Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[Lia]

vicvolf в сообщении #1353912 писал(а):

последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$, которая сходится к $0$. Так как данные случайные величины находятся в разных вероятностных пространствах, то имеет место слабая сходимость по распределению к постоянной $0$.

Обоснуйте, пожалуйста.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354200 писал(а):

vicvolf в сообщении #1353912 писал(а):

последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$, которая сходится к $0$. Так как данные случайные величины находятся в разных вероятностных пространствах, то имеет место слабая сходимость по распределению к постоянной $0$.

Обоснуйте, пожалуйста.

Так как последовательность случайных величин сходится, то это может быть сходимость "почти наверное", по вероятности или по распределению. У нас случайные величины находятся в разных вероятностных пространствах, в этом случае возможен только один вариант сходимости - по распределению.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1354244 писал(а):

в этом случае возможен только один вариант сходимости - по распределению.

Наличие которой - если оно есть - тоже надо обосновывать. Обоснуйте, пожалуйста.

-- 15.11.2018, 14:05 --

vicvolf в сообщении #1354244 писал(а):

Так как последовательность случайных величин сходится,

Что такое "последовательность случайных величин сходится"? Определение.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354245 писал(а):

vicvolf в сообщении #1354244 писал(а):

в этом случае возможен только один вариант сходимости - по распределению.

Наличие которой - если оно есть - тоже надо обосновывать. Обоснуйте, пожалуйста.

Прямо, как на экзамене!
Итак в Вашем примере имеем последовательность значений арифметической функции:
$S(1)=1,S(2)=0,...S(n)=0,...$.

В определенных выше вероятностных пространствах (для арифметических функций) данной арифметической функции соответствует последовательность случайных величин (находящихся в разных вероятностных пространствах), которые принимают значения:
$S_1(1)=1;S_2(1)=1,S_2(2)=0;...;S_n(1)=1,S_n(2)=0,...,S_n(n)=0,...$.

В указанных вероятностных пространствах все значения случайных величин равновероятны, поэтому получаем следующие распределения вероятностей для указанных случайных величин:
$S_1=1$ с вероятностью $P_1(1)=1$.
$S_2=1$ с вероятностью $P_2(1)=1/2$,$S_2=0$ с вероятностью $P_2(0)=1/2$.
...
$S_n=1$ с вероятностью $P_n(1)=1/n$,$S_n=0$ с вероятностью $P_n(0)=(n-1)/n$.
$...$

Пусть предельное распределение будет у случайной величины $S$, тогда:
$S=1$ с вероятностью $P(1)=\lim_{n \to \infty} {1/n}=0$,$S=0$ с вероятностью $P(0)=\lim_{n \to \infty} {(n-1)/n}=1$,

т.е. с вероятностью $1$ значение предельной случайной величины $S=0$.

Таким образом, дискретные случайные величины $S_1,S_2,.....$ слабо сходятся (по распределению) к случайной величине $S$, которая имеет, указанную выше, вырожденную функцию распределения:

vicvolf в сообщении #1353912 писал(а):

$F_s(x)=\{0,x \leq 0;1,x>0\}$.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1354424 писал(а):

В указанных вероятностных пространствах все значения случайных величин равновероятны, поэтому получаем следующие распределения вероятностей для указанных случайных величин:
[...]
...
$S_n=1$ с вероятностью $P_n(1)=1/n$,$S_n=0$ с вероятностью $P_n(0)=(n-1)/n$.

Это не "равновероятны".

vicvolf в сообщении #1354424 писал(а):

вероятностью $P(0)=\lim_{n \to \infty} {(n-1)/n}=1$,

Отсутствует определение вероятности $P$.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354528 писал(а):

Это не "равновероятны".

Имелась в виду равновероятность исходов.

Цитата:

Отсутствует определение вероятности $P$.

В соответствием с определением вероятностных пространств для арифметической функции, вероятность равна $P=|A|/n$, где $|A|$ - количество случаев, когда случайная величина (арифметическая функция) принимает данное значение.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1354668 писал(а):

Имелась в виду равновероятность исходов.

Элементарные исходы и значения с.в. лежат в разных пространствах.

vicvolf в сообщении #1354668 писал(а):

Для случайной величины $S_n$ данная вероятность равна $1/n$.

Кем данная? Какая вероятность?

vicvolf в сообщении #1354668 писал(а):

Например, в Вашем примере случайная величина $S_n$ принимает два значения - $0,1$. Количество случаев, когда $S_n=1$ равно $1$, а количество случаев, когда $S_n=0$ -$n-1$. Поэтому вероятность $P_n(1)=1/n$, а вероятность $P_n(0)=(n-1)/n$.

Про $P_n$ Вы написали. Определение $P$ отсутствует. "Например" не надо. Определение, пожалуйста.

-- 17.11.2018, 11:58 --

vicvolf в сообщении #1354668 писал(а):

вероятность равна $P=|A|/n$

Что такое $n$?

[vicvolf]

Извините, Вы торопитесь! Я только редактирую сообщение, а Вы на него отвечаете. Буду отвечать на вопросы, которые есть в моем сообщении.

Lia в сообщении #1354669 писал(а):

Элементарные исходы и значения с.в. лежат в разных пространствах.

Это неправильно. Случайные величины лежат в разных вероятностных пространствах, а одна случайная величина и соответственно ее значения - в одном.

Цитата:

Что такое $n$?

Количество элементов во множестве исходов - $Q_n=\{1,...,n\}$.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1354681 писал(а):

Извините, Вы торопитесь! Я только редактирую сообщение, а Вы на него отвечаете.

Это Вы торопитесь размещать неотредактированные сообщения.
Хорошо, буду отвечать по мере появления свободного времени. Ближайшее предвидится через две недели. Надеюсь, Вы к тому времени отредактируете все, в том числе и Ваши утверждения до того состояния, чтобы не задавать по три вопроса на каждое Ваше предложение.

vicvolf в сообщении #1354681 писал(а):

Количество элементов во множестве исходов - $Q_n=\{1,...,n\}$.

Полностью вероятностное пространство определите. Вы сами только что писали, что это пространство элементарных исходов для $n$-го элемента последовательности. И

vicvolf в сообщении #1354668 писал(а):

$P=|A|/n$, где $|A|$ - количество случаев, когда случайная величина (арифметическая функция) принимает данное значение.

это определение $P_n$. У предельной с.в. (если она есть) вероятностное пространство другое. И вероятность там Вами не определена (как и само пространство, естественно).

Все, две недели так две недели.

-- 17.11.2018, 13:09 --

vicvolf в сообщении #1354681 писал(а):

а одна случайная величина и соответственно ее значения - в одном.

Определение с.в., пожалуйста. Заодно уж. Посмотреть, где значения.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354682 писал(а):

Надеюсь, Вы к тому времени отредактируете все, в том числе и Ваши утверждения до того состояния, чтобы не задавать по три вопроса на каждое Ваше предложение.

Количество вопросов зависит не только от меня, но и того кто и с какой целью их задает!
Я Вам благодарен за два конкретных замечания по утверждениям, которые я устранил. Больше конкретных замечаний по утверждениям с Вашей стороны не было.

[Lia]

vicvolf
Ответы на вопросы будут или тему закрывать в связи с непониманием их цели?

vicvolf в сообщении #1354712 писал(а):

Я Вам благодарен за два конкретных замечания по утверждениям, которые я устранил. Больше конкретных замечаний по утверждениям с Вашей стороны не было.

Что Вы их не видите - само по себе показатель. Но я не жалею ))

[vicvolf]

Lia в сообщении #1354682 писал(а):

У предельной с.в. (если она есть) вероятностное пространство другое. И вероятность там Вами не определена (как и само пространство, естественно).

$Q=\{1,2,...\}$ -весь натуральный ряд, $A=2^Q$ - все подмножества натурального ряда,$P\colon A\to\mathbb R$, $P(X)=\lim_{n \to \infty} |X|/n$, где $X$- подмножество $A$ и $|X|$ - число элементов в подмножестве $X$ (бесконечность, если подмножество $X$ не является конечным).

[Lia]

Чему равна $P(Q)$?

-- 18.11.2018, 14:02 --

vicvolf в сообщении #1354852 писал(а):

$X$- подмножество $A$

Подмножество $A$ - это набор подмножеств множества $Q$, а не то, что Вы думаете.

[Someone]

Натуральный ряд стандартно обозначается $\mathbb N$. А $\mathbb Q$ — это множество рациональных чисел.

vicvolf в сообщении #1354852 писал(а):

$P(X)=\lim_{n \to \infty} |X|/n$, где $X$- подмножество $A$ и $|X|$ - число элементов в подмножестве $X$ (бесконечность, если подмножество $X$ не является конечным).

У Вас написано нечто довольно бессмысленное. Множество $X$ никак не зависит от $n$. Если множество $X$ конечное, например, $\lvert X\rvert=m$, то ваш предел равен $0$. Если же $X$ бесконечное, то $\tau=\lvert X\rvert$ — какой-то кардинал, удовлетворяющий неравенству $\aleph_0\leqslant\tau\leqslant 2^{\aleph_0}$, и выражение $\frac{\tau}n$ не определено, вследствие чего предел не имеет смысла.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1354971 писал(а):

Натуральный ряд стандартно обозначается $\mathbb N$. А $\mathbb Q$ — это множество рациональных чисел.

У меня $Q$ с самого начала обозначает множество исходов.

Цитата:

У Вас написано нечто довольно бессмысленное.

Спасибо, я уже понял.