В физике чаще используется версия звёздочки Ходжа, которая

-вектору ставит в соответствие

-форму, и наоборот. Например, в случае тензора электромагнитного поля, бивектору

сопоставляется 2-форма

,
а 2-форме

бивектор

.
Для наглядности выпишу компоненты тензора ЭМ поля в лоренцевой системе координат через компоненты

и

:

Одну из величин

и

можно выбрать равной

, тогда другая будет равна

, соответственно, существует два разных стандарта. Я использовал соглашение

у Ландау и Лифшица наоборот.
А почему пишут, например,

? Какой смысл в коэффициенте

?
Так как и

, и

антисимметричны по индексам

, каждая независимая компонента

, которая входит в сумму, входит в неё дважды. Поэтому без коэффициента

в формулах для компонент

и

всюду появились бы множители

.
Иначе говоря, множитель

обеспечивает

, где

это

-вектор или

-форма.
Здесь описано, чем определяется выбор знака, в частности, для тензора ЭМ поля

.
И еще, какой смысл этой операции? Вот я понимаю, когда берут простой бивектор

в

, и в его ортогональном дополнении берут бивектор такой же площади, ориентированный так, чтобы вместе с первым получалась положительная ориентация. Потом по линейности распространяют это на все бивекторы (не только простые). Это возможно, потому что описанная операция является билинейной и кососимметричной (относительно исходных векторов

,

). Всё наглядно. А как понять, что мы делаем с 2-формами? Просто говорим, что 2-форма и бивектор это одно и то же в силу поднимания и опускания индексов, и делаем то же самое? Или мы делаем другое? Не могу уяснить как подъём-опускание индексов связан со сверткой бивектора с формой объёма.
Для звезды Ходжа

, как по мне, получается даже проще. Покажу на примере

. Требуется лишь форма объёма

Как Вы сказали, достаточно определить оператор

для простых бивекторов. Определяем:
Зафиксировав два аргумента 4-формы, получили 2-форму.