 писал(а):
Почему здесь получается
$$\frac{d}{dt}v=\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)$$

$$v=v(r(t)),\,\frac{d}{dt}v(r(t))=\frac{dv(r)}{dr}\frac{dr}{dt}=\frac{dv(r)}{dr}v=v'(r)v(r)=
\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 10:32 


04/08/21
307
Ещё раз спасибо за попытки растолковать мне эти тонкости.

К сожалению, с ходу въехать во все нюансы не получилось. Отложил, чтобы посмотреть с утра на свежую голову. И вот теперь у меня возникли вопросы по этим двум цитатам (для удобства их лучше рассмотреть вместе):
Rak so dna в сообщении #1590607 писал(а):
Сначала имеем скорость как некоторую функцию от времени: $v=f(t)$
Потом мы хотим найти ее как функцию от расстояния: $v=g(r)$
Но расстояние — это тоже некоторая функция от времени: $r=h(t)$, причем $h'_t=r'_t=v$

Таким образом имеем: $v'_t=\left(g(h(t))\right)'_t=g'_{h(t)}\cdot h'_t=v'_rv=\left(\frac{v^2}{2}\right)'_r$
amon в сообщении #1590611 писал(а):
$$v=v(r(t)),\,\frac{d}{dt}v(r(t))=\frac{dv(r)}{dr}\frac{dr}{dt}=\frac{dv(r)}{dr}v=v'(r)v(r)=
\frac{d}{dr}\left(\frac{v^2}{2}\right)$$

Здесь в первой цитате $v=r_t'$ и потому запись $v_r'v$ означает "производная от $v$ по $r$, умноженная на производную от $r$ по $t$". Но производная от $r$ по $t$ является функцией, зависящей от аргумента $t$. То есть, получается, что запись $v'_rv$ означает $v'(r)v(t)$.

Во второй же цитате $v=\dfrac{d}{dt}r$ и потому по логике это также $v(t)$, то есть функция, зависящая от аргумента $t$. Но при этом мы почему-то видим запись $v'(r)v(r)$. Как $v$ вдруг стала функцией от аргумента $r$, что за чудеса? Может, это опечатка? Ведь по логике здесь должно быть $v'(r)v(t)$.

Это был первый вопрос.

А второй вопрос — мне непонятен переход в первой цитате
$v'_rv=\left(\dfrac{v^2}{2}\right)'_r$
и переход во второй цитате
$v'(r)v(r)=\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$

Откуда здесь вдруг берётся $\dfrac{v^2}{2}$ — вот этого я не понимаю. Это какое-то правило действий с производными, которое я успешно забыл, или что?

Допустим, $v'(r)v(r)$ это опечатка, и там должно быть $v'(r)v(t)$. Получается, можно внести $v(t)$ под знак производной $v'(r)$, если при этом разделить $v(t) / 2$? И затем можно умножить $v(r)v(t)$, как-то вдруг получив $(v(r))^2$ — или что здесь происходит?.. Это всё очень странно выглядит, если честно. Ничего, что мы перемножаем между собой функции $v$ от разных аргументов, это не мешает $v$ возводиться в квадрат?

Я долго пытался разобраться, но не вижу вообще никакой логики в том, что написано. Не за что уцепиться, я просто тупо не понимаю, почему вдруг всё так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 11:25 
Аватара пользователя


27/02/12
3893
need_to_learn в сообщении #1590633 писал(а):
А второй вопрос — мне непонятен переход в первой цитате
$v'_rv=\left(\dfrac{v^2}{2}\right)'_r$
и переход во второй цитате
$v'(r)v(r)=\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v^2}{2}\right)$

Найдите в учебнике "производная сложной функции".

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 11:40 


04/08/21
307
В дополнение к предыдущему моему посту:

Кое-что начинает доходить. Правило нахождения производной произведения:
$(u \cdot v)' = (u)'v + u(v)'$
Если при этом $u=v$, то
$(v \cdot v)' = (v)'v + v(v)' = 2(v)'v$
Значит,
$\left( \dfrac{v^2}{2} \right)' = \dfrac{1}{2} \cdot 2(v)'v = v'v$

Тогда второй вопрос вроде бы снимается, становится понятен переход
$v'(r)v(r) = \dfrac{d}{dr} \left( \dfrac{v^2}{2} \right)$

Но по-прежнему непонятно, почему там $v'(r)v(r)$, когда по логике должно быть $v'(r)v(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
need_to_learn в сообщении #1590639 писал(а):
Но по-прежнему непонятно, почему там $v'(r)v(r)$, когда по логике должно быть $v'(r)v(t)$.
Ну это одно и то же. Строго математически, $v(r)$ и $v(t)=v(r(t))$ это разные функции и стоило бы обозначать их разными буквами. Но на физическом уровне строгости эту разницу не учитывают, потому что из контекста понятно, что имеется в виду. Недостаток у такого подхода есть - например, становится непонятно, что такое $v(1)$ - это, грубо говоря, $v(r=1)$ или $v(t=1)$. Но если выражений вроде $v(1)$ не писать, всё читается и интерпретируется вполне однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5255
ФТИ им. Иоффе СПб
need_to_learn в сообщении #1590633 писал(а):
Как $v$ вдруг стала функцией от аргумента $r$, что за чудеса?
Пример:
$$
\begin{align}
r(t)&=\frac{at^2}{2},\,v(t)=at\\
t&=\sqrt{\frac{2r}{a}}\\
v(r)&=\sqrt{2ar}\\
\frac{dv(t)}{dt}&=a\\
\frac{dv(r)}{dr}v(r)&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a}{r}}\sqrt{2ar}=a
\end{align}
$$Вот такая магия. Сначала сам удивился, потом привык ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Mikhail_K в сообщении #1590641 писал(а):
Недостаток у такого подхода есть - например, становится непонятно, что такое $v(1)$ - это, грубо говоря, $v(r=1)$ или $v(t=1)$.
В физике не принято записывать числовые значения размерных величин без указания единиц измерения, так что запись $v(1)$ в любом случае нежелательна. Даже если знать, что речь идет о функции $v(r)$, эта единичка - это один метр или один сантиметр? А в записях вида $v(1 \, \textbf{м})$ и $v(1 \, \textbf{с})$ понятно, ху из ху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 15:14 
Аватара пользователя


27/02/12
3893
need_to_learn в сообщении #1590639 писал(а):
Кое-что начинает доходить. Правило нахождения производной произведения:
$(u \cdot v)' = (u)'v + u(v)'$
Если при этом $u=v$, то
$(v \cdot v)' = (v)'v + v(v)' = 2(v)'v$
Значит,
$\left( \dfrac{v^2}{2} \right)' = \dfrac{1}{2} \cdot 2(v)'v = v'v$

Как-то не с той стороны доходит...
Нет, всё правильно, но не надо ехать из Одессы в Москву через Владивосток...
А случись вам находить производную от, скажем, $V^5 (взял наобум)...
Сильно вам поможет произведение?..
Ещё раз:
miflin в сообщении #1590638 писал(а):
Найдите в учебнике "производная сложной функции".

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение22.04.2023, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
558
so dna
need_to_learn в сообщении #1590633 писал(а):
Здесь в первой цитате...
need_to_learn в сообщении #1590633 писал(а):
Во второй же цитате...
В обоих цитатах написано одно и тоже просто разными обозначениями. Так, например $v'_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v$

need_to_learn в сообщении #1590633 писал(а):
Здесь в первой цитате $v=r_t'$ и потому запись $v_r'v$ означает "производная от $v$ по $r$, умноженная на производную от $r$ по $t$". Но производная от $r$ по $t$ является функцией, зависящей от аргумента $t$. То есть, получается, что запись $v'_rv$ означает $v'(r)v(t)$.
Я потому и ввел обозначения, чтобы вы не путались:
Rak so dna в сообщении #1590607 писал(а):
Сначала имеем скорость как некоторую функцию от времени: $v=f(t)$
Потом мы хотим найти ее как функцию от расстояния: $v=g(r)$
Но расстояние — это тоже некоторая функция от времени: $r=h(t)$, причем $h'_t=r'_t=v$
Скорость $v$ может быть как функцией от времени $f(t)$ так и функцией от расстояния $g(r)$. Так уж вышло, что в наше уравнение не входит переменная $t$ сама по себе, зато входит переменная $r$ и это наталкивает на мысль искать $v$ именно как функцию от расстояния, то бишь в наших обозначениях — искать $g(r)$ вместо $f(t)$. Всё, выбор сделан, забываем, что скорость — функция от времени и окончательно считаем её функцией от расстояния. $\boxed{v=g(r)}$. Поэтому мы и можем положить, что $r'_t=v=g(r)$. Однако в это же уравнение входит ещё и ускорение, т.е. производная нашей скорости по времени, поэтому нам нужно и тут как-то избавиться от времени: ну просто применяем правило дифференцирования сложной функции $v'_t=(g(r))'_t=g'_r(r)r'_t=g'_r(r)g(r)$ Всё, больше переменной $t$ нигде не осталось и мы полностью переписали уравнение уже с новой переменной $r$. И с этой заменой уравнение легко решается.
Кстати, если тут все понятно — это хорошо, но вам ведь нужно найти $r(t)$, чтобы вычислить время через которое шары столкнутся...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация на релятивистских скоростях
Сообщение23.04.2023, 11:59 


04/08/21
307
amon в сообщении #1590558 писал(а):
$$
\begin{align}
\frac{d}{dr}&\left(\frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}\right)=0\Rightarrow \frac{v^2}{2}-\gamma\frac{2m}{r}=\operatorname{const}
\end{align}
$$

При начальной скорости $v_0(r) = 0 \text{ м/с}$ получается
$\operatorname{const} = - \gamma \dfrac{2m}{r_0}$
где $r_0$ это изначальное расстояние между телами.

Подставляем в формулу, получаем

$v(r) = \sqrt{4 \gamma m \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r_0} \right) } = 2 \sqrt{ \dfrac{\gamma m (r_0 - r)}{r_0r}} $

Только непонятно, что нам это даёт. :) Зависимость расстояния от времени как не получалось найти, так и не получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group