Надо с этим заканчивать. Напомню
![$F_n=\dfrac{n^2+1}{2n}, f_n=\dfrac{n^2-1}{2n}$ $F_n=\dfrac{n^2+1}{2n}, f_n=\dfrac{n^2-1}{2n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/2/e6293fda07de4d161e11abac01ee7c4c82.png)
. Система
![$\left\{\begin{matrix}
\left [ (KT+1)^2+(K+T)^2 \right ]\left [ (KT-1)^2+(K-T)^2 \right ]=\square \\
\left [ (KT+T)^2+(K-1)^2 \right ]\left [ (KT-T)^2+(K+1)^2 \right ]=\square
\end{matrix}\right.(4')$ $\left\{\begin{matrix}
\left [ (KT+1)^2+(K+T)^2 \right ]\left [ (KT-1)^2+(K-T)^2 \right ]=\square \\
\left [ (KT+T)^2+(K-1)^2 \right ]\left [ (KT-T)^2+(K+1)^2 \right ]=\square
\end{matrix}\right.(4')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cb4ee054a0d4e428e1edc15be1df55582.png)
, а значит и
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
, сводятся в конечном итоге к уравнению
![$f_x^2-f_y^2=f_z^2 $ $f_x^2-f_y^2=f_z^2 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/4/184c8178c4a2ae0074cdd0790b5ad01982.png)
. Если верно последнее, то пара
![$K=\dfrac{\sqrt{\dfrac{F_x+F_y}{F_x-F_y}}+1}{\sqrt{\dfrac{F_x+F_y}{F_x-F_y}}-1}$ $K=\dfrac{\sqrt{\dfrac{F_x+F_y}{F_x-F_y}}+1}{\sqrt{\dfrac{F_x+F_y}{F_x-F_y}}-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/a/71a915694bfa8d3f6eb07b1534c3e1fc82.png)
,
![$T=y$ $T=y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/4576e99f18a405197f6acc71c953060a82.png)
удовлетворяет
![$(4')$ $(4')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/6/666e1987d4f3609d21ef8733acc1ce6c82.png)
и обращает тождество
![$(5)$ $(5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/b/60b0118e989d5e395df5d657af0c264882.png)
в решение сильного кубоида. Это согласуется также с выводом
Коровьева (поскольку
![$\dfrac{1}{f_n}=f_{\frac{n+1}{n-1}}$ $\dfrac{1}{f_n}=f_{\frac{n+1}{n-1}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/3/3633a9bb8da2a3c317a34fcd1b49024482.png)
) и эквивалентно уравнению
![$y^2+1/y^2+z^2+1/z^2 =\left ( (x^2+1)/x \right )^2$ $y^2+1/y^2+z^2+1/z^2 =\left ( (x^2+1)/x \right )^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/c/e0c088fdf88d6633e7ad058305b9f0a982.png)
, которым последнее время увлекся
Volik. Мне вот тоже показалось, что оно наиболее удачно разбивает проблему на кучу проблем, перепишем его так:
![$$y^2+\left ( \dfrac{1}{y} \right )^2+z^2+\left ( \dfrac{1}{z} \right )^2=x^2+\left ( \dfrac{1}{x} \right )^2+1^2+1^2\ \ \ (9)$$ $$y^2+\left ( \dfrac{1}{y} \right )^2+z^2+\left ( \dfrac{1}{z} \right )^2=x^2+\left ( \dfrac{1}{x} \right )^2+1^2+1^2\ \ \ (9)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/5/865fca139157eae94f4aabcfad2dee3082.png)
Видя равенство сумм четырех квадратов, приравняем почленно к тождеству Эйлера:
![$( \overset{=z}{a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2} )^2+( \overset{=1/z}{a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1} )^2=$ $( \overset{=z}{a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2} )^2+( \overset{=1/z}{a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1} )^2=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/7/55777fba77dafd626b09699a58bc322482.png)
![$( \overset{=1}{a_1 b_3+a_2 b_4+a_3 b_1-a_4 b_2} )^2+( \overset{=1}{-a_1 b_4+a_2 b_3+a_3 b_2+a_4 b_1} )^2.$ $( \overset{=1}{a_1 b_3+a_2 b_4+a_3 b_1-a_4 b_2} )^2+( \overset{=1}{-a_1 b_4+a_2 b_3+a_3 b_2+a_4 b_1} )^2.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/3/ee30f7b33608d434fadd03388a1207df82.png)
Пронумеруем мысленно скобочки с
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
-й по
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
-ю и далее с
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
-й по
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
-ю, и в том же порядке будем записывать в системы. Линейные системы решаются отлично. Неприятность в том, что параметры
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
оказываются в этом случае свободными аргументами, чего по понятным причинам быть не должно. Во всяком случае не все, и тут тупик. Сформулируем задачу так: переменные
![$a_i,b_i$ $a_i,b_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/d/dcd2d562aa31dfa72777bf4c0ab2fb8a82.png)
должны быть таковы, чтобы соседние скобки давали в произведении единицу, причем две последние сами должны быть
![$=1$ $=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/6/ef69061d50ca83722ebdd84b564309be82.png)
. Тогда отношение соседних скобок окажутся квадратами искомых значений. Звучит обнадёживающе, но, действуя напрямую, сразу получаем систему квадратных уравнений по всем параметрам (я, кстати, не пробовал), а пробиваясь через разности квадратов, вынуждены после искать приравнивания к формам вида
![$\dfrac{M^2\pm 1}{2M}$ $\dfrac{M^2\pm 1}{2M}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/5/2151bf9c6a453b120c19a200afa5f6e382.png)
, которые на деле оказываются никакими не
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, а всё теми же
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
. Опять тупик. Ловушка Майи. Пробуем зайти сбоку. Рассмотрим полусуммы
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
-й и
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
-й скобок:
![$\begin{matrix}
\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=2(a_1 b_2+a_3 b_4 )\\
\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=2(a_3 b_2-a_1 b_4)
\end{matrix}$ $\begin{matrix}
\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=2(a_1 b_2+a_3 b_4 )\\
\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=2(a_3 b_2-a_1 b_4)
\end{matrix}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/0/16039a2ad24d3cc7f29827667e59f9e782.png)
Домножая на
![$xy$ $xy$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/f/65f1b48fb5f326a680b0f7393b9d8b6d82.png)
, имеем
![$\begin{matrix}
2xy(a_1 b_2+a_3 b_4 )=x+y=2(a_2 b_2+a_4 b_4 )\\
2xy(a_2 b_1-a_4 b_3 )=x-y=2(a_1 b_1-a_3 b_3 )
\end{matrix}$ $\begin{matrix}
2xy(a_1 b_2+a_3 b_4 )=x+y=2(a_2 b_2+a_4 b_4 )\\
2xy(a_2 b_1-a_4 b_3 )=x-y=2(a_1 b_1-a_3 b_3 )
\end{matrix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/a/78aab0e11f27e3919d1f9519eed3fdd182.png)
(полусуммы
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
-й и
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
-й скобок)
![$$\Rightarrow \dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{a_1 b_2+a_3 b_4}{a_2 b_1-a_4 b_3}=\dfrac{a_2 b_2+a_4 b_4}{a_1 b_1-a_3 b_3}$$ $$\Rightarrow \dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{a_1 b_2+a_3 b_4}{a_2 b_1-a_4 b_3}=\dfrac{a_2 b_2+a_4 b_4}{a_1 b_1-a_3 b_3}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/b/9abc249e1b5c12a0e37a2834a977033c82.png)
По той же схеме
![$\begin{matrix}
1+\dfrac{1}{z}=2(a_2 b_3+a_4 b_1)\\
1-\dfrac{1}{z}=2(a_3 b_2-a_1 b_4)
\end{matrix}$ $\begin{matrix}
1+\dfrac{1}{z}=2(a_2 b_3+a_4 b_1)\\
1-\dfrac{1}{z}=2(a_3 b_2-a_1 b_4)
\end{matrix}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/e/19e40e266280ab11777b649525913a3682.png)
Домножая на
![$$\Rightarrow \dfrac{z+1}{z-1}=\dfrac{a_2b_3+a_4b_1}{a_3b_2-a_1b_4}=\dfrac{a_1b_3+a_3b_1}{a_4b_2-a_2b_4}$$ $$\Rightarrow \dfrac{z+1}{z-1}=\dfrac{a_2b_3+a_4b_1}{a_3b_2-a_1b_4}=\dfrac{a_1b_3+a_3b_1}{a_4b_2-a_2b_4}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/8/818d580df80bb262fb71bdae5be65a6682.png)
Получили два уравнения линейных относительно
![$b_1,b_3.$ $b_1,b_3.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/2/782d1a939c97ba92d3817dc295bba87082.png)
Приравнивая решения одного и другого, имеем
![$\dfrac{(a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2 )b_4}{(a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2)b_2}=\dfrac{b_4}{b_2}\ (a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2 \neq 0)$ $\dfrac{(a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2 )b_4}{(a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2)b_2}=\dfrac{b_4}{b_2}\ (a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2 \neq 0)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/9/519e1b0957b6353d1c1263bc497fb3cf82.png)
Третья дробь образовалась сложением числителей и знаменателей двух предыдущих, что при равенстве дробей позволено. Обозначим сразу
![$\dfrac{b_1}{b_3}=\dfrac{b_4}{b_2}=B$ $\dfrac{b_1}{b_3}=\dfrac{b_4}{b_2}=B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/7/db7ac47aeb27865d2b524059e2dec9e082.png)
, и перемножим крестиком элементы равных дробей:
![$(a_1^2-a_2^2 ) b_2 b_4-(a_1 a_3-a_2 a_4 ) b_2^2=(a_3^2-a_4^2 ) b_2 b_4-(a_1 a_3-a_2 a_4 ) b_4^2$ $(a_1^2-a_2^2 ) b_2 b_4-(a_1 a_3-a_2 a_4 ) b_2^2=(a_3^2-a_4^2 ) b_2 b_4-(a_1 a_3-a_2 a_4 ) b_4^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/d/64da6376b9ffbc7680320805efc929d082.png)
Отсюда
![$b_2 b_4 (a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2 )=(a_1 a_3-a_2 a_4 )(b_2^2-b_4^2 )$ $b_2 b_4 (a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2 )=(a_1 a_3-a_2 a_4 )(b_2^2-b_4^2 )$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c8d26ac08ebac543f77a04d6ae99fcf82.png)
и, наконец,
![$$\dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{a_1 a_3-a_2 a_4}=\dfrac{b_2^2-b_4^2}{b_2 b_4}=\dfrac{B^2-1}{B};\ \ \dfrac{B^2-1}{2B}=f_B=\dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{2a_1 a_3-2a_2 a_4};\ f_b^2+1=\square$$ $$\dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{a_1 a_3-a_2 a_4}=\dfrac{b_2^2-b_4^2}{b_2 b_4}=\dfrac{B^2-1}{B};\ \ \dfrac{B^2-1}{2B}=f_B=\dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{2a_1 a_3-2a_2 a_4};\ f_b^2+1=\square$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/2/04291d381cd44d0c012632262a4ea66982.png)
Вот на этом месте подобные инсинуации обычно и заканчиваются, но на этот раз повезло:
![$$\left ( \dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{2a_1 a_3-2a_2 a_4} \right )^2+1=\dfrac{\left ( (a_1+a_2)^2+(a_3+a_4)^2 \right )\left ( (a_1-a_2)^2+(a_3-a_4)^2 \right )}{(2a_1 a_3-2a_2 a_4 )^2}=\square$$ $$\left ( \dfrac{a_1^2-a_2^2-a_3^2+a_4^2}{2a_1 a_3-2a_2 a_4} \right )^2+1=\dfrac{\left ( (a_1+a_2)^2+(a_3+a_4)^2 \right )\left ( (a_1-a_2)^2+(a_3-a_4)^2 \right )}{(2a_1 a_3-2a_2 a_4 )^2}=\square$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c44e9e9648deee7935fc9881c7a7a3882.png)
Это имеет общее решение. Полный список дальнейших перепетий опускаю, выкладываю замены, которые проверяются прямой подстановкой:
![$$a_1=\dfrac{(r^2-1)(s+t)-2r(st-1)}{2s(r^2-1)+4r},a_2=\dfrac{(r^2-1)(s-t)+2r(st+1)}{2s(r^2-1)+4r},a_3=\dfrac{s+t}{2},a_4=\dfrac{s-t}{2},B=\dfrac{sr+1}{s-r}.$$ $$a_1=\dfrac{(r^2-1)(s+t)-2r(st-1)}{2s(r^2-1)+4r},a_2=\dfrac{(r^2-1)(s-t)+2r(st+1)}{2s(r^2-1)+4r},a_3=\dfrac{s+t}{2},a_4=\dfrac{s-t}{2},B=\dfrac{sr+1}{s-r}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/e/c5e61f7367922cb719c9a22bc32a763082.png)
Из
![$\dfrac{b_1}{b_3}=\dfrac{b_4}{b_2}=B=\dfrac{sr+1}{s-r}$ $\dfrac{b_1}{b_3}=\dfrac{b_4}{b_2}=B=\dfrac{sr+1}{s-r}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/1/e9199d16f1d3fa4da9fb19cd6e3199d382.png)
следует
![$b_4=\dfrac{b_2 (s-r)}{sr+1},b_3=\dfrac{b_1 (sr+1)}{s-r}$ $b_4=\dfrac{b_2 (s-r)}{sr+1},b_3=\dfrac{b_1 (sr+1)}{s-r}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/8/258f5e9ca4cfdf5755887c9f4eec7cb782.png)
. Значения параметров
![$b_1,b_2$ $b_1,b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/d/40d4d9d5570372ceabdd9f727c5d278f82.png)
в новых терминах получаем из линейной подсистемы
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
-го и
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
-го уравнений, приравнивая к единице и подставляя новые значения переменных:
![$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_1=\dfrac{-2(s-r) (s(r^2-1)+2r)^2}{(s^2+1)((t(r^2+1))^2-(s(r^2-1)+2r)^2 )}\\
b_2=\dfrac{2t(r^2+1)(sr+1)(s(r^2-1)+2r)}{r(s^2+1)((t(r^2+1))^2-(s(r^2-1)+2r)^2 )}
\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
b_1=\dfrac{-2(s-r) (s(r^2-1)+2r)^2}{(s^2+1)((t(r^2+1))^2-(s(r^2-1)+2r)^2 )}\\
b_2=\dfrac{2t(r^2+1)(sr+1)(s(r^2-1)+2r)}{r(s^2+1)((t(r^2+1))^2-(s(r^2-1)+2r)^2 )}
\end{matrix}\right.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/3/223bbf039156aafaa5e2f2ec7000ab5182.png)
Новые значения
![$b_3,b_4$ $b_3,b_4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/007983494b74f3cdceebf939edb0617a82.png)
определены через
![$b_1,b_2$ $b_1,b_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/d/40d4d9d5570372ceabdd9f727c5d278f82.png)
, каждый может выписать их для себя по желанию. Не пропустить ошибку на этом этапе вычислений в некотором смысле помогает сама задача: небольшая неточность тут же порождает выражение длиной в две строки, значит где-то косяк. Однако, подставляя новые выражения в первоначальную систему, получаем что-то уж слишком легкие выражения:
![$$\left\{\begin{matrix}
y=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{y}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}\\
z=\dfrac{-t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}{t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}\\
\dfrac{1}{z}=\dfrac{t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}{-t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}\\
x=\dfrac{t(r^2+1)+r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{x}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}
\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}
y=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{y}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}\\
z=\dfrac{-t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}{t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}\\
\dfrac{1}{z}=\dfrac{t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}{-t(r^2+1)+s(r^2-1)+2r}\\
x=\dfrac{t(r^2+1)+r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{x}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}
\end{matrix}\right.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/a/0cad4e275a1069fa02c3d6ab883ba2a382.png)
Замечу, что для
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
главное требование уже выполняется: произведение
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
-й и
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
-й скобок равно единице. Думаю, тут связь с
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
-м и
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
-м уравнениями, которые уже решены. Если так, то из оставшихся четырёх достаточно решить два, например два последних, которые подозрительно линейны относительно переменных
![$s,t$ $s,t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/9/049524e8adf59b0856d39305bd9d87ac82.png)
. Выпишу их отдельно, они того заслуживают.
![$$\left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{t(r^2+1)+r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{x}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}
\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{t(r^2+1)+r^2 s(r^2-1)+2r^3}{rt(r^2+1)-rs(r^2-1)-2r^2}\\
\dfrac{1}{x}=\dfrac{t(r^2+1)-r^2 s(r^2-1)-2r^3}{rt(r^2+1)+rs(r^2-1)+2r^2}
\end{matrix}\right.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/6/e06abfc0e24d38e02d34b185264d489982.png)
Значит,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
всё-таки придется брать свободной переменной. Из онлайн-сервисов один напрочь отказался это решать и стал раздавать благие советы, другой выдал решение с нулём. Пришлось пальчиками. Оказалось, записанная в строки система действительно имеет решение
![$s=0,t=\dfrac{2r}{1-r^2}.$ $s=0,t=\dfrac{2r}{1-r^2}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e126f19c2a203ab21d147f770f0add082.png)
Но, собирая ее обратно в дробь, получаем ноль в числителе и ноль в знаменателе. Более того, все дроби системы при при этой подстановке обрастают нулями. А определитель системы не ноль. Решение есть, оно такое:
![$x=y=z=\dfrac{0}{0}$ $x=y=z=\dfrac{0}{0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c70014626cf73a28cb76e859c5f2bd082.png)
. Однако, рациональное решение существует:
![$x=y=z=1$ $x=y=z=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/f/cffb354f99dd97b20106430b8947193b82.png)
, такой вывод был бы доказательством. Но математика точная наука, имеем более осторожный вывод:
если существует общее решение уравнения
, то оно невыразимо тождеством Эйлера от восьми переменных. По-моему, на человеческий язык это переводится так: решений нет. Но кто знает... Добавлю, что никаких предположений, допущений или неполных решений по ходу дела не возникало. Чистая алгебра.