2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 20:01 


05/12/14
203
Здравствуйте, помогите разобраться, пожалуйста. Множество подмножеств вещественных чисел больше самого множества вещественных чисел. Какие числа выражают множество этих подмножеств? И правильно ли я понимаю, что множество подмножеств вещественных чисел, потом их множество подмножеств и так далее в бесконечность, называются гипер-гипер-…гиперконтинуумы?

Попытка самостоятельного решения. Я раньше считал, что вещественных чисел достаточно для всего, так как в любом случае мы можем представить или точку, или континуум. Потом узнал, что множество подмножеств больше самого множества. Если так, то множество подмножеств вещественных чисел тоже должно быть больше самого множества вещественных чисел. Поэтому, чтобы выразить количество подмножеств вещественных чисел, нужны уже какие-то другие числа и так бесконечно. В Википедии нашлось много чего по этой теме - от теорем расширения числовых систем до "других числовых систем" - но, по-моему, там нет ответа на мой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 20:19 


18/09/21
1676
Cardinal number

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 20:39 


05/12/14
203
Я правильно понимаю, что подмножества множества вещественных чисел - это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"? Или надо понимать так, что это такая же несчётная бесконечность вещественных чисел, просто она вмещает все бесконечности? Только по одной ссылке мне сложно разобраться, там столько подробностей, не знаю, на что внимание обращать.

И это гиперконтинуумы? По второму вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Dicson в сообщении #1564055 писал(а):
Какие числа выражают множество этих подмножеств?

Числа не выражают множеств. Формулируйте вопросы аккуратнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 21:07 


05/12/14
203
alcoholist в сообщении #1564062 писал(а):
Числа не выражают множеств. Формулируйте вопросы аккуратнее.

Я понимаю, правильно - равномощны. Я хотел, чтобы меня понятнее было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8350
Цюрих
Поянтнее будет, если вы будете стараться выражаться правильно:)
Множество подмножеств $\mathbb R$ имеет большую мощность, чем само $\mathbb R$. Мощности множеств прямого отношения к вещественным числам не имеют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 21:27 


05/12/14
203
mihaild в сообщении #1564065 писал(а):
Мощности множеств прямого отношения к вещественным числам не имеют.

Ясно. Тогда так. Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел. Какой "континуум" равномощен множеству подмножеств вещественных чисел? Этот "континуум" называется гиперконтинуум? Каким числам он равномощен? Так как эти "множества подмножеств" можно строить бесконечно, то как понимать их связь с числами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 21:40 


18/09/21
1676
Если множество конечно и содержит $n$ элементов, то множество всех его подмножеств тоже конечно и содержит $2^n$ элементов.
Мощность (cardinality) множества натуральных чисел (счётного множества) обозначается $\aleph_0$.
Мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел обозначается $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ и эквивалентна мощности множества всех действительных чисел.
Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$.
И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 21:52 


05/12/14
203
zykov в сообщении #1564068 писал(а):
Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$.

Как обозначается, понятно, спасибо. Но как это надо понимать? "Множество всех подмножеств множества действительных чисел" - это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"? Или это такая же несчётная бесконечность вещественных чисел, просто она вмещает все бесконечности?

Или в другой формулировке: Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел. Какой "континуум" равномощен множеству подмножеств вещественных чисел? Этот "континуум" называется гиперконтинуум? Каким числам он равномощен? Так как эти "множества подмножеств" можно строить бесконечно, то как понимать их связь с числами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:01 


18/09/21
1676
Dicson в сообщении #1564069 писал(а):
это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"?
Да.
За ним так же можно следующий сконструировать, и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:10 


05/12/14
203
zykov в сообщении #1564071 писал(а):
Да.
За ним так же можно следующий сконструировать, и так далее.

Теперь ясно, спасибо.

Я правильно понимаю, что "множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект (так как он непредставим и его нельзя построить на практике) и что во "второй формулировке" из моего поста выше - это гиперконтинуум? И все остальные построенные таким способом "континуумы" - это будут гипер-гипер...гиперконтинуумы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8350
Цюрих
Dicson в сообщении #1564067 писал(а):
Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел
Слово "континуум" в данном контексте не означает какой-то конкретный объект. В фразе "множество имеет мощность континуум" словосочетание "мощность континуум" неделимо.
Dicson в сообщении #1564067 писал(а):
Каким числам он равномощен?
А почему он должен быть равномощен каким-то числам?
zykov в сообщении #1564068 писал(а):
Мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел обозначается $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ и эквивалентна мощности множества всех действительных чисел.
Лихо Вы гипотезу континуума самоочевидной объявили.
Dicson в сообщении #1564073 писал(а):
"множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект
А что, вещественные числа построить можно?
Dicson в сообщении #1564073 писал(а):
И все остальные построенные таким способом "континуумы" - это будут гипер-гипер...гиперконтинуумы?
"Гиперконтинуум" - не очень общепринятый термин, не исключаю, что в разных местах у него могут быть неэквивалентные определения. Каким вы пользуетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:31 


18/09/21
1676
mihaild в сообщении #1564075 писал(а):
Лихо Вы гипотезу континуума самоочевидной объявили.
Думаю, сейчас ТС не до таких тонкостей.
Dicson в сообщении #1564073 писал(а):
Я правильно понимаю, что "множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект
Почему же? Вот мы взяли множество всех вещественных чисел, потом взяли множество всех его подмножеств. Вот мы его и сконструировали.
Может я конечно ошибаюсь, но вроде "неконструктивный объект" - это когда мы доказали существование объекта, но никак не сконструировали его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Может быть множество подмножеств для наглядности можно представить себе как множество индикаторных функций на множестве? Ну то есть в вашем случае $\mathbb R \to \{0,1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Подмножества вещественных чисел
Сообщение03.09.2022, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8350
Цюрих
zykov в сообщении #1564077 писал(а):
Думаю, сейчас ТС не до таких тонкостей.
ТС очевидно в алефах сейчас не разберется. Но ИМХО это означает, что их вообще не надо упоминать. Тем более что есть $\beth$, которые определяются ровно как вы написали.
zykov в сообщении #1564077 писал(а):
Может я конечно ошибаюсь, но вроде "неконструктивный объект" - это когда мы доказали существование объекта, но никак не сконструировали его.
Тут вопрос в том, какие средства нам разрешают использовать для конструирования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 89 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group