2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение10.11.2018, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27138
vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):
Обратите внимание на фразу, что произвольную арифметическую функцию (детерминированный объект) можно рассматривать, как случайную величину (стохастический объект).
Да все уже всё обратили. :roll: Это тривиальность, которую не нужно упоминать.

vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):
Поэтому можно говорить о математическом ожидании, дисперсии, функции распределения данной последовательности случайных величин и о предельной функции распределения для последовательности случайных величин.
Вот кстати нет особой уверенности, что вы знаете точно, что такое сходимость по распределению (упомянутая в том посте) и какую сходимость вы вообще используете (включая эту их как минимум три!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение10.11.2018, 22:29 


23/02/12
2051
arseniiv в сообщении #1353137 писал(а):
vicvolf в сообщении #1353113 писал(а):
Обратите внимание на фразу, что произвольную арифметическую функцию (детерминированный объект) можно рассматривать, как случайную величину (стохастический объект).
Да все уже всё обратили. :roll: Это тривиальность, которую не нужно упоминать.

Это я не для Вас, а для тех, кто не обратил. :-)
Цитата:
Вот кстати нет особой уверенности, что вы знаете точно, что такое сходимость по распределению (упомянутая в том посте) и какую сходимость вы вообще используете (включая эту их как минимум три!).

Арифметической функции соответствует последовательность случайных величин, находящихся в разных вероятностных пространствах, поэтому говорить можно только о сходимости случайных величин по распределению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение10.11.2018, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27138
vicvolf в сообщении #1353162 писал(а):
Это я не для Вас, а для тех, кто не обратил. :-)
Ну так все писавшие здесь точно успели это сделать. :wink:

vicvolf в сообщении #1353162 писал(а):
Арифметической функции соответствует последовательность случайных величин, находящихся в разных вероятностных пространствах, поэтому говорить можно только о сходимости случайных величин по распределению.
Хорошо, это так, но что представляет собой эта сходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение11.11.2018, 01:11 


23/02/12
2051
Lia в сообщении #1353132 писал(а):
vicvolf в сообщении #1352158 писал(а):
Предположим, что для случайной величины $f_n:f_n(k)=f(k),(n=1,2,...)$ выполняются все условия Утверждения 4

А они выполняются?

Не всегда, поэтому предполагаю.
Lia в сообщении #1352531 писал(а):
В частичной сумме совсем необязательно поровну положительных и отрицательных слагаемых. Да еще в каждой.

В качестве сумматорной функции я беру именно такую частичную сумму.
Цитата:
Определение сходимости с.в. по-прежнему отсутствует. По распределению - я вижу, спасибо. Что это такое в Вашем случае?

Ничего особенного, в обычном смысле. Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.
vicvolf в в сообщении #p1352158 писал(а):
$o(n^{-1/2-\epsilon})>>o(1/n)$, (26)

Цитата:
Почему?

Здесь сравнение бесконечно малых. Неудачное обозначение.

-- 11.11.2018, 01:13 --

arseniiv в сообщении #1353183 писал(а):
Хорошо, это так, но что представляет собой эта сходимость?

Я уже ответил на этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Воскресенье
Сообщение11.11.2018, 08:42 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10543
vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):
Ничего особенного, в обычном смысле. Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.

Да, и хотелось бы увидеть это в терминах распределений и вероятностей.
Потому что $F_{n}$ будут определяться через $P_n$, а как будет определяться $F$?
----------
vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):
Здесь сравнение бесконечно малых. Неудачное обозначение.

Это "неудачное обозначение" лишает смысла Ваш пример.
-----------
vicvolf в сообщении #1352319 писал(а):
Пусть имеется знакопеременный сходящейся ряд, у которого сходятся как ряд из положительных членов, так и отрицательных членов, притом сумма ряда из положительных членов равна $\sum\limits_{k=1}^{\infty} {a_k}=A$, а сумма ряда из отрицательных членов равна $\sum\limits_{k=1}^{\infty} {b_k}=-A$. Тогда сумматорная функция, являющаяся частичной суммой данного знакопеременного ряда $S(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}=\sum\limits_{k=1}^{n} {a_k+b_k}$ при $n \to \infty$ имеет предельным - нормальное распределение.

Иначе говоря. Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой. Тогда последовательность его частичных сумм (опять числовая последовательность, обратите внимание) сходится к нормальному распределению.
Забьем на то, что эти объекты разной природы, сфокусируемся на интересном: а как это нулевой предел (сумма ряда) у нас вдруг нормально размазался по всей вещественной оси?
Или с примером что-то не так, или с утверждением 5 что-то не так, или разные виды сходимости меняют смысл пределов частичных сумм до неузнаваемости - а тогда нельзя эти смыслы смешивать.

 Профиль  
                  
 
 Все еще воскресенье
Сообщение11.11.2018, 09:53 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10543
1.
Lia в сообщении #1353238 писал(а):
Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой.

Кстати, попробуйте привести нетривиальный пример.
-------
2. Рассмотрим пример тривиальный. Пусть ряд из положительных слагаемых содержит ровно одну единицу, остальные нули. Ряд из отрицательных - ровно одну минус единицу, остальные нули. Пусть 1 и -1 первое и второе слагаемое общего ряда соотв. (в данном случае такая махинация допустима).
Попробуйте явно построить последовательность с.в. $S_n$ и найти ее слабый предел.
--------
3. Сделайте выводы.
--------
4. Проделайте ту же процедуру для своего менее тривиального примера (см. п. 1).
--------
5. Сделайте выводы.
--------
6. Сравните со своим результатом в Вашем примере 2, см.
vicvolf в сообщении #1352319 писал(а):
Пример 2

--------
7. Сделайте выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение11.11.2018, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27138
vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):
Я уже ответил на этот вопрос.
Ну хоть ссылку дайте, где именно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Все еще воскресенье
Сообщение12.11.2018, 16:14 


23/02/12
2051
arseniiv в сообщении #1353183 писал(а):
что представляет собой эта сходимость?

Lia в сообщении #1353238 писал(а):
Да, и хотелось бы увидеть это в терминах распределений и вероятностей.
Потому что $F_{n}$ будут определяться через $P_n$, а как будет определяться $F$?

Последовательность случайных величин $f_n:f_n(m)=f(m)$ естественно имеет дискретное распределение, случайная величина $f:f_n \to f$ (по распределению) может иметь как дискретное, так и непрерывное распределение. Аналогично в отношении последовательности случайных величин $S_n:S_n=\sum_{k=1}^n {f_k}$ и случайной величины $S:S_n \to S$ (по распределению).
Известно, что дискретная случайная величина имеет скачки в функции распределения, при этом скачки происходят в точках равным значениям дискретных случайных величин. Если последовательность дискретных случайных величин $f_n$ или $S_n$ имеет одинаковые значения: $a_1,a_2,...$ соответственно с дискретной случайной величиной $f$ или $S$, то сходимость соответствующих распределений $F_n \to F$ эквивалентна сходимости вероятности значений: $lim_{n \to \infty} {P_n(a_1)=P(a_1)}, lim_{n \to \infty} {P_n(a_2)=P(a_2)}, ...$ (см. Замечание 4 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей", 1999 г.).
Примером являются случайные величины, соответствующие функции Мебиуса, которые принимают значения $a_1=-1,a_2=0,a_3=1$. Более общий случай рассмотрен в Утверждении 2 http://dxdy.ru/post1345977.html#p1345977 Там же указаны предельные распределения для некоторых арифметических функций.
Цитата:
Это "неудачное обозначение" лишает смысла Ваш пример.

Исправлю
vicvolf в сообщении #1352158 писал(а):
Далее, если справедлива гипотеза Римана, то для указанных сумматорных функций выполняется следующая оценка сверху: $S(n) =o(n^{1/2+\epsilon})$, где $\epsilon$ - малое положительное число, поэтому для разности средних значений слагаемых арифметических функций и соответственно для случайных величин справедлива оценка:
$M[f_n]-M[f]=1/n \sum\limits_{k=1}^n {f(k)}=S(n)/n=o(n^{-1/2-\epsilon})$. (26)
учитывая, что на основании Утверждения 2 значение $M[f]=0$.
Функция $1/n$ имеет порядок малости более высокий, чем у $M[f_n]$ в (26), поэтому данная часть Утверждения 5 не выполняется.
Следовательно, на основании Утверждения 5 мы не можем утверждать, что сумматорные арифметические функции Мертенса и Лиувилля имеют предельным (при $n \to \infty$ ) нормальное распределение.

Цитата:
а как это нулевой предел (сумма ряда) у нас вдруг нормально размазался по всей вещественной оси?

Да, в примере 2 $S_n$ имеет предельным вырожденное нормальное распределение. Я дальше поясню.
Lia в сообщении #1353242 писал(а):
1.
Lia в сообщении #1353238 писал(а):
Пусть есть знакопеременный (это незачем, но пусть) абсолютно сходящийся ряд с нулевой суммой.

Кстати, попробуйте привести нетривиальный пример.
2. Рассмотрим пример тривиальный. Пусть ряд из положительных слагаемых содержит ровно одну единицу, остальные нули. Ряд из отрицательных - ровно одну минус единицу, остальные нули. Пусть 1 и -1 первое и второе слагаемое общего ряда соотв. (в данном случае такая махинация допустима).
Попробуйте явно построить последовательность с.в. $S_n$ и найти ее слабый предел.

Одним из свойств нормального распределения является симметричное расположение значений случайной величины относительно своего математического ожидания.
В примере 1 случайная величина $S_n$ колеблется почти симметрично относительно своего математического ожидания с возрастающей амплитудой, но недостаточным оказался порядок малости $M[f_n]$ (степень "измельченности" слагаемых), чтобы предельное распределение было нормальным.
В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение12.11.2018, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27138
vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):
Последовательность случайных величин $f_n:f_n(m)=f(m)$ естественно имеет дискретное распределение, случайная величина $f:f_n \to f$ (по распределению) может иметь как дискретное, так и непрерывное распределение. Аналогично в отношении последовательности случайных величин $S_n:S_n=\sum_{k=1}^n {f_k}$ и случайной величины $S:S_n \to S$ (по распределению).
Известно, что дискретная случайная величина имеет скачки в функции распределения, при этом скачки происходят в точках равным значениям дискретных случайных величин. Если последовательность дискретных случайных величин $f_n$ или $S_n$ имеет одинаковые значения: $a_1,a_2,...$ соответственно с дискретной случайной величиной $f$ или $S$, то сходимость соответствующих распределений $F_n \to F$ эквивалентна сходимости вероятности значений: $lim_{n \to \infty} {P_n(a_1)=P(a_1)}, lim_{n \to \infty} {P_n(a_2)=P(a_2)}, ...$
А теперь посмотрите правильное определение сходимости по распределению:
https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node59.html

И сравните. (Притом не только семантические отличия, а и ясность изложения.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение12.11.2018, 20:46 


23/02/12
2051
arseniiv Вот определение, которое я дал раньше.
vicvolf в сообщении #1353194 писал(а):
Случайные величины $f_n$ сходятся по распределению к случайной величине $f$, если функции распределения случайных величин $F_{n}$ сходятся к функции распределения случайной величины $F$ во всех точках ее непрерывности.

А то, что о чем Вы говорите естественно определением не является. Надо читать внимательно! Там рассматривается частный случай. Вы меня удивляете! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.11.2018, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27138
Хм, да, неаккуратно прочитал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.11.2018, 11:51 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10543
vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):
В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

Напишите, пожалуйста, какой получается последовательность и каким образом Вы делаете вывод о сходимости, никуда не ссылаясь. Просто на этом примере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.11.2018, 14:41 


23/02/12
2051
Lia в сообщении #1353717 писал(а):
vicvolf в сообщении #1353553 писал(а):
В примере 2, начиная с некоторого $n$, случайная величина $S_n$ колеблется симметрично относительно своего математического ожидания (нулевого значения), постоянно затухая. Порядок малости $M[f_n]$ достаточен, чтобы предельное распределение было вырожденным нормальным.
Ваш тривиальный пример соответствует общему примеру 2 с $n=2$ и вырожденными симметричными колебаниями относительно математического ожидания (нулевого значения).

Напишите, пожалуйста, какой получается последовательность и каким образом Вы делаете вывод о сходимости, никуда не ссылаясь. Просто на этом примере.

В примере 2 случайная величина $S_n:S_n(m)=S(m)=\sum_{k=1}^m {(a_k+b_k)}$.

В Вашем тривиальном случае $a_1=1,a_2=0,....a_m=0,...;b_1=0,b_2=-1,b_3=0,...,b_m=0,...$, поэтому случайная величина $S_n$ принимает значения:

$S_n(1)=a_1+b_1=1+0=1,S_n(2)=a_1+a_2+b_1+b_2=1+0+0-1=0,...,$$S_n(n)=a_1+b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n=1+0+0-1+...+0+0=0,...$.

Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходятся к $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение13.11.2018, 14:46 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10543
vicvolf в сообщении #1353737 писал(а):
Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходится к $0$.

Обоснуйте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции
Сообщение14.11.2018, 12:22 


23/02/12
2051
Lia в сообщении #1353738 писал(а):
vicvolf в сообщении #1353737 писал(а):
Следовательно, значения $S_n$ при $n \to \infty$ сходится к $0$.
Обоснуйте, пожалуйста.

В примере 2 последовательность значений арифметической функции: $S(1),S(2),...$ сходится к $0$, т.е. $|S(n)-0| < \epsilon$, если $n \geq N$. В Вашем случае $N=2$.

На основании введенных ранее вероятностных пространств данная арифметическая функция соответствует последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$, которая сходится к $0$. Так как данные случайные величины находятся в разных вероятностных пространствах, то имеет место слабая сходимость по распределению к постоянной $0$.

Обозначим случайную величину, имеющую предельное распределение - $S$. Если $S$ является постоянной, то предельное распределение является вырожденным. Для примера 2 вырожденная предельная функция распределения: $F_s(x)=\{0,x \leq 0;1,x>0\}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 144 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group