Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354860 писал(а):

Подмножество $A$ - это набор подмножеств множества $Q$, а не то, что Вы думаете.

Может так: $P(X)=\lim_{n \to \infty} |X \cap Q_n|/n$, где $X$- подмножество $A$ и $Q_n=\{1,2...n\}$ .

[Lia]

vicvolf в сообщении #1355005 писал(а):

$X$- подмножество $A$

Подмножеством $A$ является, например, $A$. Нормально? Будем вероятность считать?

[vicvolf]

Lia в сообщении #1355008 писал(а):

Подмножеством $A$ является, например, $A$. Нормально? Будем вероятность считать?

$P(A)=\lim_{n \to \infty} |A \cap Q_n|/n=\lim_{n \to \infty} |Q_n|/n=1$.

[Lia]

$A\cap Q_n \ne Q_n$.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1355021 писал(а):

$A\cap Q_n \ne Q_n$.

Одним из подмножеств натурального ряда является первые $n$ членов натурального ряда, т.е. $Q_n$, поэтому все подмножества натурального ряда $A$ обязательно включают $Q_n$.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1355026 писал(а):

поэтому все подмножества натурального ряда $A$ обязательно включают $Q_n$.

$A$ - это множество, состоящее из подмножеств натуральных чисел. $Q_n$ - это множество, состоящее из натуральных чисел. У них разные элементы: у первого - подмножества, у второго - числа. Они не пересекаются.

Здесь несложно исправить. Исправьте.

-- 18.11.2018, 23:59 --

На всякий случай: исправлять надо здесь:

vicvolf в сообщении #1355005 писал(а):

$X$- подмножество $A$

[vicvolf]

$P(X)=\lim_{n \to \infty} |X \cap Q_n|/n$, где $X$- подмножество $Q$ и $Q_n=\{1,2...n\}$ .

[Lia]

Вот, это уже что-то. Хорошо, там разобрались.
Однако эта функция не является счетно-аддитивной на Вашей алгебре.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1355048 писал(а):

Однако эта функция не является счетно-аддитивной на Вашей алгебре.

Цитирую стр. 24 Боровков "Теория вероятностей",1999 г. -"В экспериментах, имеющих конечное или счетное число исходов, любая совокупность исходов представляет из себя событие...". Таким образом, событием можно считать любое подмножество натурального ряда.

Посмотрите также Пример 15 здесь https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node10.html

[Lia]

vicvolf
Не надо цитировать вещи банальные. Событием называется элемент алгебры событий.
Я говорю о другом. Ваша функция не является счетно-аддитивной. Убедитесь.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1355053 писал(а):

Не надо цитировать вещи банальные. Событием называется элемент алгебры событий.

Это не совсем банальные вещи, когда говорится о счетном множестве исходов, а не о конечном. Ведь в нашем случае множеством исходов является натуральный ряд, т.е. имеется счетное число исходов. И в этом случае достаточно обычной алгебры событий, а не сигма-алгебры.

Цитата:

Я говорю о другом. Ваша функция не является счетно-аддитивной.

Да, но это и не требуется, так как достаточно обычной алгебры событий. В Примере 15, в указанной мною ранее ссылке, как раз показан выбор обычной алгебры событий для данного случая.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #1355071 писал(а):

Lia в сообщении #1355053 писал(а):

Я говорю о другом. Ваша функция не является счетно-аддитивной.

Да, но это и не требуется, так как достаточно обычной алгебры событий.

От $P$ не требуется быть (счётно-аддитивной) вероятностью? Оттого, что Вы станете называть сигма-алгебру $2^{\mathbb N}$ алгеброй, она не перестанет быть сигма-алгеброй.

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #1355092 писал(а):

От $P$ не требуется быть (счётно-аддитивной) вероятностью? Оттого, что Вы станете называть сигма-алгебру $2^{\mathbb N}$ алгеброй, она не перестанет быть сигма-алгеброй.

Спасибо за пояснение. Значит $2^Q$, где $Q=\{1,2,...\}$ является сигма-алгеброй, поэтому вероятностное пространство будет:
$Q=\{1,2,...\}$ -весь натуральный ряд, $A=2^Q$ – сигма-алгебра подмножеств натурального ряда,$P\colon A\to\mathbb R,P(X)=\lim_{n \to \infty} |X \cap Q_n|/n$, где $X$- подмножество $Q$ и $Q_n=\{1,2...n\}$.

[Lia]

vicvolf
Правильно ли я понимаю, что Вы написали

vicvolf в сообщении #1354852 писал(а):

$A=2^Q$

не убедившись ни предварительно, ни сейчас, что это сигма-алгебра?
Убедитесь. Покажите.

vicvolf в сообщении #1355110 писал(а):

вероятностное пространство будет:

Не будет. $P$ - не вероятность.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1355113 писал(а):

vicvolf
Правильно ли я понимаю, что Вы написали

vicvolf в сообщении #1354852 писал(а):

$A=2^Q$

не убедившись ни предварительно, ни сейчас, что это сигма-алгебра?
Убедитесь. Покажите.

Это понятно, так как любое объединение подмножеств натурального ряда принадлежит множеству всех подмножеств натурального ряда.

Lia в сообщении #1355113 писал(а):

$P$ - не вероятность.

Да, так не выполняется свойство счетной аддитивности вероятности. Например, если в качестве $X$ взять элементарные события $A_i$ из $Q=\{1,2,...\}$, то $\sum_{i=1}^{\infty} {P(A_i)}=0$, а вероятность объединения этих событий равна $1$. Аналогичное будет, если в качестве $A_i$ взять непересекающиеся конечные подмножества натурального ряда, покрывающие весь ряд. Проблема в конечности, покрывающих подмножеств. Если покрывать ряд бесконечными подмножествами натуральных чисел, то формула работает. Значит для конечных покрытий должна быть другая формула без предела.