2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 20:32 


16/06/11
69
Получается система $\left\{
\begin{array}{lcr}
x^2+y^2 =b^2 \\
 (d-y)^2+(e-x)^2=a^2 \\
\end{array}
\right.$
из которой нужно исключить $x$ и $y$ и получить уравнение четвертой степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 20:34 


05/09/16
11469
confabulez в сообщении #1429408 писал(а):
У меня для $d=e$ получилось соотношение $a+b=\sqrt{2}d$

А как это получилось? Например, если имеем квадратное отверстие $d=e$ то, очевидно, в него можно просунуть такой же квадратный кирпич $a=b=d=e$ и тогда $a+b=2d$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 20:42 


16/06/11
69
wrest в сообщении #1429412 писал(а):
А как это получилось?

Из теоремы Пифагора получилось, но я рассматривал именно случай, когда прямоугольник вписан в прямоугольное отверстие, а случай, когда стороны параллельны, я не рассматриваю сразу (там понятно, какие условия нужно накладывать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 20:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
confabulez в сообщении #1429411 писал(а):
из которой нужно исключить $x$ и $y$ и получить уравнение четвертой степени?

Хорошая попытка, но недостаточная (уравнений не хватат...)

(Оффтоп)

Вы написали условие для вписанного параллелограмма. Надо добавить еще условие его прямоугольности - и тогда должно хватить...Вот только это "исключить" еще и реализовать надо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 21:08 


16/06/11
69
DeBill в сообщении #1429417 писал(а):
Хорошая попытка, но недостаточная (уравнений не хватат...)


Еще получается из подобия треугольников $\frac{e-x}{y}=\frac{d-y}{x}$. Да, аналитически будет сложно получить выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение09.12.2019, 22:01 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
confabulez в сообщении #1429422 писал(а):
ще получается из подобия треугольников

Да, и теперь все должно получиться.
Но: действительно, чисто алгебраическая процедура исключения будет тяжеловата...
Так что можно попробовать чуток схитрить:
confabulez в сообщении #1429422 писал(а):
из подобия треугольников $\frac{e-x}{y}=\frac{d-y}{x}$. Д

Обозначим эти (равные ) дроби через $k$ (и заметим, что $k=\frac{b}{a}$).
Из полученных двух линейных уравнений (считая бременно $k$ известным) найдем $x,y$, и подставим в первое Ваше уравнение. Вспоминая про "заметим", получим что-то....

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 09:03 


16/06/11
69
DeBill в сообщении #1429429 писал(а):
Вспоминая про "заметим", получим что-то


После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 10:24 


05/09/16
11469
confabulez в сообщении #1429476 писал(а):
После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?
Так выходит, что любой квадрат $a=b$ можно вписать в любой квадрат $d=e$ , ибо тогда ваше равенство обращается в тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 11:36 


14/01/11
2916
В квадрат действительно можно вписать любой квадрат от половинного до такого же размера(точнее, площади). :-)

-- Вт дек 10, 2019 12:00:40 --

confabulez в сообщении #1429476 писал(а):
После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?

Вроде так. У меня оно получилось в виде $(ae-bd)^2+(ad-be)^2=(a^2-b^2)^2$. Случай с квадратом особый и должен рассматриваться отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 12:29 


16/06/11
69
Sender в сообщении #1429499 писал(а):
Вроде так.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 12:41 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
confabulez в сообщении #1429476 писал(а):
Похоже на правду?

Да. Единственно, что нужно еще к этому добавить:
1. из точек кривой,следует оставить (для экстремальных прямоугольников) только те, для которых
"...его "квадратность" (отношение меньшей стороны к большей) должна быть не более "квадратности" дыры".
Дело в том, что уравнения выводились из геометрии, а при нарушении ограничения на "квадратность" один из Ваших параметров ($x,y$) станет отрицательным. Т.е., по честному, Вашу систему уравнений следовало бы дополнить неравенствами $x\geqslant 0,y \geqslant 0$.
2. Допустимыми пр-ками являются те и только только те, которые "меньше либо равны" (по обеим сторонам) экстремальных.

Ну, и какой же получится ответ?
Желательно также: посчитать точно крайние точки построенного "отрезка" экстремальной кривой, убедиться, что все построенное "допустимое" множество лежит в круге радиуса "диагональ дыры", посмотреть, что же будет в случае квадратной дыры

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 13:12 


14/01/11
2916
Возможно, имеет смысл считать кирпич заданным и искать подходящие дыры, тогда порядок уравнения кривой понижается до второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 14:27 


16/06/11
69
DeBill в сообщении #1429506 писал(а):
Ну, и какой же получится ответ?

Получается, что удовлетворяют все $a, b$, для которых
$(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab-(a^2-b^2)^2\geqslant 0$, при этом $\frac{(ae-bd)}{a^2-b^2}\geqslant 0$

Насчет квадрата: если сторона этого квадрата больше меньшей стороны отверстия, то кирпич не пройдет, а если меньше или равна, то сможем, расположив стороны кирпича параллельно сторонам отверстия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение10.12.2019, 22:02 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
confabulez в сообщении #1429517 писал(а):
Получается, что

Да. Можно еще это записать в полярной системе координат - будет чуток понятнее.
И хорошо бы картинку (например, для дыры два на один) допустимых кирпичей нарисовать - я, увы, не умею это делать.
confabulez в сообщении #1429517 писал(а):
Насчет квадрата:

Это - да, и, с учетом добавленных неравенств, теперь все соответствует полученному.
Но я спрашивал про квадратную ДЫРУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие
Сообщение11.12.2019, 00:01 


14/01/11
2916
DeBill в сообщении #1429577 писал(а):
И хорошо бы картинку (например, для дыры два на один) допустимых кирпичей нарисовать - я, увы, не умею это делать.

Нет ничего проще: заходите в wolfram cloud open access, прокручиваете все примеры в белом окне, установив курсор ниже большой оранжевой кнопки "Go Further", и вводите любое выражение на языке wolfram language, например,
Код:
d=1;e=2;RegionPlot[((a*e-b*d)^2 + (a*d-b*e)^2 >= (a^2-b^2)^2)&&((a^2-b^2)*(a*e-b*d)>=0)&&((a^2-b^2)*(a*d-b*e)>=0), {a, 0, 5/2}, {b, 0, 5/2}]
(там работает вставка через Ctrl+V). Для обработки введённого выражения (в данном случае вывода картинки) нажимаете Shift+Enter(или клик на шестерёнке рядом с квадратной скобкой справа от выражения и выбор "Evaluate cell").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group