Подмножества вещественных чисел

[eugensk]

Someone
В 2) что-то не так, проверьте, пожалуйста. Полный в смысле не содержится в большем это про $\mathbb{R}$, a в смысле как у вас это может для вполне упорядоченных множеств, не для $\mathbb{R}$. Возможно, вместо наибольшего наименьшего говорили о супремуме инфимуме.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1565172 писал(а):

Так порожденная интервалами (множествами вида $\{x | a < x < b\}$), и как раз недедекиндовы сечения будут разбиениями на два непересекающихся открытых множества.

Ну т.е. если в ЛУМ существует сечение вида 2) (без крайних элементов), то это будет в точности разбиением на 2 непустых непересекающихся открытых (в топологии, порожденной интервалами) множества. Следовательно, это ЛУМ не является связным. Если в ЛУМ существует сечение вида 1), то мы имеем разбиение на 2 непустых непересекающихся замкнутых подмножества. Следовательно, наше ЛУМ опять не является связным. Это в одну сторону.

Теперь в другую сторону. Пусть наше ЛУМ не является связным (в топологии, порожденной интервалами). Надо доказать, что будут существовать сечения видов 1) или 2). У меня пока не получается это доказать.

[mihaild]

Сделайте из произвольного разбиения на два открытых множества сечение, и посмотрите, какой вид оно может иметь.

[Someone]

eugensk в сообщении #1565173 писал(а):

В 2) что-то не так, проверьте, пожалуйста. Полный в смысле не содержится в большем это про $\mathbb{R}$

Я ничего не говорил про "не содержится в большем", и для линейно упорядоченных множеств это бессмысленно: любое линейно упорядоченное множество легко вложить в ещё большее линейно упорядоченное множество. Для вашего определения существенны и другие структуры на $\mathbb R$, никак не сводящиеся к отношению порядка. А для $\mathbb R$ сформулированное (с ошибкой) мной стандартное (в теории упорядоченных множеств) определение даёт как раз то, что нужно.

eugensk в сообщении #1565173 писал(а):

a в смысле как у вас это может для вполне упорядоченных множеств, не для $\mathbb{R}$. Возможно, вместо наибольшего наименьшего говорили о супремуме инфимуме.

Вполне упорядоченные множества здесь ни при чём. Я просто оговорился. Действительно речь идёт о $\sup$ и $\inf$.

mihaild в сообщении #1565172 писал(а):

множествами вида $\{x | a < x < b\}$

Если в множестве нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента (как в $\mathbb{R,Q,Z}$), то так. А в общем случае нужно разрешить использовать в качестве $a$ и $b$ символы $-\infty$ и $+\infty$.

[Dicson]

mihaild в сообщении #1565139 писал(а):

Я вам советую перестать использовать слово "континуум" вне словосочетания "мощность континуума"

Хорошо, понятно, "континуум" - это только мощность множества, его характеристика, а не объект. В таком случае "континуум", "континуальное множество" и "несчётное множество" - это одно и то же, название одной и той же мощности множества? И как принято называть множество, мощность которого больше континуума, чтобы быть понятым однозначно?

Someone в сообщении #1565140 писал(а):

"Множество" и "мощность множества" — это не одно и то же, и отождествлять их нельзя.

Я понял, одно - объект, другое - характеристика одной из его особенностей.

Someone в сообщении #1565140 писал(а):

И Вам уже объясняли, что термин "континуум" имеет два разных значения.

Вроде бы выше речь шла о том, что "континуум" - это только обозначение мощности. То есть одно значение. Тогда какое же второе?

mihaild в сообщении #1565139 писал(а):

Тут встает вопрос в том, что такое "линия".

Процедура построения трансфинитных чисел, описанная у Виленкина (конец главы Вполне упорядоченные множества, глава начинается на стр. 92), если её продолжать достаточно долго, разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ будет больше континуума? Какими свойствами может обладать такой объект? Если я правильно понял сказанное ранее на этот счёт, ответ на оба этих вопроса: неизвестно.

mihaild в сообщении #1565139 писал(а):

Сама по себе мощность - не особо интересное свойство, вещественные числа делает интересными дополнительная структура (сложение, умножение, порядок).

Именно. Поэтому я и спрашивал не просто о множестве, мощность которого континуум, а о "линии/площади/объёме" (просто я раньше полагал, что все эти объекты можно обобщить в одном понятии континуума, из-за чего возникла путаница), то есть о свойствах описанного выше отрезка, мощность множества точек которого больше континуума.

Someone в сообщении #1565140 писал(а):

"Линию" такую придумать можно, но свойства могут быть разными в зависимости от конкретной конструкции.

Процедура построения трансфинитных чисел задаёт конструкцию? Можно ли что-либо определённое сказать о конструкции отрезка, который описан выше?

[Mikhail_K]

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

Математически существование такого объекта вроде бы возможно. В построении порядковых чисел мы отображаем множество точек луча $(0; \infty)$ на промежуток $(0; 1)$, строим новый луч, снова отображаем и так бесконечно. Таким образом, когда-нибудь мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ этого луча станет сколь угодно больше мощности действительных чисел.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Вообще это Виленкин, просто я написал кратко, оставив только суть, ну и в меру понимания, конечно. Оригинал этой записи - самый последний абзац главы Вполне упорядоченные множества, глава начинается на стр. 92.

Там говорится об одном способе наглядно представить себе не очень большие ординалы (они же порядковые числа, трансфинитные числа). Сами по себе ординалы определяются безо всякой связи с какими-то промежутками на прямой. В любом случае, расположенные на прямой точки никогда не образуют множество мощности большей, чем континуальная, в то время как ординалы бывают любой мощности. Хотя бы поэтому, изложенный там способ представлять себе ординалы годится только для небольших ординалов.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ будет больше континуума?

Этот вопрос у Вас сформулирован не очень понятно: о каких точках Вы говорите? Заметьте, что множества у Виленкина (про которые говорится, что они вполне упорядочены) не содержат никаких сплошных отрезков. Если Вы имеете в виду "множество отмеченных точек, находящихся внутри отрезка $[n,n+1]$" - то нет, такое множество никогда не будет иметь мощность больше, чем континуальная. Просто потому, что весь сплошной отрезок $[n,n+1]$ имеет континуальную мощность и никакие его подмножества не могут иметь большую мощность.

Ординалы могут иметь мощность больше континуальной, но ординалы, которые можно проиллюстрировать множествами точек на прямой как у Виленкина - не могут.

[Dicson]

Mikhail_K в сообщении #1565206 писал(а):

Просто потому, что весь сплошной отрезок $[n,n+1]$ имеет континуальную мощность и никакие его подмножества не могут иметь большую мощность.

Вот оно что. Понятно, спасибо. А почему так? Это "очевидно", в смысле есть какая-то аксиома на этот счёт?

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

В таком случае "континуум", "континуальное множество" и "несчётное множество" - это одно и то же, название одной и той же мощности множества?

Нет, существуют несчетные множества с мощностью отличной от мощности континуума. Точно существуют большей, а если принять отрицание гипотезы континуума - то и меньшей.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

И как принято называть множество, мощность которого больше континуума, чтобы быть понятым однозначно?

Так и говоря - "мощность множества такого-то больше континуума". Это не настолько часто нужная характеристика чтобы для неё отдельный термин придумывать.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Вроде бы выше речь шла о том, что "континуум" - это только обозначение мощности. То есть одно значение. Тогда какое же второе?

Есть понятие "мощность континуума", в теории множеств. И есть понятие "топологический континуум" (топологическое пространство с определенными свойствами). Они похожи как домашняя свинья и морская свинья, т.е. просто случайно (ладно, не совсем случайно, а в силу некоторых исторических причин, в современной математики никакого значения не имеющих) омонимичные термины.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Процедура построения трансфинитных чисел, описанная у Виленкина (конец главы Вполне упорядоченные множества
, глава начинается на стр. 92), если её продолжать достаточно долго, разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ будет больше континуума?

Во-первых, уточнение. Процедура, описанная у Виленкина, позволяет строить некоторые вполне упорядоченные подмножества прямой. Но она ни к чему не сходится (любое конкретное порядковое число, кроме $0$, на каждом следующем этапе уезжает всё левее и левее).
Во-вторых, построить так можно будет только небольшие ординалы - а именно, все счетные. $\omega_1$ (наименьшее порядковое число, меньше которого несчетное количество порядковых чисел) уже в $\mathbb R$ не вкладывается. $\omega_1$ может иметь континуальную мощность, может иметь мощность меньше континуальной, или, если отказаться от аксиомы выбора, вообще несравнимую с континуальной, но точно не может иметь большую.
И кстати для конструкции Виленкина даже вещественные числа не нужны, рациональных достаточно - положительные рациональные числа тоже можно вложить в $(0, 1) \cap \mathbb Q$ с сохранением порядка. Да и вообще любое не более чем счетное линейно упорядоченное множество вкладывается в $(0, 1) \mathbb Q$.

Mikhail_K в сообщении #1565206 писал(а):

Ординалы могут иметь мощность больше континуальной, но ординалы, которые можно проиллюстрировать множествами точек на прямой как у Виленкина - не могут.

И даже континуальные ординалы точками прямой проиллюстрировать так нельзя.

Dicson в сообщении #1565208 писал(а):

Это "очевидно", в смысле есть какая-то аксиома на этот счёт?

Нет, это теорема, непосредственно следующая из определения сравнения мощностей - мощность подмножества не превосходит мощности множества.

[Dicson]

Mikhail_K в сообщении #1565206 писал(а):

Просто потому, что весь сплошной отрезок $[n,n+1]$ имеет континуальную мощность и никакие его подмножества не могут иметь большую мощность.

Это не то предложение, которое мне нужно было процитировать. То, что "никакие его подмножества не могут иметь большую мощность", понятно. Непонятно, почему вот это:

mihaild в сообщении #1565209 писал(а):

В любом случае, расположенные на прямой точки никогда не образуют множество мощности большей, чем континуальная,

Почему не образуют?

mihaild, если вы уже ответили на этот вопрос в посте выше, то не могли бы вы процитировать ответ именно на этот вопрос ещё раз, так как без пояснений я его не узнал.

-- 22.09.2022, 00:38 --

А остальное ясно, спасибо.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565211 писал(а):

Почему не образуют?

Так "точки на прямой" - это подмножество прямой. А у прямой континуальная мощность.

[Dicson]

mihaild в сообщении #1565213 писал(а):

А у прямой континуальная мощность.

По определению? Это аксиома? Я сейчас посмотрел Википедию, но так сразу не увидел, где об этом сказано. Это следует из того, что "прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка"?

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565214 писал(а):

По определению?

Это определение (одно из) континуальной мощности.
(в данном контексте "прямая" - синоним вещественных чисел)

[Someone]

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Хорошо, понятно, "континуум" - это только мощность множества, его характеристика, а не объект. В таком случае "континуум", "континуальное множество"

Вы только что сказали, что нужно отличать объект от его свойства, и тут же записали в одну категорию свойство "континуум" и объект "континуальное множество".

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

В таком случае "континуум", "континуальное множество" и "несчётное множество" - это одно и то же, название одной и той же мощности множества?

Все три термина имеют разный смысл. "Континуум" — имя определённого кардинала ($\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, или, согласно определению, мощность множества действительных чисел — на всей числовой прямой или на отрезке, это без разницы); "континуальное множество" — то же самое, что "множество мощности континуум"; используется для краткости); "несчётное множество" — любое бесконечное множество, мощность которого не равна $\aleph_0$, то есть, мощности натурального ряда.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

И как принято называть множество, мощность которого больше континуума, чтобы быть понятым однозначно?

Так и называть: "множество мощности больше континуума".

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Я понял, одно - объект, другое - характеристика одной из его особенностей.

Судя по предыдущему тексту — не очень поняли. По моим наблюдениям, Вы пришли сюда с какими-то собственными убеждениями, и никак не хотите с ними расставаться, даже после нескольких разъяснений их ошибочности. Либо Вы этих разъяснений не понимаете, либо просто не читаете. Это может привести к тому, что вашим собеседникам всё это толчение воды в ступе надоест, и Вы останетесь в теме в одиночестве, либо раньше модератору надоест бесконечное повторение одного и того же, и он перенесёт тему в Пургаторий, где Вы ничего писать не сможете. А возобновление темы из Пургатория запрещено правилами.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Вроде бы выше речь шла о том, что "континуум" - это только обозначение мощности. То есть одно значение.

Ну вот пример "чрезвычайно внимательного чтения".
Вот ссылки: https://dxdy.ru/post1565037.html#p1565037 и ещё раньше https://dxdy.ru/post1565027.html#p1565027. Второе значение термина "континуум" — компактное связное метрическое пространство. Таких пространств очень много. Простейшее из них, видимо, как раз отрезок числовой прямой, но есть и до чрезвычайности причудливые (у Виленкина в III главе есть некоторые простые примеры).
Кстати, в словосочетании "мощность континуума" подразумевается именно это второе значение, поскольку мощность любого континуума (во втором смысле) равна как раз континууму (в первом смысле).

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Процедура построения трансфинитных чисел, описанная у Виленкина (…), если её продолжать достаточно долго, разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ будет больше континуума?

Отрезки у Виленкина используются исключительно для наглядности. В формальном определении ординалов никаких отрезков нет, да и, как уже объяснил mihaild в предыдущем сообщении, таким образом можно изобразить только не более чем счётные ординалы (да и то изображение бесконечных ординалов является весьма условным, поскольку физически невозможно нарисовать бесконечную последовательность точек).

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ будет больше континуума? Какими свойствами может обладать такой объект? Если я правильно понял сказанное ранее на этот счёт, ответ на оба этих вопроса: неизвестно.

Как уже объяснялось, отрезок числовой прямой по определению имеет мощность континуум, и никакого подмножества большей мощности на нём нет: подмножество любого множества имеет мощность $\leqslant$ мощности этого множества. Поэтому ваш непонятный "объект" просто не существует. Что касается свойств, то несуществующий объект обладает всеми свойствами, которые только можно сформулировать в языке теории, к которой относится этот несуществующий объект.

Dicson в сообщении #1565204 писал(а):

Процедура построения трансфинитных чисел задаёт конструкцию? Можно ли что-либо определённое сказать о конструкции отрезка, который описан выше?

Трансфинитные числа (ординалы) определяются следующими правилами:
1) $0=\varnothing$;
2) $\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$;
3) если уже построено некоторое множество ординалов $M$, и среди них нет наибольшего, то непосредственно следующий за всеми ними ординал $\alpha=\bigcup_{\beta\in M}\beta$.

Что "задаёт" эта конструкция, кроме ординалов? Ничего.

Dicson в сообщении #1565214 писал(а):

mihaild в сообщении #1565213 писал(а):

А у прямой континуальная мощность.

По определению? Это аксиома? Я сейчас посмотрел Википедию, но так сразу не увидел, где об этом сказано. Это следует из того, что "прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка"?

Очередной образец "чрезвычайно внимательного чтения". Причём, это повторялось уже много раз: континуум по определению есть мощность множества действительных чисел. Определённо, по теме плачет Пургаторий.

[Dicson]

Someone в сообщении #1565216 писал(а):

Как уже объяснялось, отрезок числовой прямой по определению имеет мощность континуум, и никакого подмножества большей мощности на нём нет: подмножество любого множества имеет мощность $\leqslant$ мощности этого множества. Поэтому ваш непонятный "объект" просто не существует.

Это и есть ответ на мой вопрос. Его уже дали, но всё равно спасибо, конечно.

То, что я не сразу понимал написанное вами и другими, так это потому, что тема незнакомая. "Континуум" сейчас подразумевался мною именно как мощность - синоним "мощность континуума", а не объект. Про собственные убеждения - да, конечно, я что-то предполагал, но я исходил из неверного понимания прямой. Сейчас всё прояснилось.