Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):

Обратите внимание на фразу, что произвольную арифметическую функцию (детерминированный объект) можно рассматривать, как случайную величину (стохастический объект).

Да все уже всё обратили. Это тривиальность, которую не нужно упоминать.

vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):

Поэтому можно говорить о математическом ожидании, дисперсии, функции распределения данной последовательности случайных величин и о предельной функции распределения для последовательности случайных величин.

Вот кстати нет особой уверенности, что вы знаете точно, что такое сходимость по распределению (упомянутая в том посте) и какую сходимость вы вообще используете (включая эту их как минимум три!).

[vicvolf]

arseniiv в сообщении #1353137 писал(а):

vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):

Обратите внимание на фразу, что произвольную арифметическую функцию (детерминированный объект) можно рассматривать, как случайную величину (стохастический объект).

Да все уже всё обратили. Это тривиальность, которую не нужно упоминать.

Это я не для Вас, а для тех, кто не обратил.

Цитата:

Вот кстати нет особой уверенности, что вы знаете точно, что такое сходимость по распределению (упомянутая в том посте) и какую сходимость вы вообще используете (включая эту их как минимум три!).

Арифметической функции соответствует последовательность случайных величин, находящихся в разных вероятностных пространствах, поэтому говорить можно только о сходимости случайных величин по распределению.

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1353162 писал(а):

Это я не для Вас, а для тех, кто не обратил.

Ну так все писавшие здесь точно успели это сделать.

vicvolf в сообщении #1353162 писал(а):

Арифметической функции соответствует последовательность случайных величин, находящихся в разных вероятностных пространствах, поэтому говорить можно только о сходимости случайных величин по распределению.

Хорошо, это так, но что представляет собой эта сходимость?

[vicvolf]

Lia в сообщении #1353132 писал(а):

vicvolf в сообщении #1352158 писал(а):

Предположим, что для случайной величины $f_n:f_n(k)=f(k),(n=1,2,...)$ выполняются все условия Утверждения 4

А они выполняются?

Не всегда, поэтому предполагаю.

Lia в сообщении #1352531 писал(а):

В частичной сумме совсем необязательно поровну положительных и отрицательных слагаемых. Да еще в каждой.

В качестве сумматорной функции я беру именно такую частичную сумму.

Цитата:

Определение сходимости с.в. по-прежнему отсутствует. По распределению - я вижу, спасибо. Что это такое в Вашем случае?

Ничего особенного, в обычном смысле. Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.

vicvolf в в сообщении #p1352158 писал(а):

$o(n^{-1/2-\epsilon})>>o(1/n)$, (26)

Цитата:

Почему?

Здесь сравнение бесконечно малых. Неудачное обозначение.

-- 11.11.2018, 01:13 --

arseniiv в сообщении #1353183 писал(а):

Хорошо, это так, но что представляет собой эта сходимость?

Я уже ответил на этот вопрос.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):

Ничего особенного, в обычном смысле. Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.

Да, и хотелось бы увидеть это в терминах распределений и вероятностей.
Потому что $F_{n}$ будут определяться через $P_n$, а как будет определяться $F$?
----------

vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):

Здесь сравнение бесконечно малых. Неудачное обозначение.

Это "неудачное обозначение" лишает смысла Ваш пример.
-----------

vicvolf в сообщении #1352319 писал(а):

Пусть имеется знакопеременный сходящейся ряд, у которого сходятся как ряд из положительных членов, так и отрицательных членов, притом сумма ряда из положительных членов равна $\sum\limits_{k=1}^{\infty} {a_k}=A$, а сумма ряда из отрицательных членов равна $\sum\limits_{k=1}^{\infty} {b_k}=-A$. Тогда сумматорная функция, являющаяся частичной суммой данного знакопеременного ряда $S(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}=\sum\limits_{k=1}^{n} {a_k+b_k}$ при $n \to \infty$ имеет предельным - нормальное распределение.

Иначе говоря. Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой. Тогда последовательность его частичных сумм (опять числовая последовательность, обратите внимание) сходится к нормальному распределению.
Забьем на то, что эти объекты разной природы, сфокусируемся на интересном: а как это нулевой предел (сумма ряда) у нас вдруг нормально размазался по всей вещественной оси?
Или с примером что-то не так, или с утверждением 5 что-то не так, или разные виды сходимости меняют смысл пределов частичных сумм до неузнаваемости - а тогда нельзя эти смыслы смешивать.

[Lia]

1.

Lia в сообщении #1353238 писал(а):

Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой.

Кстати, попробуйте привести нетривиальный пример.
-------
2. Рассмотрим пример тривиальный. Пусть ряд из положительных слагаемых содержит ровно одну единицу, остальные нули. Ряд из отрицательных - ровно одну минус единицу, остальные нули. Пусть 1 и -1 первое и второе слагаемое общего ряда соотв. (в данном случае такая махинация допустима).
Попробуйте явно построить последовательность с.в. $S_n$ и найти ее слабый предел.
--------
3. Сделайте выводы.
--------
4. Проделайте ту же процедуру для своего менее тривиального примера (см. п. 1).
--------
5. Сделайте выводы.
--------
6. Сравните со своим результатом в Вашем примере 2, см.

vicvolf в сообщении #1352319 писал(а):

Пример 2

--------
7. Сделайте выводы.

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):

Я уже ответил на этот вопрос.

Ну хоть ссылку дайте, где именно.

[vicvolf]

arseniiv в сообщении #1353183 писал(а):

что представляет собой эта сходимость?

Lia в сообщении #1353238 писал(а):

Да, и хотелось бы увидеть это в терминах распределений и вероятностей.
Потому что $F_{n}$ будут определяться через $P_n$, а как будет определяться $F$?

Последовательность случайных величин $f_n:f_n(m)=f(m)$ естественно имеет дискретное распределение, случайная величина $f:f_n \to f$ (по распределению) может иметь как дискретное, так и непрерывное распределение. Аналогично в отношении последовательности случайных величин $S_n:S_n=\sum_{k=1}^n {f_k}$ и случайной величины $S:S_n \to S$ (по распределению).
Известно, что дискретная случайная величина имеет скачки в функции распределения, при этом скачки происходят в точках равным значениям дискретных случайных величин. Если последовательность дискретных случайных величин $f_n$ или $S_n$ имеет одинаковые значения: $a_1,a_2,...$ соответственно с дискретной случайной величиной $f$ или $S$, то сходимость соответствующих распределений $F_n \to F$ эквивалентна сходимости вероятности значений: $lim_{n \to \infty} {P_n(a_1)=P(a_1)}, lim_{n \to \infty} {P_n(a_2)=P(a_2)}, ...$ (см. Замечание 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей", 1999 г.).
Примером являются случайные величины, соответствующие функции Мебиуса, которые принимают значения $a_1=-1,a_2=0,a_3=1$. Более общий случай рассмотрен в Утверждении 2 http://dxdy.ru/post1345977.html#p1345977 Там же указаны предельные распределения для некоторых арифметических функций.

Цитата:

Это "неудачное обозначение" лишает смысла Ваш пример.

Исправлю

vicvolf в сообщении #1352158 писал(а):

Далее, если справедлива гипотеза Римана, то для указанных сумматорных функций выполняется следующая оценка сверху: $S(n) =o(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число, поэтому для разности средних значений слагаемых арифметических функций и соответственно для случайных величин справедлива оценка:
$M[f_n]-M[f]=1/n \sum\limits_{k=1}^n {f(k)}=S(n)/n=o(n^{-1/2-\epsilon})$. (26)
учитывая, что на основании Утверждения 2 значение $M[f]=0$.
Функция $1/n$ имеет порядок малости более высокий, чем у $M[f_n]$ в (26), поэтому данная часть Утверждения 5 не выполняется.
Следовательно, на основании Утверждения 5 мы не можем утверждать, что сумматорные арифметические функции Мертенса и Лиувилля имеют предельным (при $n \to \infty$ ) нормальное распределение.

Цитата:

а как это нулевой предел (сумма ряда) у нас вдруг нормально размазался по всей вещественной оси?

Да, в примере 2 $S_n$ имеет предельным вырожденное нормальное распределение. Я дальше поясню.

Lia в сообщении #1353242 писал(а):

1.

Lia в сообщении #1353238 писал(а):

Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой.

Кстати, попробуйте привести нетривиальный пример.
2. Рассмотрим пример тривиальный. Пусть ряд из положительных слагаемых содержит ровно одну единицу, остальные нули. Ряд из отрицательных - ровно одну минус единицу, остальные нули. Пусть 1 и -1 первое и второе слагаемое общего ряда соотв. (в данном случае такая махинация допустима).
Попробуйте явно построить последовательность с.в. $S_n$ и найти ее слабый предел.

Одним из свойств нормального распределения является симметричное расположение значений случайной величины относительно своего математического ожидания.
В примере 1 случайная величина $S_n$ колеблется почти симметрично относительно своего математического ожидания с возрастающей амплитудой, но недостаточным оказался порядок малости $M[f_n]$ (степень "измельченности" слагаемых), чтобы предельное распределение было нормальным.
В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):

Последовательность случайных величин $f_n:f_n(m)=f(m)$ естественно имеет дискретное распределение, случайная величина $f:f_n \to f$ (по распределению) может иметь как дискретное, так и непрерывное распределение. Аналогично в отношении последовательности случайных величин $S_n:S_n=\sum_{k=1}^n {f_k}$ и случайной величины $S:S_n \to S$ (по распределению).
Известно, что дискретная случайная величина имеет скачки в функции распределения, при этом скачки происходят в точках равным значениям дискретных случайных величин. Если последовательность дискретных случайных величин $f_n$ или $S_n$ имеет одинаковые значения: $a_1,a_2,...$ соответственно с дискретной случайной величиной $f$ или $S$, то сходимость соответствующих распределений $F_n \to F$ эквивалентна сходимости вероятности значений: $lim_{n \to \infty} {P_n(a_1)=P(a_1)}, lim_{n \to \infty} {P_n(a_2)=P(a_2)}, ...$

А теперь посмотрите правильное определение сходимости по распределению:
https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node59.html

И сравните. (Притом не только семантические отличия, а и ясность изложения.)

[vicvolf]

arseniiv Вот определение, которое я дал раньше.

vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):

Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.

А то, что о чем Вы говорите естественно определением не является. Надо читать внимательно! Там рассматривается частный случай. Вы меня удивляете!

[arseniiv]

Хм, да, неаккуратно прочитал.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):

В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

Напишите, пожалуйста, какой получается последовательность и каким образом Вы делаете вывод о сходимости, никуда не ссылаясь. Просто на этом примере.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1353717 писал(а):

vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):

В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

Напишите, пожалуйста, какой получается последовательность и каким образом Вы делаете вывод о сходимости, никуда не ссылаясь. Просто на этом примере.

В примере 2 случайная величина $S_n:S_n(m)=S(m)=\sum_{k=1}^m {(a_k+b_k)}$.

В Вашем тривиальном случае $a_1=1,a_2=0,....a_m=0,...;b_1=0,b_2=-1,b_3=0,...,b_m=0,...$, поэтому случайная величина $S_n$ принимает значения:

$S_n(1)=a_1+b_1=1+0=1,S_n(2)=a_1+a_2+b_1+b_2=1+0+0-1=0,...,$$S_n(n)=a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n=1+0+0-1+...+0+0=0,...$.

Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходятся к $0$.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1353737 писал(а):

Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходится к $0$.

Обоснуйте, пожалуйста.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1353738 писал(а):

vicvolf в сообщении #1353737 писал(а):

Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходится к $0$.

Обоснуйте, пожалуйста.

В примере 2 последовательность значений арифметической функции: $S(1),S(2),...$ сходится к $0$, т.е. $|S(n)-0| < \epsilon$, если $n \geq N$. В Вашем случае $N=2$.

На основании введенных ранее вероятностных пространств данная арифметическая функция соответствует последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$, которая сходится к $0$. Так как данные случайные величины находятся в разных вероятностных пространствах, то имеет место слабая сходимость по распределению к постоянной $0$.

Обозначим случайную величину, имеющую предельное распределение - $S$. Если $S$ является постоянной, то предельное распределение является вырожденным. Для примера 2 вырожденная предельная функция распределения: $F_s(x)=\{0,x \leq 0;1,x>0\}$.