Подмножества вещественных чисел

[zykov]

svv в сообщении #1565118 писал(а):

Или даже множество функций $f: \mathbb R\to\{0, 1\}$.

Тоже самое, что множество всех подмножеств $\mathbb R$.

[svv]

Ага. Каждая такая функция — индикатор некоторого подмножества $\mathbb R$.

[Dicson]

Mikhail_K в сообщении #1565113 писал(а):

Это верно, что континуум есть мощность множества действительных чисел или, что то же самое, мощность множества точек на прямой. Однако, мощность континуум могут иметь и многие другие множества, в т.ч. вообще не геометрической природы. Поэтому можно определить континуум как мощность прямой, но нельзя "отождествлять" континуум только с геометрическими объектами.

Конечно. Я именно так и делаю - не отождествляю, поэтому давно эту позицию пояснил, написав о множестве бесконечных последовательностей $0, 1$ (цитата ниже). Даже в сегодняшнем первом посте я специально написал, что "У Виленкина континуум явным образом отождествляется в том числе с такими объектами, как линия/площадь/объём, ...".

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

Если я правильно понимаю, в математике континуум имеет, условно говоря, два воплощения. С одной стороны, это такое же множество объектов, как и бесконечное счётное множество, просто объектов в континууме больше. Например, как в множестве бесконечных последовательностей $0, 1$, которое несчётно, то есть имеет мощность континуума.

Mikhail_K в сообщении #1565113 писал(а):

Нет, mihaild утверждает лишь, что конкретно приведённый Вами текст не имеет отношения к доказательству существования таких мощностей. А так, Вы правы в том, что мощности больше континуума существуют и это доказано.

Вообще это Виленкин, просто я написал кратко, оставив только суть, ну и в меру понимания, конечно. Оригинал этой записи - самый последний абзац главы Вполне упорядоченные множества, глава начинается на стр. 92.

mihaild в сообщении #1565114 писал(а):

Нет. Я вам уже говорил - словосочетание "мощность континуума" неделимо. Фраза Виленкина говорит о мощности множества точек прямой, а не самом этом множестве. Сама по себе мощность объектом теории множеств не является (на вашем текущем уровне; есть некоторые хитрые способы это частично обойти, но сейчас они неважны). Можно сказать "два множества имеют одинаковую мощность". Можно сказать "множество имеет мощность континуума" (иногда говорят "множество имеет мощность континуум", "мощность множества - континуум", "множество континуально" и т.д. - это всё "синтаксический сахар", просто более удобные грамматически способы сказать одно и то же) - это означает "множество равномощно вещественным числам". Прочитайте внимательно определение у Виленкина на странице 85:

Someone в сообщении #1565117 писал(а):

Вы здесь явно путаетесь. У Вас получается, образно говоря, что "вода" и "температура воды" — это одно и то же. Виленкин нигде не говорит, что кардинал, называемый "континуум" — это и есть множество действительных чисел. По определению, континуум — это мощность множества действительных чисел. А также мощность отрезка числовой прямой, квадрата, куба, канторова совершенного множества, множества подмножеств натурального ряда, множества последовательностей рациональных чисел. А также ещё большого количества множеств разной степени интересности. Наделять этот кардинал свойствами, присущими какому-либо конкретному множеству, не следует. Я вижу, что Вас это сбило с толку и увело в направлении бессмысленных философствований.

Противоречат ли ваши слова написанному Mikhail_K (см. первую цитату поста)? Мне более понятна позиция, высказанная им, (или то, как он объяснил вашу общую позицию, если они не противоречат друг другу). И она мне кажется более естественной, так как если отождествить континуум исключительно только с количеством, то, по-моему, теряется смысловая связь между континуумом и действительными числами. Но ведь именно континуум был их естественным прообразом: "Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин" (цитата из Википедии). "Непрерывная величина" - это же и есть континуум.

mihaild в сообщении #1565114 писал(а):

Процитированный (вами ниже) фрагмент ответа на вопрос не содержит.

Вы, видимо, ожидали что-то строгое, формальное, математическое? Нет, у меня есть только неформальное предположение, исходящее из слабой аналогии с действительными числами, на котором я, естественно, не настаиваю. Верифицировать его, по-видимому, можно только если найти реальный прообраз такого объекта. Причём если элементы этого объекта действительно такие неформализуемые, то "формальным, строгим, математическим" он всё равно не станет.

svv в сообщении #1565118 писал(а):

Может, Вам нужен просто понятный пример множества мощности большей, чем континуум? Таково, например, множество функций $f: \mathbb R\to\mathbb R$ (вещественнозначных функций вещественной переменной). Или даже множество функций $f: \mathbb R\to\{0, 1\}$.

Спасибо, но нет, этот пример не имеет отношения к моему вопросу. Меня интересует (интересовала, точнее, вроде уже всё выяснилось) свойства объекта "линия/площадь/объём, мощность множества точек которой больше множества континуума".

[svv]

Увы, даже всё трёхмерное пространство, и даже 29-мерное — это по мощности лишь континуум.

[Dicson]

svv в сообщении #1565123 писал(а):

Увы, даже всё трёхмерное пространство, и даже 29-мерное — это по мощности лишь континуум.

Да, я тоже написал об этом на третьей странице:

Dicson в сообщении #1564171 писал(а):

Для любой линии, поверхности, любого сколь угодно многомерного объёма достаточно будет действительных чисел

Но ваше утверждение похоже на категоричное. Для категоричности есть какие-то строгие основания?

[Aritaborian]

Dicson в сообщении #1565124 писал(а):

Но ваше утверждение похоже на категоричное. Для категоричности есть какие-то строгие основания?

Да, есть. Это утверждение доказывается.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

И она мне кажется более естественной, так как если отождествить континуум исключительно только с количеством

Что такое "отождествить" в данном контексте?
Я вам советую перестать использовать слово "континуум" вне словосочетания "мощность континуума" (и призываю всех остальных участников этой темы постараться сделать в этой теме так же), это может уменьшить путанцу.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

теряется смысловая связь между континуумом и действительными числами

А её, кроме утверждения "множество вещественных чисел имеет мощность континуум" и нет.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Но ведь именно континуум был их естественным прообразом

Это важно для истории математики, но не для математики. И даже в ней довольно далеко от правды.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

"Непрерывная величина" - это же и есть континуум.

А это разве что в лингвистике, и то не уверен.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Противоречат ли ваши слова написанному Mikhail_K (см. первую цитату поста)?

Нет, не противоречат. Мы на три голоса разными словами говорим, что мощность множества действительных чисел и сами действительные числа - существенно разные вещи.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Вы, видимо, ожидали что-то строгое, формальное, математическое?

Да, я ожидаю, что разговоры о математических объектах ведутся по математическим правилам:)

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Верифицировать его, по-видимому, можно только если найти реальный прообраз такого объекта

Математика не занимается "верификацией" в смысле естественных наук. Математика занимается доказательствами.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Меня интересует (интересовала, точнее, вроде уже всё выяснилось) свойства объекта "линия/площадь/объём, мощность множества точек которой больше множества континуума"

Тут встает вопрос в том, что такое "линия". Сама по себе мощность - не особо интересное свойство, вещественные числа делает интересными дополнительная структура (сложение, умножение, порядок). Есть разные интересные объекты, имеющие мощность больше континуума (множество измеримых множеств, множество непрерывных линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, много чего еще), но я навскидку не припомню ни одного совсем "простого".

[Someone]

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Я именно так и делаю - не отождествляю, поэтому давно эту позицию пояснил, написав о множестве бесконечных последовательностей $0, 1$ (цитата ниже). Даже в сегодняшнем первом посте я специально написал, что "У Виленкина континуум явным образом отождествляется в том числе с такими объектами, как линия/площадь/объём, ...".

У Виленкина — не отождествляется. Не надо клеветать на грамотного специалиста. Либо Вы неправильно употребляете этот термин. Тождественные понятия обозначают одно и то же. Тождественные объекты — это один и тот же объект. "Множество" и "мощность множества" — это не одно и то же, и отождествлять их нельзя. Точно так же, как "вода" и "температура воды" — не тождественные понятия.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

"Непрерывная величина" - это же и есть континуум.

Не знаю такого понятия — "непрерывная величина". И Вам уже объясняли, что термин "континуум" имеет два разных значения. Ни в одном из них он не является "непрерывным". Термин "непрерывный" применяется к функциям и никакого отношения к "континууму" в любом смысле не имеет.

Dicson в сообщении #1565122 писал(а):

Меня интересует (интересовала, точнее, вроде уже всё выяснилось) свойства объекта "линия/площадь/объём, мощность множества точек которой больше множества континуума".

"Линию" такую придумать можно, но свойства могут быть разными в зависимости от конкретной конструкции. И главный вопрос: что такое "линия"? Есть разные определения, совсем между собой не эквивалентные.

[Aritaborian]

Aritaborian в сообщении #1565136 писал(а):

Это утверждение доказывается.

Кстати, у Виленкина это есть. Гл. 3, п. "Отрезок и квадрат" разве не об этом?

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1565140 писал(а):

Термин "непрерывный" применяется к функциям и никакого отношения к "континууму" в любом смысле не имеет.

В принципе можно найти смысл, в котором будет иметь. Понятие "непрерывный" можно применять к любому линейно упорядоченному множеству: ЛУМ будем называть непрерывным, если любое его сечение дедекиндово.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1565146 писал(а):

сечение дедекиндово

Не встречал такого термина. Сформулируйте, пожалуйста, определение.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1565155 писал(а):

Сформулируйте, пожалуйста, определение.

У любого ЛУМ есть 4 вида сечений:
1) с крайними элементами в обоих классах
2) без крайних элементов в обоих классах
3) с крайним элементом в левом классе и без крайнего элемента в правом классе
4) с крайним элементом в правом классе и без крайнего элемента в левом классе

Сечения вида 3) и 4) называются дедекиндовыми. В $\mathbb R$ любое сечение дедекиндово.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1565157 писал(а):

Сечения вида 3) и 4) называются дедекиндовыми.

Я понял. Но нигде и никогда не встречал.

Для линейно упорядоченных множеств употребляются два термина.
1) Линейный порядок называется плотным, если между любыми двумя различными элементами всегда есть третий, от них обоих отличающийся.
2) Линейный порядок называется полным, если каждое непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань ($\inf$), и каждое непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань ($\sup$).
Изменение: здесь было написано "наименьший элемент" и "наибольший элемент", что неправильно. Спасибо eugensk, который заметил ошибку. Также добавил требование непустоты множеств.

Порядок на $\mathbb R$ является одновременно плотным и полным. Порядок на $\mathbb Q$ является плотным, но не является полным. Порядок на $\mathbb Z$ является полным, но не является плотным.

Что касается

EminentVictorians в сообщении #1565146 писал(а):

В принципе можно найти смысл, в котором будет иметь,

то можно взять любое слово, прицепить к нему математическое определение, и таким образом "найти смысл". Так, кстати, всегда и делается. Никто Вам не запретит, только всех заранее предупреждайте, в каком смысле Вы это слово используете. В данном случае Dicson употребил слова "сплошной" и "непрерывный" без точного определения. И вряд ли он свои смутные ощущения сможет сформулировать в виде определения. К тому же, у меня есть подозрение, что он имеет в виду "связный", и я такое предположение высказывал. В вашей интерпретации тоже получается "связный".

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1565168 писал(а):

В вашей интерпретации тоже получается "связный".

Ну тут все равно есть нюанс, что для связности нужна топология, а для непрерывности - только структура ЛУМ. Я не уверен, что для любого линейно упорядоченного множества существует какой-то естественный способ ввести топологию, связность в которой будет согласована с непрерывностью в смысле дедекиндовых сечений.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1565171 писал(а):

Я не уверен, что для любого линейно упорядоченного множества существует какой-то естественный способ ввести топологию, связность в которой будет согласована с непрерывностью в смысле дедекиндовых сечений

Так порожденная интервалами (множествами вида $\{x | a < x < b\}$), и как раз недедекиндовы сечения будут разбиениями на два непересекающихся открытых множества.