Хорошо, понятно, "континуум" - это только мощность множества, его характеристика, а не объект. В таком случае "континуум", "континуальное множество"
Вы только что сказали, что нужно отличать объект от его свойства, и тут же записали в одну категорию свойство "континуум" и объект "континуальное множество".
В таком случае "континуум", "континуальное множество" и "несчётное множество" - это одно и то же, название одной и той же мощности множества?
Все три термина имеют разный смысл. "Континуум" — имя определённого кардинала (
![$\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/9/099af24db70bacb5d73648c987677a5982.png)
, или, согласно определению, мощность множества действительных чисел — на всей числовой прямой или на отрезке, это без разницы); "континуальное множество" — то же самое, что "множество мощности континуум"; используется для краткости); "несчётное множество" — любое бесконечное множество, мощность которого не равна
![$\aleph_0$ $\aleph_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/3/05337ee7dbe333d118d371bc95c44f7a82.png)
, то есть, мощности натурального ряда.
И как принято называть множество, мощность которого больше континуума, чтобы быть понятым однозначно?
Так и называть: "множество мощности больше континуума".
Я понял, одно - объект, другое - характеристика одной из его особенностей.
Судя по предыдущему тексту — не очень поняли. По моим наблюдениям, Вы пришли сюда с какими-то собственными убеждениями, и никак не хотите с ними расставаться, даже после нескольких разъяснений их ошибочности. Либо Вы этих разъяснений не понимаете, либо просто не читаете. Это может привести к тому, что вашим собеседникам всё это толчение воды в ступе надоест, и Вы останетесь в теме в одиночестве, либо раньше модератору надоест бесконечное повторение одного и того же, и он перенесёт тему в
Пургаторий, где Вы ничего писать не сможете. А возобновление темы из Пургатория запрещено правилами.
Вроде бы выше речь шла о том, что "континуум" - это только обозначение мощности. То есть одно значение.
Ну вот пример "чрезвычайно внимательного чтения".
Вот ссылки:
https://dxdy.ru/post1565037.html#p1565037 и ещё раньше
https://dxdy.ru/post1565027.html#p1565027. Второе значение термина "континуум" — компактное связное метрическое пространство. Таких пространств очень много. Простейшее из них, видимо, как раз отрезок числовой прямой, но есть и до чрезвычайности причудливые (у Виленкина в III главе есть некоторые простые примеры).
Кстати, в словосочетании "мощность континуума" подразумевается именно это второе значение, поскольку мощность любого континуума (во втором смысле) равна как раз континууму (в первом смысле).
Процедура построения трансфинитных чисел, описанная у Виленкина (…), если её продолжать достаточно долго, разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка
![$[n; n + 1]$ $[n; n + 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/430b7246753f2fdd9e53b0f5f3bdc4f182.png)
будет больше континуума?
Отрезки у Виленкина используются исключительно для наглядности. В формальном определении ординалов никаких отрезков нет, да и, как уже объяснил
mihaild в предыдущем сообщении, таким образом можно изобразить только не более чем счётные ординалы (да и то изображение бесконечных ординалов является весьма условным, поскольку физически невозможно нарисовать бесконечную последовательность точек).
разве не приведёт к тому, что мощность множества точек каждого отрезка
![$[n; n + 1]$ $[n; n + 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/430b7246753f2fdd9e53b0f5f3bdc4f182.png)
будет больше континуума? Какими свойствами может обладать такой объект? Если я правильно понял сказанное ранее на этот счёт, ответ на оба этих вопроса: неизвестно.
Как уже объяснялось, отрезок числовой прямой по определению имеет мощность континуум, и никакого подмножества большей мощности на нём нет: подмножество любого множества имеет мощность
![$\leqslant$ $\leqslant$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/2/302f5fd8261956111d2aafe346d3c08582.png)
мощности этого множества. Поэтому ваш непонятный "объект" просто не существует. Что касается свойств, то несуществующий объект обладает всеми свойствами, которые только можно сформулировать в языке теории, к которой относится этот несуществующий объект.
Процедура построения трансфинитных чисел задаёт конструкцию? Можно ли что-либо определённое сказать о конструкции отрезка, который описан выше?
Трансфинитные числа (ординалы) определяются следующими правилами:
1)
![$0=\varnothing$ $0=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/1/451ec21123448d121370fbd1dff7f8cc82.png)
;
2)
![$\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$ $\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/1/5017e23c44810321dbfea30e0880356282.png)
;
3) если уже построено некоторое множество ординалов
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, и среди них нет наибольшего, то непосредственно следующий за всеми ними ординал
![$\alpha=\bigcup_{\beta\in M}\beta$ $\alpha=\bigcup_{\beta\in M}\beta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/a/eeab6633705110d5b171abff2953519782.png)
.
Что "задаёт" эта конструкция, кроме ординалов? Ничего.
А у прямой континуальная мощность.
По определению? Это аксиома? Я сейчас посмотрел Википедию, но так сразу не увидел, где об этом сказано. Это следует из того, что "прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка"?
Очередной образец "чрезвычайно внимательного чтения". Причём, это повторялось уже много раз:
континуум по определению есть мощность множества действительных чисел. Определённо, по теме плачет Пургаторий.