Формализация математических текстов

[Alexandr Gavrichenko]

Классификация, например, по википедии.

1) Уравнение Шредингера в мнимом времени параболично.

$(SHRED.EQ | t \mapsto i\tau) \in PRB.DEG(2).DPLEQ(x, y, z, \tau)$

Запись $(SHRED.EQ | t \mapsto i\tau)$ означает замену переменных $ t \mapsto i\tau$ в уравнении Шредингера $(SHRED.EQ)$.

2) Гиперболический тип.

Обозначим сигнатуру (знаки при коэффициентах квадратичной формы) следующим образом $SGNT(x, y, z, t)$.

$SGNT(x, y, z, t) = (+, +, -, -) \Rightarrow$

\Rightarrow $(u_{xx}+u_{yy}-u_{tt}-u_{zz}=0) \in HPB.DEG(2).DPLEQ(x, y, z,t)$

Ультрагиперболический тип рассматривается как подтип гиперболического (см. статью в википедии), то есть можно записать:

$HPB.DEG(2).DPLEQ = NORM.HPB.DEG(2).DPLEQ + ULTR.HPB.DEG(2).DPLEQ$

Или, что эквивалентно:

$HPB.DEG(2).DPLEQ= (NORM + ULTR).HPB.DEG(2).DPLEQ$

Тогда

$SGNT(x, y, z, t) = (+, +, -, -) \Rightarrow$

$\Rightarrow (u_{xx}+u_{yy}-u_{tt}-u_{zz}=0) \in ULTR.HPB.DEG(2).DPLEQ(x, y, z, t)$

3) В уравнении отсутствует $u_{tt}$, поэтому уравнение параболично.

$SGNT(x, y, t) = (+, -, 0) \Rightarrow$

$\Rightarrow (u_t=u_{xx}-u_{yy}) \in PRB.DEG(2).DPLEQ(x, y, t)$

Примечание.
Википедия утверждает, что надо рассаматривать классификацию в конкретной точке $M$. Можно понимать запись

$DPLEQ(x_0, y_0, z_0)$

как множество значений "всех" лин. дифф. уравнений в ч.п. в точке $M = (x_0, y_0, z_0)$.

А, к примеру, запись

$((SHRED.EQ | t \mapsto i\tau) | (x_0, y_0, z_0, {\tau}_0))$

будет означать значение уравнения Шредингера в мнимом времени в точке $(x_0, y_0, z_0, {\tau}_0)$.

-- 28.07.2023, 20:28 --

Комментарий к предыдущему сообщению.
Формальная запись получилась длинновата.
Можно попробовать её сократить.
Предположим, что мы рассматриваем только линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Другими словами, множество $DEG(2).DPLEQ$ является универсумом.
Тогда это множество можно не указывать каждый раз при записи.
Например, $PRB.DEG(2).DPLEQ(x, y, t)$ кратко записывать как $PRB$.

Тогда решение поставленной Red_Herring задачи будет записано так:

1) $(SHRED.EQ | t \mapsto i\tau) \in PRB$

2) $SGNT(x, y, z, t) = (+, +, -, -) \Rightarrow $(u_{xx}+u_{yy}-u_{tt}-u_{zz}=0) \in ULTR.HPB$

3) $SGNT(x, y, t) = (+, -, 0) \Rightarrow (u_t=u_{xx}-u_{yy}) \in PRB$

Ответ:
1) $PRB$; 2) $ULTR.HPB \subset HPB$; 3) $PRB$

Дополнение
Как обозначить нормальный гиперболически-параболический тип? Ответ: $(NORM.HPB).PRB$

Тогда ответ на вопрос Red_Herring таков:

1) $ (t \mapsto i\tau) \wedge PRB$; 2) $ULTR.HPB \subset HPB$; 3) $(NORM.HPB).PRB$

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603014 писал(а):

Википедия утверждает, что надо рассаматривать классификацию в конкретной точке $M$.

А решение оно не в точке. Поэтому правильная точка зрения: уравнение имеет определенный тип если оно обладает определенными свойствами, присущими этому типу, а вовсе не потому, что оно "так выглядит". И вот, например, уравнение Трикоми $u_{xx}+xu_{yy}=0$ и краевые задачи для него плохо поддаются изучению именно потому, что его тип меняется от точки к точке.

А как быть с вашим утверждением, что все уравнения 2го порядка либо эллиптические, либо гиперболоческие, либо параболические? Теперь у вас появляются новые типы, которые отнюдь не исчерпывают всего даже для уравнений второго порядка. А есть еще уравнения высших порядков, есть системы. И подавляющее большинство их ни к какому типу не относятся просто потому, что никакими хорошими свойствами не обладают. И ваши символы это просто неудобочитаемые сокращения. Единственный плюс--что никто ошибки не заметит. А минус--что и читать не будет.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603042 писал(а):

Поэтому правильная точка зрения: уравнение имеет определенный тип если оно обладает определенными свойствами, присущими этому типу, а вовсе не потому, что оно "так выглядит".

Тип определяется знаками коэффициентов соответствующей квадратичной формы в каноническом виде.

Red_Herring в сообщении #1603042 писал(а):

И вот, например, уравнение Трикоми $u_{xx}+xu_{yy}=0$ и краевые задачи для него плохо поддаются изучению именно потому, что его тип меняется от точки к точке.

Можно записать так (это уже четвёртый пример):

$Eq_4 = \text{(уравнение Трикоми)} = (u_{xx}+xu_{yy}=0)$

$ \begin{cases} \raggedleft Eq_4 \in ELP,&\text{$x>0$}\\ Eq_4 \in PRB,&\text{$x=0$}\\ Eq_4 \in HPB,&\text{$x<0$} \end{cases} $

Red_Herring в сообщении #1603042 писал(а):

А как быть с вашим утверждением, что все уравнения 2го порядка либо эллиптические, либо гиперболоческие, либо параболические? Теперь у вас появляются новые типы, которые отнюдь не исчерпывают всего даже для уравнений второго порядка.

Нет. Типов остаётся три. Появляются подтипы гиперболических и параболических уравнений (см. статью в википедии). Если подтипы не использовать, то ответ таков:

1) $PRB$; 2) $HPB$; 3) $PRB$

Red_Herring в сообщении #1603042 писал(а):

И ваши символы это просто неудобочитаемые сокращения. Единственный плюс--что никто ошибки не заметит. А минус--что и читать не будет.

Привычки нет читать и писать мои символы. Поэтому они неудобны. В 6-7-м классе были неудобочитаемы символы для переменных, но за несколько лет натаскивания все привыкли, причём настолько, что без них тяжело даже прочесть запись алгебраического уравнения. (Умноженная на себя переменная, к которой добавили утроенное значение той же переменной и константу три с половиной, равна нулю.) Очень тяжело читать.
А плюс моей символики в том, что нет необходимости знать естественный (в данном случае, русский) язык, чтобы обсуждать математическое явление.

Другой плюс в том, что сокращения обозначают некоторые множества (или классы) и поэтому соотношения между ними поддаются формальной записи с применением теоретико-множественных отношений (принадлежности, объединения и т. д.) Если утверждается, что "уравнение 3) принадлежит параболическому типу", то, введя сокращение ($PRB$) для множества уравнений параболического типа, мы получаем возможность воспользоваться для записи значком ($\in$) отношения принадлежности ($Eq_3 \in PRB$).

Насчёт ошибок. Да, ошибки в формальной записи возникают чаще.

С другой стороны, написанный формальный текст можно однозначно трактовать, что не всегда удаётся при написании на естественном языке. В естественном языке можно ненароком умолчать о связи между понятиями, при том что в формальной записи её придётся явно указывать.

Пример неправильного понимания для уравнения 3). На естественном языке было написано:

"в уравнении отсутствует $u_{tt}$".

Можно (плохо зная русский язык) понять это, например, так:

$u_{tt} = 0$,

что будет ошибкой.

Запись

$ SGNT(x, y, t) = (+, -, 0) $

или запись (где $coef(v)$ — обозначение для коэффициента при $v$)

$coef(u_{tt}) = 0$

будет трактоваться однозначно.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603042 писал(а):

А минус--что и читать не будет.

Пеано ратовал за формализацию.

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1602994 писал(а):

Утверждение о классификации:

$DEG(2).DPLEQ = (ELP + HPB + PRB).DEG(2).DPLEQ$

В этой записи упускается из виду, что $(ELP + HPB + PRB)$ — это объединение непересекающихся множеств (разбиение множества).

Можно дополнительно условиться, что $\sqcup$ используется для описания разбиения.

Тогда утверждение о классификации в точке $(x_0, y_0, z_0)$ будет выглядеть так:

$DEG(2).DPLEQ(x_0, y_0, z_0) = (ELP \, \sqcup \, HPB \, \sqcup \, PRB).DEG(2).DPLEQ(x_0, y_0, z_0)$

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603065 писал(а):

В этой записи упускается из виду, что $(ELP + HPB + PRB)$ — это объединение непересекающихся множеств (разбиение множества).

В этой записи упускается из виду гораздо более важная деталь: что есть УЧП второго порядка, не принадлежащими ни одному из перечисленных классов. На это я вам уже указывал. Или вы продолжаете настаивать на своей ереси? Кроме того, я уже указывал, что существуют классы уравнений, которые не описываются поточечно и что разумная классификация основывается на аналитических свойствах, а не формальном виде.

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603065 писал(а):

Пеано
ратовал за формализацию.

Вот только что он понимал под формализацией? Потому что я вижу здесь это НЕУДБЧТ.БРД.СВЙ.КБЛ.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603115 писал(а):

существуют классы уравнений, которые не описываются поточечно

Пример приведите, если не затруднит. Если возможно, то линейное уравнение второго порядка в действительных переменных, с непрерывными функциями...

Если Вы правы, и классификация рассматриваемая в классических учебниках уравнений математической физики недостаточна, то к сумме $(ELP \, \sqcup \, PRB \, \sqcup \, HPB)$ добавятся ещё другие слагаемые. На способ формализации это не повлияет, а вот учебники придётся дополнять...

Red_Herring в [url=http://dxdy.ru/post1603115.html#p1603115[/url] писал(а):

Вот только что он понимал под формализацией?

Пеано создал "латынь без словоизменения". Предлагаемые мной сокращения и представляют собой максимально упрощённые термины без неэффективного словоизменения.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603125 писал(а):

Пример приведите, если не затруднит.

Гипоэллиптичеоские уравнения. Пример
$u_{xx}+x^2u_{yy}+ ia u_y=f$, $a\in\mathbb{C}$, $a \ne \pm 1, \pm 3,\ldots$ если область пересекается с $\{x=0\}$

Цитата:

Если Вы правы, и классификация рассматриваемая в классических учебниках уравнений математической физики недостаточна,

В классических учебниках выделяются отдельные классы уравнений, но нигде не говорится, что других нет. И более того, как ни выделяйте классы разумно, всегда большинство уравнений не классифицируется, потому что не обладают никакими разумными свойствами.

Ну не знаете вы УЧП, и даже путаете УЧП с УМФ (большинство УЧП нигде в матфизике не встречаются). Так зачем вы берётесь формализировать их? Формализуйте то, что знаете. Например, работы по формализации.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603129 писал(а):

Гипоэллиптичеоские уравнения. Пример
$u_{xx}+x^2u_{yy}+ ia u_y=f$, $a\in\mathbb{C}$, $a \ne \pm 1, \pm 3,\ldots$ если область пересекается с $\{x=0\}$

При $x \in \mathbb{R}$ уравнение классифицируется поточечно:

$Eq_5 = (u_{xx}+x^2u_{yy}+ ia u_y=f)$

$ \begin{cases} \raggedleft Eq_5 \in ELP,&\text{$x \ne 0$}\\ Eq_5 \in PRB,&\text{$x=0$}\\ \end{cases} $

Red_Herring в сообщении #1603129 писал(а):

Формализуйте то, что знаете.

Способ формализации настолько прост, что каждый желающий может этим способом записывать известную ему часть математики, самостоятельно вводя необходимые сокращения. При условии, что это станет распространено, профессионалами будут вырабатываться стандарты.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603131 писал(а):

При $x \in \mathbb{R}$ уравнение классифицируется поточечно:

Кем классифицируется? Вы опять настаиваете на поточенной классификации.

Цитата:

Способ формализации настолько прост, что каждый желающий может этим способом записывать известную ему часть математики, самостоятельно вводя необходимые сокращения

Замечательно, вот и формализуйте формализацию, а УЧП не касайтесь.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603133 писал(а):

Кем классифицируется? Вы опять настаиваете на поточенной классификации.

Я её уже провёл. См. выше.

Red_Herring в сообщении #1603133 писал(а):

Замечательно, вот и формализуйте формализацию, а УЧП не касайтесь.

Ага, ещё и заниматься УМФ, не касаясь УЧП, посоветуйте.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603135 писал(а):

Я её уже провёл. См. выше.

А я уже объяснил, что это неправильный взгляд.

Песня про собаку Тябу писал(а):

А пинчера гоняли и гоняем
За то, что он, каналья, невменяем.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603141 писал(а):

А я уже объяснил, что это неправильный взгляд.

Я Вас просил привести пример такого уравнения, которое не удаётся классифицировать поточечно. Такой пример указал бы, что классификация неполна.

Стандартная поточечная классификация алгоритмична:
шаг 0) приводим квадратичную форму к каноническому виду;
шаг 1) проверяем есть ли переменная, которая отсутствует в каноническом представлении;
если да, то уравнение параболического типа ($PRB$);
если нет, то
шаг 2) проверяем все ли коэффициенты квадратичной формы одного знака;
если да, то уравнение эллиптического типа ($ELP$);
если нет, то
шаг 3) уравнение гиперболического типа ($HPB$).

Всё, что не параболично и не эллиптично, является гиперболическим.

Поэтому стандартная классификация полна.

Если классификация неполна, то разбиения множества дифф. ур-ний не происходило бы. Пока нет контрпримера, формула для классификации верна. Контрпример добавит лишь ещё один класс к разбиению...

Что стандартная классификация не отражает каких-то сложных вопросов УЧП, или что возможна другая классификация - это несколько другой вопрос. Я его не касался.


Песня замечательная!

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603148 писал(а):

Я Вас просил привести пример такого уравнения, которое не удаётся классифицировать поточечно.

А я вам объяснил, что поточенная классификация иногда не отражает аналитических свойств уравнения и привел пример. Более того, куда вы относите ультрагиперболический уравнения, или Шредингера? Оно что, параболическое? А уравнение $u_{xx}+u_{yy}=f$ в $\mathbf{R}^3$ тоже параболическое, или $u_{xx}-u_{yy}=u_t$? А про высшие порядки я и не говорю.

[Alexandr Gavrichenko]

Red_Herring в сообщении #1603159 писал(а):

Я Вас просил привести пример такого уравнения, которое не удаётся классифицировать поточечно. А я вам объяснил, что поточенная классификация иногда не отражает аналитических свойств уравнения и привел пример.

Я соглашусь, что не отражает. Но изучаемая стандартная классификация

1) полна (то есть для данной точки осуществляет разбиение множества УЧП порядка 2);
2) описывается с помощью предлагаемых мной сокращений.

Red_Herring в сообщении #1603159 писал(а):

или Шредингера? Оно что, параболическое? А уравнение $u_{xx}+u_{yy}=f$ в $\mathbf{R}^3$ тоже параболическое, или $u_{xx}-u_{yy}=u_t$?

Да, параболические. Про уравнение $u_{xx}-u_{yy}=u_t$ я писал это выше. Вы не возразили.

Невырожденные (в том смысле, что вторые производные по каждой переменной от искомой функции не равны нулю) ультрагиперболические уравнения относятся к гиперболическому типу.
Иначе к параболическому.

Статья в википедии, на которую я уже ссылался, относит ультрагиперболические уравнения к гиперболическому типу. Посмотрите, пожалуйста.

[Red_Herring]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1603165 писал(а):

ультрагиперболические уравнения относятся к гиперболическому типу.

Цитата:

Цитата:

или Шредингера? Оно что, параболическое? А уравнение $u_{xx}+u_{yy}=f$ в $\mathbf{R}^3$ тоже параболическое, или $u_{xx}-u_{yy}=u_t$?

Да, параболические. Про уравнение $u_{xx}-u_{yy}=u_t$ я писал это выше. Вы не возразили.

Всё это абсолютно неверно.