Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие

[Sender]

(EUgeneUS)

Строго говоря, да. Поправил.

[DeBill]

EUgeneUS в сообщении #1429640 писал(а):

Для квадратной дыры, эта метода, имхо, сломается.

Да, потому как , в процессе выкладок, при построении экстремальной кривой, решалась сиистема линейных уравнений, и для квадратной дыры, эта система оказывалась вырожденной.

-- 11.12.2019, 13:19 --

confabulez в сообщении #1429625 писал(а):

А там как раз получится формула, которую я писал на первой странице $a+b\leqslant \sqrt{2}d$.

Ага, и мы видим, что оба - и Вы, и я - были неправы! (частично)

[Sender]

Для полноты картины добавлю картинку для квадрата 2x2 по формуле EUgeneUS:



Вроде похоже на правду.

[DeBill]

Aritaborian
Кайф! И вот теперь видим, как разрешается то противоречие с квадратной дырой:
при стремлении дыры к единичному квадрату, экстремальная кривая, делаясь все более впуклой, все более приближается к диагоналям (в пределе дает 4-звенную ломаную, соединяющую точку $(\sqrt{2},0)$ на "квадрате из картинки" с левой верхней $(0,\sqrt{2})$ по маршруту: правая нижняя - центр $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ - главная $(1,1)$ - центр - левая верхняя). Однако, если дополнять кривую обрезанием, то в пределе будет ломаная "правая нижняя - странная правая $(1,\sqrt{2}-1)$ - главная -странная верхняя $(\sqrt{2}-1,1)$ - левая верхняя".

-- 11.12.2019, 13:43 --

Ага, вот и картинка соответствуюшая!
Да, богатая задача (и все еще не доделана - аналитически).

[EUgeneUS]

DeBill в сообщении #1429654 писал(а):

(и все еще не доделана - аналитически).

ИМХО,
1. Проще сразу потребовать упорядоченность размеров дыры и кирпича (например, $e \geqslant d$, $a \geqslant b$), и решать "в осьмушке".
2. Тогда нетривиальный случай описывается неравенствами (он уже решен)
$\left\{ \begin{array}{rcl} a > e \\ b \leqslant d \\ \end{array} \right. $
3. Тривиальные случаи:
а) Входит:
$\left\{ \begin{array}{rcl} a \leqslant e \\ b \leqslant d \\ \end{array} \right. $

б) Не входит:
$\left\{ \begin{array}{rcl} a > e \\ b > d \\ \end{array} \right. $

в) чуть менее тривиальный случай (не входит - кирпич более "квадратный", чем дыра):
$\left\{ \begin{array}{rcl} a < e \\ b > d \\ \end{array} \right. $

[Sender]

Вот альтернативная симметричная формула, задающая область:

$$\bigg[\big((ad-be)^2+(ae-bd)^2\geqslant (a^2-b^2)^2\big)\wedge \big( (ad-be)(ae-bd)>0\big)\bigg]\bigvee $$

$$\bigg[\big((0\leqslant a \leqslant d)\wedge (0\leqslant b \leqslant e)\big)\vee \big((0\leqslant a \leqslant e)\wedge (0\leqslant b \leqslant d)\big)\bigg]$$

(как-то страшненько смотрится, несмотря на все усилия).

[Aritaborian]

(Sender)

Пятая слева открывающая скобка лишняя. И кажется, где-то ещё ошибка: область получается несимметричной...

[Sender]

Или так:
$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} (ad-be)^2+(ae-bd)^2\geqslant (a^2-b^2)^2,\\ (ad-be)(ae-bd)>0\\ \end{cases}\\\\ \begin{cases} 0\leqslant a \leqslant d,\\ 0\leqslant b \leqslant e \end{cases}\\\\ \begin{cases} 0\leqslant a \leqslant e,\\ 0\leqslant b \leqslant d \end{cases}\\ \end{array}\right.$