2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 11:10 

(EUgeneUS)

Строго говоря, да. Поправил.

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 11:18 
EUgeneUS в сообщении #1429640 писал(а):
Для квадратной дыры, эта метода, имхо, сломается.

Да, потому как , в процессе выкладок, при построении экстремальной кривой, решалась сиистема линейных уравнений, и для квадратной дыры, эта система оказывалась вырожденной.

-- 11.12.2019, 13:19 --

confabulez в сообщении #1429625 писал(а):
А там как раз получится формула, которую я писал на первой странице $a+b\leqslant \sqrt{2}d$.

Ага, и мы видим, что оба - и Вы, и я - были неправы! (частично)

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 11:29 
Для полноты картины добавлю картинку для квадрата 2x2 по формуле EUgeneUS:

Изображение

Вроде похоже на правду.

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 11:42 
Aritaborian
Кайф! И вот теперь видим, как разрешается то противоречие с квадратной дырой:
при стремлении дыры к единичному квадрату, экстремальная кривая, делаясь все более впуклой, все более приближается к диагоналям (в пределе дает 4-звенную ломаную, соединяющую точку $(\sqrt{2},0)$ на "квадрате из картинки" с левой верхней $(0,\sqrt{2})$ по маршруту: правая нижняя - центр $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ - главная $(1,1)$ - центр - левая верхняя). Однако, если дополнять кривую обрезанием, то в пределе будет ломаная "правая нижняя - странная правая $(1,\sqrt{2}-1)$ - главная -странная верхняя $(\sqrt{2}-1,1)$ - левая верхняя".

-- 11.12.2019, 13:43 --

Ага, вот и картинка соответствуюшая!
Да, богатая задача (и все еще не доделана - аналитически).

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 12:05 
Аватара пользователя
DeBill в сообщении #1429654 писал(а):
(и все еще не доделана - аналитически).


ИМХО,
1. Проще сразу потребовать упорядоченность размеров дыры и кирпича (например, $e \geqslant d$, $a \geqslant b$), и решать "в осьмушке".
2. Тогда нетривиальный случай описывается неравенствами (он уже решен)
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a > e \\
 b \leqslant d \\
\end{array}
\right. $
3. Тривиальные случаи:
а) Входит:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a \leqslant e \\
 b \leqslant d \\
\end{array}
\right. $

б) Не входит:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a > e \\
 b > d \\
\end{array}
\right. $

в) чуть менее тривиальный случай (не входит - кирпич более "квадратный", чем дыра):
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a < e \\
 b > d \\
\end{array}
\right. $

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 13:09 
Вот альтернативная симметричная формула, задающая область:
$$\bigg[\big((ad-be)^2+(ae-bd)^2\geqslant (a^2-b^2)^2\big)\wedge \big( (ad-be)(ae-bd)>0\big)\bigg]\bigvee $$
$$\bigg[\big((0\leqslant a \leqslant d)\wedge (0\leqslant b \leqslant e)\big)\vee \big((0\leqslant a \leqslant e)\wedge (0\leqslant b \leqslant d)\big)\bigg]$$
(как-то страшненько смотрится, несмотря на все усилия).

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 13:16 
Аватара пользователя

(Sender)

Пятая слева открывающая скобка лишняя. И кажется, где-то ещё ошибка: область получается несимметричной...

 
 
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 13:50 
Или так:
$\left[
\begin{array}{l}

\begin{cases}
(ad-be)^2+(ae-bd)^2\geqslant (a^2-b^2)^2,\\
 (ad-be)(ae-bd)>0\\
\end{cases}\\\\
\begin{cases}
0\leqslant a \leqslant d,\\
0\leqslant b \leqslant e
\end{cases}\\\\
\begin{cases}
0\leqslant a \leqslant e,\\
0\leqslant b \leqslant d
\end{cases}\\
\end{array}\right.$

 
 
 [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group