2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 13:15 


19/04/14
321
Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):
Вот я докажу Вашим способом невозможность равенства $65=7^2+4^2$:
$65=13 \cdot 5=(7+4i)(7-4i).$ Отсюда $13=7+4i$, что не верно.

Уважаемый Andrey A
Пример конечно хороший. Но, число 65 составное, не степень, поэтому его составные числа и нельзя приравнивать сопряженным комплексным числам.
Другое дело, когда степень. Любая степень комплексного числа через бином однозначно определяет числа (c,b):
$(m+ni)^x=c+bi$,
где (c) равняется сумме целых чисел бинома, а (b) равняется сумме чисел с мнимой единицей. Понятно, что расписывать бином здесь не требуется.
Далее. В силу симметрии сопряженное число $(m-ni)^x=c-bi$. Откуда:
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$.
Как видим каждая сопряженная степень однозначно равняется соответствующему сопряженному комплексному числу.
Поэтому определением суммы биквадратов через произведение сопряженных комплексных чисел и находится равенство $b_1=b\sqrt i$
Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):
Кроме того $A$ может оказаться составным числом. Тогда количество разложений в сумму двух квадратов $A^x$ может значительно превышать количество разложений $A.$

Парой чисел (m,n) определяется любое $A=m^2+n^2$ простое или составное.
Andrey A в сообщении #1485250 писал(а):
оперируя двумя переменными, которые из больших букв превращаются в маленькие на основании замен, проведенных в предыдущих постах по каким-то иным поводам, предоставляя разбираться во всем этом читателю.

Большие буквы (А,В,С)- переменные. Маленькие (a,b,c)- решения. Подготавливаю материал, чтобы всё было в одном сообщении.
Спасибо за советы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 19:06 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
binki в сообщении #1485259 писал(а):
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$
Уже ошибка, при чем в каждом $=$
И еще $c$ и $b$ вам даны, вы не можете их определять. Вы обязаны доказать что существуют $m,n$ такие что $(m+ni)^x=c+bi$, такой теоремы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 19:08 


19/04/14
321
binki в сообщении #1485259 писал(а):
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2-b^2$.

Опечатка. Правильно, - $(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c+bi)=c^2+b^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 19:10 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
binki в сообщении #1485291 писал(а):
$(c+bi)(c+bi)=c^2+b^2$
Не равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 20:00 


19/04/14
321
Null в сообщении #1485292 писал(а):
Не равно.

Уважаемый Null
Спасибо.Сетую на себя. Даже опечатку не мог исправить. Конечно правильно будет
$(m+ni)^x(m-ni)^x=(c+bi)(c-bi)=c^2+b^2$.
Null в сообщении #1485290 писал(а):
И еще $c$ и $b$ вам даны, вы не можете их определять. Вы обязаны доказать что существуют $m,n$ такие что $(m+ni)^x=c+bi$, такой теоремы нет.

Может быть и нет такой теоремы. Потому что здесь свойство бинома Ньютона.
Если разложить в бином Ньютона левую часть, то она будет состоять из суммы целых чисел, которую обозначим как (c) и суммы чисел с мнимой единицей (i), которую обозначим как (b). Покажем это при показателе (x=3)
$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$
$(m-ni)^3=m^3-3m^2ni-3mn^2+n^3i = (m^3-3mn^2)-(3m^2n-n^3)i= c-bi$
Перемножив соответственно правые и левые части этих равенств, получим:
$(m+ni)^3(m-ni)^3=(c+bi)(c-bi)$. Или $(m^2+n^2)^3=(c^2+b^2)$ Где, определенные из бинома Ньютона
$c=m^3-3mn^2; b=3m^2n-n^3$.
Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 20:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
binki в сообщении #1485296 писал(а):
Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .
Поэтому и неправильно. Должны задаваться. У вас логическая ошибка. $C$ и $B$ у вас уже есть, когда вы предположили что $A^x=C^4+B^4$. Вы должны доказать что они имеют вид $C^2+iB^2=(m+in)^x$. Это похоже на правду(Если $C$ и $B$ взаимно просты). Дальнейшие рассуждения даже для $x=3$ у вас с ошибкой, а для произвольного $x$ вообще не написаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 20:24 


19/04/14
321
Null в сообщении #1485297 писал(а):
Поэтому и неправильно. Должны задаваться. У вас логическая ошибка.

Странно будет если решение уравнения $A^x=C^2+B^2$ будет задаваться изначально для двух неизвестных (C,B), когда любая пара (m,n) даёт решение сразу для трех неизвестных. Тем более, что не каждая сумма квадратов равна степени.
Изначально у нас есть только переменные(A,C,B). Какие ошибки вы обнаружили при показателе (x=3)? Конечно рассматриваем биквадраты $A^x=(C^2)^2+(B^2)^2$ с использованием существующего уравнения для квадратов $A^x=C^2+B^2$
Для произвольного (x) дано объяснение словами. не написана только формула. Будет длиннее чем для (x=3), но суть останется такой же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 20:29 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Вам требуется рассмотреть все $A,B,C$, а не только те которые вам нравятся. И у вас вроде раньше были 4тые степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 20:55 


19/04/14
321
Null в сообщении #1485303 писал(а):
Вам требуется рассмотреть все $A,B,C$, а не только те которые вам нравятся. И у вас вроде раньше были 4тые степени.

Все переменные (A,B,C) и рассматриваются. А все существующие решения (a,b,c ) для них определяются парой (m,n).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 21:08 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
binki в сообщении #1485307 писал(а):
Все переменные (A,B,C) и рассматриваются. А все существующие решения (a,b,c ) для них определяются парой (m,n).
Можете сформулировать утверждение полностью(в этой формулировке оно не верно) и доказать либо указать ссылку на доказательство.
Скажем так, я верю что это правда(если выписать все условия), но, меня беспокоит, что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 21:27 


19/04/14
321
Null в сообщении #1485308 писал(а):
Можете сформулировать утверждение полностью(в этой формулировке оно не верно) и доказать либо указать ссылку на доказательство.

Уравнение $A^x=C^2+B^2$ имеет бесчисленное множество целочисленных решений (a,b,c), получаемых через пары чисел (m,n), которые изначально определяют решение для одной переменной $A=m^2+n^2$.
Доказательство с использованием бинома Ньютона уже приводилось. Укажите, пожалуйста, что в нём не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение30.09.2020, 21:45 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
binki в сообщении #1485309 писал(а):
Доказательство с использованием бинома Ньютона уже приводилось.
Нет.
Null в сообщении #1485311 писал(а):
Укажите, пожалуйста, что в нём не понятно.
Вам уже писали. Ответьте корректно на все вопросы в теме. Не надо повторять то, что вы уже писали, в том что у вас написано доказательств нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение01.10.2020, 08:02 


22/03/20
102
Доказательство для уравнения $A^x=(m+ni)^x(m-ni)^x=C^2+B^2$ действительно приводилось
binki в сообщении #1485296 писал(а):
Может быть и нет такой теоремы. Потому что здесь свойство бинома Ньютона.
Если разложить в бином Ньютона левую часть, то она будет состоять из суммы целых чисел, которую обозначим как (c) и суммы чисел с мнимой единицей (i), которую обозначим как (b). Покажем это при показателе (x=3)
$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$
$(m-ni)^3=m^3-3m^2ni-3mn^2+n^3i = (m^3-3mn^2)-(3m^2n-n^3)i= c-bi$
Перемножив соответственно правые и левые части этих равенств, получим:
$(m+ni)^3(m-ni)^3=(c+bi)(c-bi)$. Или $(m^2+n^2)^3=(c^2+b^2)$ Где, определенные из бинома Ньютона
$c=m^3-3mn^2; b=3m^2n-n^3$.
Как видим числа (c,b) не задаются, а определятся парой (m,n) .

Вполне убедительно. Можно написать бином Ньютона для $(m+ni)^x$ на целую страницу. Все равно он будет состоять из суммы действительных (целых) чисел и суммы чисел при мнимой единице $(i)$, обозначенные соответственно как $(c)$ и $(b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение01.10.2020, 09:42 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Это неверное доказательство.
Valprim в сообщении #1485332 писал(а):
$(m+ni)^3=m^3+3m^2ni-3mn^2-n^3i=(m^3-3mn^2)+(3m^2n-n^3)i=c+bi$
Почему они равны? Последнее равенство. Откуда взялись $m$ и $n$? В доказательстве все новые переменные должны определяться.

Прямо говорю если $c$ и $b$ не взаимно просто это просто неправда(а вы это факт в вашем "Доказательстве" не используете). $5^2+10^2=5^3$ - попробуйте представить в вашем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била
Сообщение01.10.2020, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
binki в сообщении #1485309 писал(а):
Уравнение $A^x=C^2+B^2$ имеет бесчисленное множество целочисленных решений (a,b,c), получаемых через пары чисел (m,n), которые изначально определяют решение для одной переменной $A=m^2+n^2$.

$A=85$ имеет $2$ представления в виде суммы двух квадратов, $85^3$ имеет $8$ представлений, $85^5$ — соответственно $18$ представлений. Не первый раз обращаю Ваше внимание на это обстоятельство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 174 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group